文档内容
专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）
题型一 一元二次方程的定义
题型二 根据一元二次方程的定义求参数
题型三 一元二次方程的一般形式
题型四 一元二次方程的解
题型五 赋值法求一元二次方程的解
题型六 降次求代数式的值
题型七 一元二次方程估值计算
知识点01 一元二次方程的概念
ax2 +bx+c=0(a≠0)
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这
样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知
数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
知识点02 一元二次方程的一般形式
ax2 +bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
知识点03 一元二次方程的根
1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3、常考点：为利用根的概念求代数式的值；
4、一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使 ，一个使 ，则一元二次方ax2 +bx+c=0
程 的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
【经典例题一 一元二次方程的定义】
【例1】（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
① ② ③ ④
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数
是 ，（2）二次项系数不为 ，（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验
证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：① 是整式方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ，二次项系数不
为 ，故是一元二次方程；② ，只有当 时，才是一元二次方程，故不是一元二次方程；
③ ，整理得 ，未知数最高次数为 ，不是一元二次方程；④ 是分式
方程，不是一元二次方程，
综上所述，①为一元二次方程，一元二次方程只有 个．
故选： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 ．
1．（2023九年级下·全国·专题练习）下列方程中，一元二次方程共有（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判定，注意不是最简形式的方程，要化成最简形式．一元二次方程
的定义是，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
②含有x、y两个未知数，故本选项错误；
③分母中含有未知数，故本选项错误；
④符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
⑤符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
⑥原方程化简后为 ，含未知数的项的次数是1，故本选项错误．
∴一元二次方程有①④⑤，共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握化简后的方程符合一元二次方程的定
义．
2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）下列方程中，①7x2+6＝3x；② ＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣
5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ．
【答案】①③⑤．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）
是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程，
故答案为：①③⑤．
【点睛】此题考查一元二次方程的概念，解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看
是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）判断下列关于 的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元
几次方程？
①
②
③
④
⑤
【答案】①是整式方程，是一元二次方程；②是整式方程，是一元三次方程；③是整式方程，是一元一次
方程；④是整式方程，是一元四次方程；⑤不是整式方程.【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．只含有未知数的整式的方程叫整式方程.分母里含有未知数
的方程叫做分式方程．
【详解】解：① 两边都是整式，所以是整式方程，是一元二次方程；
② 两边都是整式，所以是整式方程，是一元三次方程；
③ 分母中不含未知数，所以是整式方程，是一元一次方程；
④ 两边都是整式，是整式方程，是一元四次方程；
⑤ 分母中含有未知数，不是整式方程.
【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就
是看分母中是否含有未知数．
【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】
【例2】（22-23九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于x的方程 是一元二次方程，
则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的方程，叫做一元二次方程，即可列出式子，求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
解得 ， ，
故 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键．
1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果关于x的一元二次方程 ，有一个解是
0，那么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或【答案】B
【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方
程对二次项系数为0．
【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
2．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知关于 的方程 是一元二次方程，
则 为 .
【答案】
【分析】一元二次程的一般形式： （ ），据此进行求解即可．
【详解】解：由题意得
，
解得： ；
故答案： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键，含有一个未知数并且未知数的次
数为2的整式方程为一元二次方程．
3．（23-24八年级上·上海·课后作业）方程 ．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
【答案】（1）m=－4，x=±1；（2）m=2或m=1或m=－3
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且 ，解答即可；
（2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或 且2m+2≠0．【详解】（1）依题意得：m﹣2≠0且 ，解得：m=－4，此时方程为： ，解得：
x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1．
（2）依题意得：m－2=0，或 且2m+2≠0，解得：m=2或m=1或m=－3．
即当m=2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题．
【经典例题三 一元二次方程的一般形式】
【例3】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）方程 化成一元二次方程的一般形式后，其中的
二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数，常数项即可．
【详解】解： 化成一元二次方程的一般形式为： ，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，在一般形式中 叫二次项， 叫一次项，c是常数项．
其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）将方程 化为一元二次方程的一般式，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可．
【详解】解： ，，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： （
是常数且 ）特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次
项， 叫一次项，c是常数项．其中 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（2022九年级上·全国·专题练习）方程 化为一般形式是 ；其中二次项系
数是 ．
【答案】 6
【分析】先将 化成一般式，再确定二次项系数即可．
【详解】解： ，
，
，
．
故一般形式为： ，二次项系数为：6．
故答案为： ，6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般式： （ ，a，
b，c为常数）． 叫二次项，a叫二次项系数； 叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．将原方程化
成一元一次方程的一般形式成为解答本题的关键．
3．（2021九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项
系数和常数项：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ，二次项系数是3、一次项系数是 、常数项是2；（2）
化为 ，二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是
【分析】一元二次方程的一般形式是 （a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、
一次项系数、常数项，据此解答即可．
【详解】解：（1）∵ 化为一般形式为 ，
∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2；
（2）∵ 化为一般形式为 ，
∴二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式： （a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分
别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【经典例题四 一元二次方程的解】
【例4】（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）若 是关于 的一元二次方程 的一个根，
则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．9
【答案】A
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是将 代入 计算．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程 的一个根，
，
，故选：A．
1．（2024九年级·全国·竞赛）方程 和方程 有一个实数根相同，则 的值是
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查方程的解，理解方程的解的概念是解题关键．联立方程计算求解．
【详解】解：∵方程 和 有一个根相同，
∴ ，即 ，
解得
又∵ ，
∴ ，
此时 ．
故选：D．
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若 为方程 的一个根，则代数式 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，将a代入方程得 ，然后整体代入得结果．
【详解】解：∵a是方程 的一个根，
∴将a代入方程，得： ，
即： ，
∴ ，．
故答案为： ．3．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值： ，其中x是方程 的根．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最
简结果，再整体代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵x是方程 的根，
∴ ，
∴原式 ．
【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】
【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式
的值为（ ）．
A． B．23-24 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把 代入 ，可得 ，再代入，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故选：D
1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则
的值等于（ ）
A．2027 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键．
将 代入一元二次方程，求得 ，整体代入即可．
【详解】解：将 代入一元二次方程 得，
，即
∴ ．
故选：D．
2、（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若 ，求证： 必是该方程的一个根；
(2)当 之间的关系是___________时，方程必有一个根是 ？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键；
（1）由 ，可得 ，从而可得答案；（2）由 时，可得 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴当 时，方程 成立，
∴ 是方程 的一个解，
（2）∵ 时，有 ，
∴当 时，方程 必有一个根是 ．
3、（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知 是方程 的一个根．求：
(1) 的值．
(2)代数式 的值．
【答案】(1) ；
(2)2019．
【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到 ，则 ，然后把
代入原式即可求解；
（2）可化简得原式 ，然后通分后再次代入后化简即可．
【详解】（1）解： 是方程 的一个根，
，
，
；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进
行变形．
【经典例题六 降次求代数式的值】
【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程 的一个根，则 的值
为（ ）
A．23-24 B． C．23-24 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到 ，再用a表示 得到
，然后利用整体代入的计算所求代数式的值．
【详解】解：∵a是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．1、（2024·江苏南通·二模）若m是方程 的一个实数根，则代数式 的值为
．
【答案】2020
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得 ，则 ，然后整体代入化简求值即可．
【详解】解：由题意得 ，
则 ，
∴ ，
∴
故答案为：2020．
2、（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知 是方程 的一个根，求 的值．
【答案】
【分析】
由 是方程 的一个根，得到 ，将 化为 ，代
入后，即可求解，
本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化．
【详解】
解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即： ，
∴
，
故答案为： ．3、（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程 的解，求式子 的值．
【答案】
【分析】根据m是方程 的解，得到 ，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵m是方程 的解，
∴ ，即： ，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及
利用整体思想进行求解，是解题的关键．
【经典例题七 一元二次方程估值计算】
【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于 的一元二次方
程 的一个解 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据表格中 与 的值的特征，确定出 解 的范围即可．
【详解】解：根据表格得：
当 时， ，
当 时， ，则关于 的一元二次方程 的一个解 的范围是 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程 +12x﹣15=0必有一
个解x满足（ ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣10，则可以判断
方程x2 +12x﹣15=0时，有一个解x满足1.10，
∴ 1.1
