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专题 21.1 一元二次方程【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别一元二次方程】..................................................................................................................................1
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】.....................................................................................................3
【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】.............................................................................................5
【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】.................................................................................................6
【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】.............................................................................................8
【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】.......................................................................................10
【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】...................................................................................11
【题型8 根据实际问题列一元二次方程】...........................................................................................................14
【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】...............................................................................................15
【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】...............................................................................................18
知识点1：一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是 2（二次）的方程，
叫做一元二次方程。
【题型1 辨别一元二次方程】
【例1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
1
A．x+2y=1 B．ax2+bx+c=0 C．3x+ =0 D．x2−2=0
x
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方
程，是一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；
B、当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选D．
【变式1-1】（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）1
A． −1=0 B．❑√x=5x2 C．ax2+x−6=0 D．x(x+1)=5x−1
x2
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
1
【详解】解：A． −1=0中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
x2
B．❑√x=5x2，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C．当a=0时，ax2+x−6=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．x(x+1)=5x−1是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
3
A．(x−2)(x−3)=0 B．x+ =4
x
C．ax2+bx+c=0 D．−3x2+2x3=1
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程叫一元二次方程是解题的关键．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A. (x−2)(x−3)=0，整理可得x2−5x+6=0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
3
B. x+ =4，分母中含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意；
x
C. ax2+bx+c=0，仅当a≠0时，原方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. −3x2+2x3=1，最高次项的次数为3，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-3】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
1
①3x2+x=20，②2x2−3xy+4=0，③x2− =4，④x2=0．
x
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程
叫一元二次方程．据此对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：①3x2+x=20是一元二次方程；
②2x2−3xy+4=0含有两个未知数，不是一元二次方程；
1
③x2− =4不是整式方程，不是一元二次方程；
x
④x2=0是一元二次方程．
故选：D．
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程(k−3)x|k)−1+(2k−3)x+4=0是一元二次方
程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．−3 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未
知数．
【详解】解：由关于x的方程(k−3)x|k|−1+(2k−3)x+4=0是一元二次方程，得
|k|−1=2且k−3≠0．
解得k=−3．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方
程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【变式2-1】（23-24九年级下·河北保定·期末）关于x的方程xa2−7−3x−2=0是一元二次方程，则a=
．
【答案】±3
【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．
【详解】解：由题意得a2−7=2，
解得：a=±3，
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二
次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识
点．【变式2-2】（23-24九年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程(m+1)xm2+1+5x−4=0是一元二次方程，
则m的值是（ ）
A．1 B．−1 C．0 D．±1
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定
义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于m的方程和不等式，求解即可得到m的值．
【详解】解：∵关于x的方程(m+1)xm2+1+5x−4=0是一元二次方程，
{m+1≠0)
∴ ，
m2+1=2
解得m=1．
故选：A．
【变式2-3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）❑√mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，则m=
．
【答案】4
【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则|m−2)=2，
然后选出合适的值即可．
【详解】解：❑√mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，
∴|m−2|=2，❑√m≠0，
∴m=4或0，m≠0，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键．
【题型3 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·福建泉州·期末）关于x的方程ax2−x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围
是（ ）
A．a>0 B．a≠0 C．a<0 D．a为任意实数
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出a≠0即可．
【详解】解：∵方程ax2−x−1=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0．
故选：B．
【变式3-1】（23-24九年级上·北京大兴·期末）若(a−3)x2−3x−4=0是关于x的一元二次方程，则a的
取值范围是 ．
【答案】a≠3
【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式
方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】∵方程(a−3)x2−3x−4=0是关于x的一元二次方程，
∴a−3≠0，
解得a≠3．
故答案为：a≠3．
【变式3-2】（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若方程(a-2)x2+❑√ax=3是关于x的一元二次方程，则a的范
围是（ ）
A．a≠2 B．a≥0 C．a≥0且a≠ 2 D．a为任意实数
【答案】C
【详解】试题分析：由于方程是一元二次方程，所以二次项系数必定不等于零，即a−2≠0，所以a≠2，
又因为被开方式大于或者等于零，即a≥0，所以选C．
考点：一元二次方程的二次项不等于零，被开方式大于或者等于零
点评：这类题目在考试中一般出现于选择题，一元二次方程的各项系数确定，都要遵循一元二次方程的一
般式，既然为一元二次方程，那么二次项系数必定存在，即二次项系数应该不为零，而被开方式大于或者
等于零，由此可以确定a的取值范围．
【变式3-3】（23-24九年级下·重庆·期末）如果关于x的不等式组¿有且仅有三个整数解，且关于y的方程
(m−2)y2+my+1=0是一元二次方程，则符合条件的所有整数m之和为 ．
【答案】8
【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且仅有三个整数解确定出m的取值，再由关于y的方程
(m−2)y2+my+1=0是一元二次方程，求出满足题意整数m的值，进而求出和．
{m−4x>4①
)
【详解】 ，
x<3x+7②m
由①得x< −1，
4
7
由②得x>− ，
2
∵不等式组有且仅有三个整数解，
7 m
∴−
