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专题 21.2 一元二次方程（专项练习）
一、单选题
1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于 的方程 是一元二次方程，则 值为（ ）
A．2或 B．2 C． D． 且
3．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）若方程 是关于x的一元二次方程，则“ ”可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·北京·期中）将一元二次方程 化为一般形式后，若二次项系数为1，则常
数项为（ ）
A． B．2 C． D．8
5．（2024·山西阳泉·二模）已知关于 的一元二次方程 ，其中一次项系数被墨迹污染了．若
这个方程的一个根为 ，则一次项系数为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若将一元二次方程 化成一般式为 ，
则 的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（2024·江苏淮安·一模）已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川南充·二模）若 是方程 的一个实数根，则 的值为
（ ）A．2 B． C． D．
9．（2023·河南平顶山·一模）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D． 或
10．把方程 化为 的形式，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，记
， ，则 的值为（ ）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
12．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程 的根，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
13．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）关于 的方程 是一元二次方程，则 的
值是
14．（23-24九年级上·河南漯河·期末）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则k的值是
．
15．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）方程 转化为一元二次方程的一般形式是 ．
16．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 ，若一次项系数与常数项相
等，则a的值为 ．
17．（2024·江苏苏州·二模）若 是一元二次方程 的实数根，则代数式 ．
18．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知a是方程 的一个根，则 的值为．
19．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程 的一个根是1，且 满足
，则 ， ， ．
20．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若 是方程 的根，则代数式 的
值为 .
21．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程 的两根也是方程 的
根，则 的值为 ．
22．（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程 的一个根，则代数式
的值为 。
23．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 （ 均为常数，
且 ）的解是 ， ，则关于 的一元二次方程 的解是 ．
24．（22-23八年级下·浙江温州·期中）已知 ， ， 是非零实数，关于 的一元二次方程
， ， ，有公共解，则代数式 的值为 ．
三、解答题
25．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程 ．
（1）当m为何值时，此方程为一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
26．（23-24九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程 化成一般形式，并指出它的
二次项系数、一次项系数和常数项．27．（23-24八年级下·山东济宁·期中）阅读理解：
材料1．若一元二次方程 两根为 ， ，则 ， ．
材料2．已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，
根据材料1得 ， ，
．
解决问题：
（1）一元二次方程 的两根为 ， ，则 ______， ______．
（2）已知实数 满足 ， ，且 ，求 的值．
28．（23-24九年级上·河北沧州·期末）嘉淇准备完成题目：解方程： ．发现系数“ ”印
刷不清楚．
（1）她把“ ”猜成 ，请你解方程 ；
（2）她妈妈：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是 ．”通过计算说明原题中“ ”是几．
29．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知 是关于x的方程 的一个实数根，
并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形 的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求 的周长．30．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，
a、b、c是 和 的边长，易知 ，这时我们把关于x的形如 的
一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）试判断方程 是否为“勾系一元二次方程”．
（2）若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是12，求
的面积．参考答案：
1．B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整
式方程叫一元二次方程求解即可．
【详解】A． ，未知数的最高次数是1 ，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
B． 符合一元二次方程定义，是一元二次方程；
C． ，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
D． 化简为 ，不含二次项，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
故选：B．
2．C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并
且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得 ．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整
式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知
数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：
【详解】A、 ，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、 ，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、 ，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、 ，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的常数项．正确的表示一元二次方程的一般式是解题的关键．由
题意知，方程的一般式为 ，然后作答即可．
【详解】解：一元二次方程 可化为 ，
∴二次项系数为1，则常数项为 ，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的解，一元
二次方程的定义是解题的关键．
设一元二次方程为 ，将 代入，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：设一元二次方程为 ，
将 代入得， ，
解得， ，
∴一次项系数为 ，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常
数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键．
【详解】解：
∵一元二次方程 化成一般式为 ，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得
，进而得 ，再把 代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方
程根的定义是解题的关键．【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8．A
【分析】先根据一元二次解的定义得到 ，然后利用降次的方法化简计算即可．本题考查
了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【详解】解： 是方程 的一个实数根，
，
即 ，
．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把 代入一元二次方程可得
，又根据 可得 ，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的
定义是解题的关键．【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
10．B
【分析】先移项，再合并同类项，系数化为1即可．
【详解】解：移项 4y=x+1-
合并同类项
系数化为1得
故选 B
【点睛】把方程 变形为y=kx+b的形式，就是解关于y的方程，根据等式的性质变形是
解本题的关键．
11．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，解题的根据是理解方程根的定义．
根据题意得到 ， ，代入
即可求解．
【详解】∵关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ， ，
∴．
故选：A．
12．B
【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结
合 代入计算即可．
【详解】解：
，
，
故选：B．
13．1
【分析】
本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 2的整式方程，叫做一
元二次方程.，根据未知数的最高次数是2建立等式，再根据 即可得到答案．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
14．1
【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将 代入方程，结合一元二次方
程的定义求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：1．
15．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于 的一元二次方程经
过整理，都能化成如下形式 )．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
首先利用多项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为0，再化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： （a，
b，c是常数且 ）特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式
中 叫二次项， 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数
项．据此解答即可．
【详解】解： 关于x的一元二次方程 ，一次项系数与常数项相等，
，
解得： ，
故答案为：1．17．3
【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，把
代入方程 ，得出关于m的一元二次方程，再整体代入求值即可．
【详解】解：当 时，则 ，
即 ，
所以， ，
故答案为：3．
18．2030
【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键；把
代入已知方程，并求得 ，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】 a是方程 的一个根，
，
，
故答案为：2030．
19． 2 1
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件得到 ，则可计算
出 ，再根据一元二次方程解的定义得到 ，然后把a和b的值代入即可求出c的值．
【详解】解：∵a、b满足 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵一元二次方程 的一个根是1，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ；20．
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．根据一元二次方程的解的定义，将a
代入已知方程，即可求得 ，然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
21．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设 是方程 的一个根．根据方程解的意
义知， 既满足方程 ，也满足方程 ，将 代入这两个方程，并整理，
得 ．从而可知：方程 的两根也是方程
的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一
元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设 是方程 的一个根，则 ，所以 ．
由题意， 也是方程 的根，所以 ，
把 代入此式，得 ，整理得 ．
从而可知：方程 的两根也是方程 的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有 （其中 为常数），
所以 ， ．
因此， ，
故答案为： ．
22．
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程 的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求
值．
【详解】解：∵a是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ， ，
∴
．
故答案是： ．
23．
【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令 ，由题意得到 的解为 ，
解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 （ 均为常数，且 ）的解是
，即 的解为 ；
令 ，
关于 的一元二次方程 化为 ，的解为 ，
的解为 ，即 或 ，
，
关于 的一元二次方程 的解是 ，
故答案为： ．
24． 或
【分析】设公共解为 ，根据一元二次方程根的定义得到 ， ，
，三式相加可得： 或 ，分别代入所求式可解答．
【详解】解：设公共解为 ，
则 ， ， ，
三式相加得 ，
即 ，
因为 ，
所以 或 ，
当 时， ，
原式
；
当 时， ， ，
，，
原式
，
综上，代数式 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．
25．(1)
(2)
【详解】解：（1）由题意，得 解得 ．
（2）由题意，得 ，∴ ．
26．二次项系数为 ，一次项系数为8，常数项为
【分析】先把 变为一般形式 ，然后得出答案即可．
【详解】解：由 得 ，
∴二次项系数为 ，一次项系数为8，常数项为 ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，形如 ，把式子化为一元二次方程的一
般形式是解题关键．
27．(1)4，
(2)
【分析】本题考查是阅读理解题，解题的关键是理解并熟练掌握若一元二次方程两根为 ， ，则 ， ．
（1）根据材料1提供的关系直接求解即可得到答案；
（2）根据材料2提供的方法直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ， ，
故答案为：4， ；
（2）解：∵实数 满足 ， ，
∴m，n是方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
28．(1) ， ；
(2)原题中“ ”是 ．
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，即可．
（1）把 变形为： ，解出 ，即可；
（2）设一次项系数“□”为 ，把 代入 ，解出 ，即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
则 或 ，
解得： ， ．
（2）设一次项系数“ ”为 ，
∴把 代入 ，∴ ，
解得： ．
即原题中“ ”是 ．
29．(1)
(2) 的周长为10
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系．掌握一元二次方程
的解法和对等腰三角形恰当分类是解题的关键．
（1）将 代入方程求解即可；
（2）首先求出方程的两个根，然后根据等腰三角形的定义和三角形三边的关系求解即可．
【详解】（1）
解：把 代入方程 ．
得： ．
解得： ；
（2）
解：∵ ，
∴原方程为 ，
解得 ，
当腰长为2时，∵ ，∴不能构成三角形，
当腰长为4时，∵ ，∴能构成三角形，
∴等腰三角形 三边为4，4，2，
∴ 的周长为 ．
30．(1)是勾系一元二次方程；
(2)2．
【分析】（1）根据定义，把方程 变形为 ，得到 ，
满足 ，判断即可．
（2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可．本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关
键．
【详解】（1）根据定义，方程 变形为 ，
得到 ，
且 ，
故方程 是否为“勾系一元二次方程”．
（2）∵ 是“勾系一元二次方程” 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 的周长是12，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
故 的面积为2．
