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周四
1.(2024·来宾模拟)已知a=tan 2，b=lg π，c=√e，则a，b，c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<b<a D.c<a<b
答案 A
π
解析 因为 <2<π，则a=tan 2<0，
2
又0=lg 1<b=lg π<lg 10=1，c=√e>1，
所以a<b<c.
2.(2024·烟台模拟)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，
2n
例如φ(4)=2.已知b = ，n∈N*，T 是数列{b }的前n项和，若T <M恒成立，则M的最小值为( )
n φ(3n+1
)
n n n
3 7
A. B.1 C. D.2
4 6
答案 A
解析 因为3为质数，在不超过3n的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为3n-1，
φ(3n)=3n-3n-1=2×3n-1(n∈N*)，
所以φ(3n+1)=2×3n，
2n 2n n
则b = = = .
n φ(3n+1 ) 2×3n 3n
所以T =b +b +b +…+b +b
n 1 2 3 n-1 n
1 2 3 n-1 n
= + + +…+ + ， ①
3 32 33 3n-1 3n
1 1 2 3 n-1 n
T = + + +…+ + ， ②
3 n 32 33 34 3n 3n+1
①-②可得
2 1 1 1 1 n
T = + + +…+ -
3 n 3 32 33 3n 3n+1
1[ (1) n]
1-
3 3 n
= -
1
3n+1
1-
3
1[ (1) n] n 1 (1) n (1 n)
= 1- - = - + ，
2 3 3n+1 2 3 2 33 (1) n (3 n) 3
所以T = - + < .
n 4 3 4 2 4
n
因为b = >0，所以T 单调递增，
n 3n n
3
又T <M恒成立，所以M≥ ，
n 4
3
所以M的最小值为 .
4
3.(多选)(2024·厦门质检)为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数
^ ^
据y(单位：百亿元)建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为 y=0.42x+a，其中自变量x指的是1~6月
的编号，其中部分数据如表所示：
时间 2023年1月 2023年2月 2023年3月 2023年4月 2023年5月 2023年6月
编号x 1 2 3 4 5 6
y/百亿元 y y y 11.107 y y
1 2 3 5 6
6 6
参考数据： Σ y2 =796， Σ (y - y) 2 =70.
i i
i=1 i=1
则下列说法正确的是( )
A.经验回归直线经过点(3.5，11)
^
B. =10.255
a
C.根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元
D.相应于点(x ，y )的残差为0.103
4 4
答案 AC
1
解析 选项A，由题意得x= ×(1+2+3+4+5+6)=3.5，
6
6 6 6
因为 Σ y2 =796， Σ (y - y) 2 = Σ y2 -6y2=70，
i i i
i=1 i=1 i=1
所以796-6y2=70，得y=11，
因此该经验回归直线经过点(x，y)，
即(3.5，11)，故A正确；
^ ^
选项B，由A知11=0.42×3.5+a，得a=9.53，故B错误；^
选项C，由B得y=0.42x+9.53，
^
则当x=12时，y=14.57，
故该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元，故C正确；
^ ^
选项D，当x=4时，y=11.21，相应于点(x
4
，y
4
)的残差为11.107-11.21=-0.103(相应于点(x
i
，y
i
)的残差e=y
i
-
i
^
y)，故D错误.
i
4.(2024·德州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，√2(a2+b2-c2)=absin C，且c=1，则
△ABC面积的最大值为 .
√2
答案
4
解析 因为√2(a2+b2-c2)=absin C，
由余弦定理2abcos C=a2+b2-c2，
得2√2abcos C=absin C，
所以sin C=2√2cos C，
又sin2C+cos2C=1，C∈(0，π)，
2√2 1
则sin C= ，cos C= .
3 3
所以由余弦定理以及基本不等式得
2ab 2ab 4ab
1=a2+b2-2abcos C=a2+b2- ≥2ab- = ，
3 3 3
3 √3
即ab≤ ，当且仅当a=b= 时等号成立.
4 2
1 √2 √2
所以S = absin C= ab≤ ，
△ABC 2 3 4
√2
即△ABC面积的最大值为 .
4
x2
5.(2024·安徽A10联盟模拟)已知椭圆C： +y2=1的右焦点为F，C在点P(x ，y )(y ≠0)处的切线l分别交直
2 0 0 0
线x=1和直线x=2于M，N两点.
(1)求证：直线x x+2y y-2=0与C相切；
0 0
|MF|
(2)探究： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
|NF|
{x x+2y y-2=0,
0 0
(1)证明 联立 x2
+ y2=1,
2
整理得(x2 +2y2 )x2-4x x+(4-4y2 )=0.
0 0 0 0x2
又因为
0+y2
=1，
2 0
即x2 +2y2
=2，
0 0
则x2-2x x+x2 =0，
0 0
即(x-x )2=0，此方程有唯一解，即直线x x+2y y-2=0与椭圆C相切.
0 0 0
2-x x
0
(2)解 由(1)知，直线l的方程为x x+2y y-2=0，即y= ，
0 0 2y
0
将方程x=1和方程x=2分别与上式联立，
2-x
( )
得M 1， 0 ，
2y
0
1-x
( )
N 2， 0 .
y
0
(2-x ) 2
0
因为F(1，0)，所以|MF|2= ，
4 y2
0
1-x 2
( )
|NF|2=(2-1)2+ 0
y
0
x2-2x +1
0 0
=1+
y2
0
x2+ y2-2x +1
0 0 0
=
y2
0
(
x2
)
x2+ 1- 0 -2x +1
= 0 2 0
y2
0
(x -2) 2
0
= ，
2y2
0
(2-x ) 2
0
|MF|2 4 y2 1
0
所以 = = ，
|NF|2 (2-x ) 2 2
0
2y2
0
|MF| √2
即 为定值 .
|NF| 2
