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周六
sin3α
1.(2024·承德模拟)已知tan α=2，则 等于( )
sinα+cosα
2 2
A.- B.
15 15
7 7
C.- D.
9 9
答案 A
sin3α sinαcos2α+cosαsin2α
解析 =
sinα+cosα sinα+cosα
tanαcos2α+sin2α
=
tanα+1
2cos2α+sin2α
=
3
2(cos2α-sin2α)+2sinαcosα
=
3(sin2α+cos2α)
2(1-tan2α)+2tanα
2
= =- .
3(tan2α+1) 15
2.(2024·郑州模拟)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整
数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a=C1 ×2+C2 ×22+…+C20
20 20 20
×220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是( )
A.2 018 B.2 020
C.2 022 D.2 024
答案 B
解析 因为a=C1 ×2+C2 ×22+…+C20 ×220，
20 20 20
所以a+1=C0 +C1 ·2+C2 ·22+…+C20 ·220
20 20 20 20
=(1+2)20=320=910
=(10-1)10=C0 ×1010-C1 ×109+…-C9 ×10+1，
10 10 10
所以a=C0 ×1010-C1 ×109+…-C9
×10
10 10 10
=10(C0 ×109-C1 ×108+…-C9 )，
10 10 10
即a被10除得的余数为0，结合选项可知只有2 020被10除得的余数为0.
3.(多选)(2024·徐州适应性测试)已知函数f(x)=ex(x-aex)，a∈R，则下列说法正确的是( )
A.当a=-1时，f(x)有唯一零点1
B.当a> 时，f(x)是减函数
2
1
C.若f(x)只有一个极值点，则a≤0或a=
2
f(x )-f(x )
D.当a=1时，对任意实数t，总存在实数x ，x ，使得f'(t)= 1 2
1 2 x -x
1 2
答案 ABD
解析 对于A，当a=-1时，f(x)=ex(x+ex)，令f(x)=0，得x+ex=0，
令g(x)=x+ex，得g'(x)=1+ex>0，
即g(x)在R上单调递增，
又g(-1)=-1+e-1<0，g(0)=1>0，
由函数零点存在定理可得g(x)=x+ex在R上有唯一零点，即f(x)有唯一零点，A正确；
对于B，f'(x)=ex(x-aex)+ex(1-aex)=ex(x+1-2aex)，
x+1
令x+1-2aex<0，得2a> ，
ex
x+1
设h(x)= ，
ex
ex-(x+1)ex -x
则h'(x)= = ，
(ex
)
2 ex
当x<0时，h'(x)>0，h(x)单调递增，当x>0时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
1
所以h(x) =h(0)=1，又当a> 时，2a>1，
max 2
x+1 1
所以2a> 恒成立，即当a> 时，f(x)是减函数，B正确；
ex 2
1 x+1
对于C，当a= 时，由B知 ≤1，即x+1≤ex，
2 ex
所以f'(x)=ex(x+1-ex)≤0，即f(x)在R上单调递减，无极值，C错误；
对于D，当a=1时，f(x)=ex(x-ex)，f'(x)=ex(x+1-2ex)，
x+1
由B知 ≤1，则x+1≤ex<2ex，所以f'(x)<0，
ex
所以f(x)在R上单调递减，
且当x→-∞时，f(x)→0，当x→+∞时，f(x)→-∞，可得f(x)的大致图象如图.
f(x )-f(x )
1 2
由图可知，对任意实数t，总存在实数x ，x ，使得f'(t)= ，D正确.
1 2 x -x
1 2
4.(2024·温州模拟)过抛物线y2=2px(00，b>0)的实轴长为4，左、右焦点分别为F ，F ，
a2 b2 1 2
其中F 到渐近线的距离为1.
2
(1)求双曲线Γ的标准方程；
(2)若点P是第一象限内双曲线Γ上的一个动点，双曲线Γ在点P处的切线l 与x轴相交于点T.
1
①证明：射线PT是∠F PF 的平分线；
1 2
②过坐标原点O的直线l 与l 垂直，与直线PF 相交于点Q，求△QF F 面积的取值范围.
2 1 1 1 2
(1)解 因为实轴长为4，
所以2a=4，即a=2，
b bc
因为右焦点F (c，0)到渐近线y=± x的距离为1，所以 =b=1，
2 a √a2+b2x2
故双曲线Γ的标准方程为 -y2=1.
4
(2)①证明 由题意知切线l 的斜率存在，设P(x ，y )，x >2，y >0，
1 0 0 0 0
切线l ：y-y =k(x-x
)，则x2 -4y2
=4，
1 0 0 0 0
{
x2
- y2=1,
联立 4
y- y =k(x-x ),
0 0
化简得
(1 -k2)
x2-2k(y -kx )x-(y -kx )2-1=0.
4 0 0 0 0
x
0
由Δ=0，解得k= ，
4 y
0
x
0
所以直线PT：y-y = (x-x )，
0 4 y 0
0
( 4 )
令y=0，得T ，0 ，
x
0
4 4
故|TF |= +√5，|TF |=- +√5.
1 x 2 x
0 0
√5 √5
因为|PF |=√(x +√5) 2+ y2= x2+2√5x +4=2+ x ，
1 0 0 4 0 0 2 0
√5
所以|PF |=|PF |-4= x -2，
2 1 2 0
|PF | |T F |
1 1
所以|PF |·|TF |=|TF |·|PF |，即 = ，
1 2 1 2 |PF | |T F |
2 2
故射线PT是∠F PF 的平分线.
1 2
②解 过F 作l ⊥l ，与直线PF 交于点E，
2 3 1 1
因为l 为∠F PF 的平分线，所以|PF |=|PE|，
1 1 2 2
所以|F E|=|PF |-|PE|=|PF |-|PF |=4.
1 1 1 2
因为OQ⊥l ，F E⊥l ，所以OQ∥F E，
1 2 1 2
又因为O为F F 的中点.
1 2
则OQ是△F F E的中位线，故Q是F E的中点.
1 2 1
所以|F Q|=2，记∠PF F =θ，
1 1 2
因为OQ⊥l ，所以∠PQO为锐角，所以∠F QO为钝角，
1 1所以|F Q|2 +|OQ|2<|F O|2 ，
1 1
即4+|OQ|2<5，
所以|OQ|2<1，所以|OQ|<1，
|OQ|sin∠F QO 1
1
由正弦定理得sin θ= < ，
√5 √5
( √5) 1
所以sin θ∈ 0， ，则S = |F Q||F F |·sin θ=2√5sin θ∈(0，2).
5 △QF 1 F 2 2 1 1 2
故△QF F 面积的取值范围是(0，2).
1 2
