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专题21.2 一元二次方程（分层练习）
一、单选题
1．关于 的一元二次方程 ，常数项为 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． 或 D．
2．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
3．若关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式 的值为（ ）
A． B．2021 C．2022 D．2023
4．根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（ ）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
5．对于题目：“先化简再求值： ，其中 是方程 的根．”甲化简的
结果是 ，求值结果是 ；乙化简的结果是 ，求值结果是 ．下列判断正确的是（ ）
A．甲的两个结果都正确
B．乙的两个结果都正确
C．甲的化简结果错误，求值结果正确
D．甲的化简结果和乙的求值结果合在一起才是正确答案6．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
7．方程 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A． ， ， B． ， ，0 C．3， ，0 D．3，
8．已知关于x的一元二次方程 有一根为0，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或
9．若 是关于x的方程 的两个实数根，则实数 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
10．已知 是方程 的一个根，则 的值是（ ）
A． B．4044 C． D．
11．关于 的方程 是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
12．如果a，b，k均为整数，则满足下面等式 的所有k的取值有( )
A．2个 B．3个 C．6个 D．8个
13．方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（ ）
A． ＜x＜0 B．0＜x＜ C． ＜x＜1 D．1＜x＜
14．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是 ，则 的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
15．若a使得关于x的分式方程 有正整数解，且方程 有解,则满足条件的所有整数a的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
16．方程 化为一般形式是____________________；
17．若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则 的值为______ ．
18．若关于x的方程 是一元二次方程，则a的值为______．
19．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可得 表示为关于x的一次多项式，从而
达到降次的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知 ，可用“降次法”求得
的值是_________．
20．设 ， 是方程 的两个根，则 _______．
21．已知一个一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，它的一个根是 ，则这个方程为 ______．
22．若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________．
23．已知方程 有一根为 ，那么 __________．
24．已知 是一元二次方程 的一个实数根，则代数式 的值为___．
25．设 ， 是整数，方程 有一个实数根是 ，则 ___________．
26．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的一个根是0，则m的值是________．
27．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实
数根，则a+b+c的值为 _____．
28．已知 是方程 的一个根，则 ____．29．已知 为一元二次方程 的一个根，且 ， 为有理数，则 ______，
______．
30．关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x =5，x =-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a
1 2
（x+m+2）2+b=0的根是__________
三、解答题
31．若关于 的方程 是一元二次方程，求不等式： 的解集．
32．把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项
系数和常数项．
33．已知a是方程 的一个根，求代数式 的值．34．已知一元二次方程 ，
(1) 如果方程有一个根是 ，那么 ， ， 之间有什么关系？
(2) 如果方程有一个根是 ，那么 ， ， 之间有什么关系？
(3) 如果方程有一个根是 ，那么未知项的系数或常数项有什么特征？
35．当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1) 为一元二次方程；
(2) 为一元一次方程．
36．已知方程 是关于 的一元二次方程．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为 ，求此方程的根．参考答案
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义即可求得 的值．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 ，常数项为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ ,
∴ ，
∴ ；
故选 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．2．A
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式有关知识．根据一元二次方程的一般形式：
是常数且 中， 叫二次项， 叫一次项， 是常数项，其中 ， ， 分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程 ，
则该方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3．D
【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到 ，再由 进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
4．C
【分析】利用表中数据得到 ，于是可判断x在
范围内取某一个值时， ，所以得到一元二次方程 的一解的取值范围．
【详解】解：∵当 时 ，当 时 ，
∴当x在 中取一个值时， ，
∴一元二次方程 的某一个解的取值范围是 ．
故答案为：C．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
5．D
【分析】根据分式的混合运算化简，然后根据一元二次方程方程的根的定义，得出 ，代入化简结果即可求解．
【详解】解：
，
∵ 是方程 的根．
∴ ，
∴原式 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．
6．B
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方
程，由这四个条件判断即可．
【详解】解：A、 分母中有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、 是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、 化简为： ，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、 含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．7．C
【分析】首先把方程化成一般形式 ，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解： ，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
二次项系数是 、一次项系数是 、常数项是 ，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式 ．其中 叫做二次项系数； 叫做
一次项系数； 叫做常数项．
8．A
【分析】将 带入 ，得到一个关于m的方程，求出m的值，再根据一元二次
方程的定义，排除不符合题意的m的值。
【详解】解：将 带入 得： ，
解得： 或 ；
∵原方程为一元二次方程，
∴ ，即 ，
∴
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关内容，并
灵活运用．
9．B
【分析】利用a是关于x的一元二次方程 的根得到 ，进
而判断出 ，同理判断出 ，即可得出结论．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程 的根，，
，
，
，
同理： ，
，
,
故选：B．
【点拨】此题考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出 是解题的关键．
10．B
【分析】根据方程根的定义，把 代入方程 中得到 ，即
，整体代入 即可得到答案．
【详解】解：根据题意，把 代入方程 中，
，即 ，
，
故选：B．
【点拨】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，将 代入方程 中得到
是解决问题的关键．
11．C
【分析】根据一元二次方程的定义可得 =2，且a+1≠0，解方程即可；．
【详解】解：由题意得 =2，且a+1≠0，，
解得：a=±1，
因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，
即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
12．C【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可．
【详解】解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18，
∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18，
∴a+b=k，ab=18，
∵a，b，k均为整数，
∴a=±1，b=±18，k=±19；
a=±2，b=±9，k=±11；
a=±3，b=±6，k=±9；
故k的值共有6个，
故选C．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．
13．C
【分析】当 时，方程无解，可知 ，方程两边都除以x，得 ，根据 可得 的范围，
从而得到缩小的x的范围，进一步根据 ，再得到缩小的 的范围，进而可确定x的更小范围．
【详解】解：将 代入方程得 ，
∴x≠0，
∴原方程可化为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．14．C
【分析】先化简 ，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a和b
的值，再代入计算即可．
【详解】解： = = 1．
∵方程x2+ax+b=0的一根是 ，
∴ + +b=0．
∴ ．
∴ ．
∵ 、 是整数，
∴
解得
∴ = = ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程
组是解题关键．
15．D
【分析】先解分式方程，求得a的值，再由方程 有解得a的取值范围，则可求得a的值，可
求得答案．
【详解】解分式方程 可得x=4- ，x≠2，
∵a使得关于x的分式方程 有正整数解，∴a的值为0、2、6，
方程 ，
当a=0时，方程有实数解，满足条件，
当a≠0时，则有 ≥0，即16+8a≥0，解得a≥-2且a≠0，
∴满足条件的a的△值为-2，0、2、6，共4个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查方程的解，求得a的整数值是解题的关键．
16．
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项合并同类项即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式： （a，b，c是常数且 ）特别要注意
的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，bx叫一次项， 是常数
项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
17．
【分析】将 代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得 的值．
【详解】解：根据题意，将 代入方程可得 ，
解得： 或 ，
，即 ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不
能为 ，难度不大．
18．【分析】根据一元二次方程的定义得出 且 ，再求出 即可．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出 且 是
解此题的关键．
19．
【分析】由 得 ，利用整体代入即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握完全平方公式和整体代入是解题的关键．
20．
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得 ， ，然后代入式子求值即可．
【详解】解：由题意知， ， ，．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
21．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可设： ，
将 代入 ，得
，
∴ ，
故该方程为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
22．-3
【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2−7＝2；再根据一元二次方程中二
次项系数不等于零，即可确定m的值．
【详解】解：∵该方程为一元二次方程，
∴m2−7＝2，
解得m＝±3；
当m＝3时，m-3＝0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；
∴m＝-3，
故答案为：-3．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），解题的关键
是特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
23．3
【分析】将 代入 求得x的值即可．
【详解】解：将 代入 可得：
所以 ，解得 或由 ，则 ．
故答案为3．
【点拨】本题主要考查了方程的根，使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根．
24．4
【分析】根据方程的解的定义把 代入一元二次方程 ，得到 ，然后将其整体代
入所求的代数式进行求值．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：4．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用．
25．1
【分析】根据一个根是 ，代入方程，得到 ， 等式，再由 ， 是整数，即可求出
的值．
【详解】∵ ，
∴把 代入方程有 ，
整理得 ，
∵ ， 是整数，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：1
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由 ， 是整数就可以求出 ， 的值．
26．-1【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=0
代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，还要注意一元二次方程的系数不能等于0．
【详解】解：把x=0代入(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0中得：
m2－1＝0
解得：m=1或m=-1，
∵m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1，
故答案为：-1．
【点拨】此题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题过程中要注意一元二次方程的系数
不能等于0．
27．0
【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3
个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
【详解】解：设这个相同的实数根为t，
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t ）2 0，
∴a+b+c＝0，
故答案是：0．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
28．
【分析】由方程根的定义可得 ，变形为 ．再将 等号两边同
时乘 并变形得 ，代入 逐步化简即可．
【详解】∵ 是方程 的一个根．
∴ ，即 ．
将 等号两边同时乘 得：，即 ．
∴ ．
故答案为：-2021．
【点拨】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
29． ； ；
【分析】将 因式分解求得 ，则 可化简得 ，根据 ，
为有理数，可得 ， 也为有理数，故当 时候，只有 ， ，
据此求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵ ， 为有理数，
∴ ， 也为有理数，
故当 时候，只有 ， ，
∴ ， ，
故答案是： ， ；【点拨】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数
的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
30．x =3，x =-8
1 2
【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2+m）2+b=0，对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解
之可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x =5，x =-6，
1 2
∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0，
∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6，
解得x =3，x =-8，
1 2
故答案为：x =3，x =-8
1 2
【点拨】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行
简便计算．
31．
【分析】先根据一元二次方程的定义求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解： 是一元二次方程，
， ，
解得： ， ，
，
原不等式变为： ，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定
义求出m的值．
32． 二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ， ， ．
【分析】先括号、移项、合并、系数化为1得 ，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的
定义求解．
【详解】去括号，得移项、合并同类项，得
二次项系数化为 ，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ， ， ．
【点拨】本题考查了一元二次方程一般式： ，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫
常数项．
33． ，3
【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：
，
∵a是方程 的一个根，
∴ ，
即 ．
∴原式 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关
键．
34．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把 代入方程即可得出答案；
（2）把 代入方程即可得出答案；
（3）把 代入方程即可得出答案．
【详解】（1）解：把 代入方程 得： ，
∴ ， ， 之间的关系是： ；（2）把 代入方程 得： ，
∴ ， ， 之间的关系是： ；
（3）把 代入方程 得： ，
∴常数项 ．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根，掌握这个概念是关键．
35．(1)m＝3
(2)m＝﹣1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或 ，
解得m＝﹣1或m＝0，m＝2，
当m＝﹣1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
36．（1） ；（2） ，
【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程
即可.
【详解】解： 化简，得．
方程 是关于 的一元二次方程，得
，解得 ，
当 时，方程 是关于 的一元二次方程；
由一次项系数为零，得 ．
则原方程是 ，即 ．
因式分解得 ，
解得 ， ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一
次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
