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第十章 新定义（模块综合调研卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：
多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度
用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：
正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 ，故其
总曲率为 ．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足 ，则八面体的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设每个面记为 边形，求出所有的面角和，再根据定义即可得解.
【详解】设每个面记为 边形，
则所有的面角和为 ，
根据定义可得该类多面体的总曲率 ．
故选：C．
2．定义 表示两个数 中的较小者， 表示两个数 中的较大者，设集合
都是 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的都有， ,则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，对于M，含2个元素的子集有 个,
其中, {1，2}、{2，4}、{3，6}、{4，8}可以任选两个;
{1，3}、{2，6}符合题意;
{2，3}、{4，6}符合题意;
{3，4}、{6，8}符合题意;
即满足 的任意的 最多有4个,
故 的最大值是4,
应选：C.
3．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了
很多宝贵的成果.若 为 上任意 个实数，满足
，则称函数 在 上为“凹函数”.也可设可导函数
在 上的导函数为 在 上的导函数为 ，当 时，函数 在
上为“凹函数”.已知 ，且 ，令 的最小值
为 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记函数 ，先判断函数的凹凸性，然后利用琴生不等式得
，即可求解.
【详解】记函数 ，首先证明其凹凸性：
，在(0,1)上为“凹函数”.
由琴生不等式，得 ，
即 .
所以 ，
即当 时， 取最小值 ，所以 .
故选：B.
4．设集合 ． 对于集合 的子集A，若任取A中两个不同元素
，有 ，且 中有且只有一个
为 ，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有 个元素 B．一个“好子集”中最多有 个元素
C．一个“好子集”中最多有 个元素 D．一个“好子集”中最多有 个元素
【答案】A
【分析】不妨设 ，则 三者为1或0，分类讨论，确定，一个“好子集”中最多
有 个元素.
【详解】 中有且只有一个为 ，不妨设 ，
则 三者为1或0，
若 三者均为0，则此时A中只有1个元素，即 ，
不合要求，舍去，
若 三者中有1个0，则 ，有3个元素，满足要求，
若 三者中有2个0，或没有0，则此时不满足 ，
综上，一个“好子集”中最多有 个元素.
故选：A
5．对于数列 ，若存在正数 ，使得对一切正整数 ，都有 ，则称数列 是有界的.若这样
的正数 不存在，则称数列 是无界的.记数列 的前 项和为 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则数列 是无界的 B．若 ，则数列 是有界的C．若 ，则数列 是有界的 D．若 ，则数列 是有界的
【答案】C
【分析】根据 可知A错误；由 可知 不存在最大值，即数列 无界；分别在 为偶
数和 为奇数的情况下得到 ，由此可确定 ，知C正确；采用放缩法可求得 ，
由 可知D错误.
【详解】对于A， 恒成立， 存在正数 ，使得 恒成立，
数列 是有界的，A错误；
对于B， ，
， ，即随着 的增大，不存在正数 ，使得 恒成立，
数列 是无界的，B错误；
对于C，当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
， 存在正数 ，使得 恒成立，
数列 是有界的，C正确；
对于D， ，
；
在 上单调递增， ，
不存在正数 ，使得 恒成立， 数列 是无界的，D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最
值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.
6．对于三次函数 给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，同学经过探
究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：
（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【分析】根据题意求出函数 的对称中心为 ，可得出 ，用倒
序相加法即可求解.
【详解】由题意可知 ，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，由题意可知函数 的对称中心为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以
，
所以 .
故选：C
【点睛】对称性常用结论;
1、若对于 上的任意 ，函数 都有 ，则 图象关于直线 对称.
2、若对于 上的任意 ，函数 都有 ，则 图象关于点 中心对称.
7．已知无穷数列 ， ．性质 ， ， ，性质 ， ， ，
，给出下列四个结论：
①若 ，则 具有性质 ；
②若 ，则 具有性质 ；
③若 具有性质 ，则 ；
④若等比数列 既满足性质 又满足性质 ，则其公比的取值范围为 ．
则所有正确结论的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据性质 的定义可判断①；根据性质 的定义可判断②；根据性质 的定义可得 ，
，利用累加法可证③；对于④，结合③，可得 ，由{a }满足性质 ，分 和 讨论
n
求出 ，再由{a }满足性质 得 ，构造 ，求导结合函数单调性可验证
n
满足题意.
【详解】对于①，因为 ，对 ， ，
即 ，所以{a }不具有性质 ，故①错误；
n
对于②， ，对 ， ，
，
，即{a }具有性质 ，故②正确；
n
对于③，若{a }具有性质 ，令 ，则 ，
n
即 ， ，
，又 ，
所以 ， ，故③正确；
对于④，{a }是等比数列，设其公比为 ，又 ， ，
n
若{a }满足性质 ，由选项③得 ，即 ， ， ，
n
由 ， ，得 ，
当 时，得 ，即 ，对 ，又 ， ，
当 时，不妨设 ，则 ，
，解得 ， ，
综上，若{a }满足性质 ，则 .
n
若{a }满足性质 ，对 ， ， ，
n
可得 ，即 ，令 ，则 ，
又 ，所以函数 在 上单调递增，又由{a }满足性质 ， ，
n
成立，
所以等比数列{a }既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为 .
n
故④正确.
故正确的为②③④共 个.故选：C
【点睛】方法点睛：对于以数列为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程
中；
2、用好数列的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的数列的性质的一些因素.
8．设 ，若函数 有且只有三个零点，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 与 ，先利用导数研究得 的性质，再利用二次函数
的性质研究得 的性质，从而作出 的图像，由此得到 ，分类讨论 与 时
的零点情况，据此得解.
【详解】令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
又因为对于任意 ，在 总存在 ，使得 ，
在 上由于 的增长速率比 的增长速率要快得多，所以总存在 ，使得 ，
所以 在 与 上都趋于无穷大；
令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，故 ，
.
因为函数 有且只有三个零点，
而 已经有唯一零点 ，所以 必须有两个零点，则 ，即 ，解得 或
，当 时， ，则 ，
即 在 处取不到零点，故 至多只有两个零点，不满足题意，
当 时， ，则 ，所以 在 处
取得零点，
结合图像又知 与 必有两个交点，故 在 与 必有两个零点，
所以 有且只有三个零点，满足题意；
综上： ，即 .
故选：C.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．若数列 满足 （ ， 为常数），则称数列 为“调和数列”.已知数列 为
“调和数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，且 ， ，则
C．若 中各项均为正数，则
D．若 ， ，则
【答案】BCD
【分析】根据“调和数列”的定义可以确定 为等差数列，再利用等差数列的性质可以确定 错误；利
用等差数列的定义求得其通项公式，则 正确；根据等差数列的性质结合基本不等式可得证，则 正确；
构造函数 ，得 ，得 ，再求和即可得到 正确.
【详解】依题意可得 为等差数列,由 ,根据等差数列的性质得 ，
则可得 ， ， ，故 错误；
由 ，且 ， ，可得 ， ， ， ，，故 正确；
由 为等差数列，可得 ， ，当且仅
当 时取等号，故 正确；
由 ， ，可求得 ，令 ， ， ，则 在 上
单调递减，在 上单调递增，则 ，即 恒成立，即 在 时恒成立，
恒成立， ， ， ，
，所以 正确.
故选： .
10．已知向量 ， ，O是坐标原点，若 ，且 方向是沿 的方向绕着A点按逆时针方向
旋转 角得到的，则称 经过一次 变换得到 ．现有向量 经过一次 变换后得到
， 经过一次 变换后得到 ，…，如此下去， 经过一次 变换后得到 ，
设 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】当 时， ， ，根据平面向量坐标的数乘运算及两角和的正弦余弦公式即可
判断AB；设 ，当 时，由定义得出 ，结合向量
旋转的坐标表示得出 ，由等
比数列求和公式得出 ，根据两角和的正弦余弦公式即可求得 ，进而判断
CD．【详解】当 时， ， ，
则
，故A正确，B错误；
设 ，当 时，由题意得，
，
，
因为 ，
所以
，
所以
，故C正确，D错误；
故选：AC．【点睛】关键点睛：平面向量的旋转可以转化为两部分模和角度，若 与 正半轴夹角为 ，逆时针旋转
可以表示为 ，结合定义，即可求解．
11．记 分别为函数 的导函数.若存在 ，满足 且 ，
则称 为函数 与 的一个“S点”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数 与 不存在“S点”
B．若函数 与 存在“S点”，则
C．对于函数 与 .对于任意的 ，均不存在 ，使得函数 与 在
区间 内存在“S点”
D．对于函数 与 .对于任意的 ，存在 ，使得函数 与 在区间
内存在“S点”
【答案】ABD
【分析】根据“S点”的定义，结合导数对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由 ，即 ，
解得 或 .
由 ，即 ，
所以函数 与 不存在“S点”，A选项正确.
B选项，函数 ， ，与 ， ，
由 ，消去 并化简得 ，
则 ，B选项正确.CD选项，对于函数 与 ，
，
由 ，假设 ，得 ，得 .
由 得 ，得 ，
令 ，
设 ，
则 ，得 ，
由 的图象在(0,1)上不间断，
则 在(0,1)上有零点，则ℎ(x)在(0,1)上有零点，
故存在 ，使函数 与 在区间(0,+∞)内存在“S点”.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、
步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题
方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12． ，若定义
，则 中的元素有 个．
【答案】
【分析】根据复数模的运算公式，结合题中定义进行求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
共14个元素.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题中定义.
13．在空间直角坐标系下，由方程 所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆
面）.如果用坐标平面 分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为 ， ， 上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球
面的轴与坐标轴重合，且过椭圆 与点 ，则这个椭球面的方程为 .
【答案】
【分析】采用待定系数法，结合已知定义可设 ，代入点 坐标即可结果.
【详解】设椭球面的方程为： ，
椭球面过点 ， ，解得： ，
椭球面的方程为： .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查与椭圆有关的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解椭球面方程与
截面方程之间的关系，进而采用待定系数法来进行求解.
14．俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数 ，以及函数
，切比雪夫将函数 ， 的最大值称为函数 与 的“偏
差”．若 ， ，则函数 与 的“偏差”取得最小值时，m的值为
．
【答案】
【分析】结合所给条件，可得函数 与 的“偏差”为 ，结合绝对值不等式，
求出 即可得.
【详解】令 ，令 ，
因为 ，所以 ， ，
由 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
则 ，
故当且仅当 时，有 .
故函数 与 的“偏差”取得最小值时，m的值为 .
故答案为：−2
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合题意得到 ，从而可得出
取最小值时， 的值.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如果n项有穷数列 满足 ， ，…， ，即 ，则称有穷数列
为“对称数列”.
(1)设数列 是项数为7的“对称数列”，其中 成等差数列，且 ，依次写出数列
的每一项；
(2)设数列 是项数为 ( 且 )的“对称数列”，且满足 ，记 为数列 的前
项和.
①若 ， ，…， 构成单调递增数列，且 .当 为何值时， 取得最大值?
②若 ，且 ，求 的最小值.
【答案】(1)1，3，5，7，5，3，1
(2)①1012；②2025
【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；
（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列
相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果
【详解】（1）因为数列{b }是项数为7的“对称数列”，所以 ，
n
又因为 成等差数列，其公差 ，…
所以数列{b }的7项依次为1，3，5，7，5，3，1；
n（2）①由 ， ，…， 是单调递增数列，数列 是项数为 的“对称数列”且满足 ，
可知 ， ，…， 构成公差为2的等差数列， ， ，…， 构成公差为 的等差数列，
故
，
所以当 时， 取得最大值；
②因为 即 ，
所以 即 ，
于是 ，
因为数列 是“对称数列”，
所以
，
因为 ，故 ，
解得 或 ，所以 ，
当 ， ，…， 构成公差为 的等差数列时，满足 ，
且 ，此时 ，所以 的最小值为2025.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到 ， ，…， 构成公
差为 的等差数列.
16．在高等数学中，我们将 在 处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中 表示 的n次导
数 ），以上公式我们称为函数 在 处的泰勒展开式.当 时泰勒展开式也称为麦克
劳林公式.比如 在 处的麦克劳林公式为： ，由此当 时，可
以非常容易得到不等式 请利用上述公式和所学知识完成下
列问题：
(1)写出 在 处的泰勒展开式.
(2)若 ， 恒成立，求a的范围;（参考数据 ）(3)估计 的近似值（精确到 ）
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【分析】（1）求导，根据题意写出 在 处的泰勒展开式；
（2）结合 在 处的泰勒展开式，构造函数证明 ，再令
， ，求导得到函数单调性，证明出 ，当 时，
，满足要求，当 时，令 ， ，易求
得 ，所以必存在一个区间 ，使得 在 上单调递减， 所以 时，
，不合要求，从而得到答案；
（3）求出 和 的泰勒展开式，得到 ，令 ，估计 的近似
值.
【详解】（1） ， ， ， ，
其中 ，
在 处的泰勒展开式为： ，
（2）因为 ，
由 在 处的泰勒展开式，先证 ，
令 ，
，易知 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，再令 ， ，易得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，所以 恒成立，
当 时， ，所以 成立，
当 时，令 ， ，易求得 ，
所以必存在一个区间 ，使得 在 上单调递减，
所以 时， ，不符合题意.
综上所述， .
（3）因为 转化研究 的结构，
，
，
两式相减得 ，
取 得 ，
所以估计 的近似值为 （精确到 ）.
【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
， ，
，
，
，
17．正整数集 ，其中 .将集合 拆分成 个三元子集，这 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合
是“三元可拆集”.
(1)若 ，判断集合 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；
(2)若 ，证明：集合 不是“三元可拆集”；
(3)若 ，是否存在 使得集合 是“三元可拆集”，若存在，请求出 的最大值并给出一种拆法；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)是，拆法见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1） ，可拆成 或 ､ ；
（2）三元可拆集”中所有元素和为偶数， 中所有元素和为 ，与和为偶数矛盾；
（3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为 ，利用等差数
列求和得到 ，结合 ，得到不等式，求出
，当 时写出相应的集合 以及具体拆法，得到答案.
【详解】（1）是， ，可拆成 或 ､ ；
（2）对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，
则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而 ，
中所有元素和为 ，与和为偶数矛盾，
所以集合 不是“三元可拆集”；
（3） 有48个元素，可以拆成16个三元子集，
将这16个三元子集中的最大的数依次记为 ，
则 ；
另一方面， 中所有元素和为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，即 ；
当 时， ，可拆为 ､
､､
（拆法不唯一）；
综上所述， 的最大值是7.
【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识
等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确
理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
18．已知数列 满足 ，数列 满足 ，
．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)定义：已知数列 ， ，当 时，称 为“4一偶数项和整除数列”．
（i）计算 ， ，其中 ， ．
（ii）若 为“4-偶数项和整除数列”，求 的最小值．
【答案】(1) ， ．
(2)（i） ， ；（ii）
【分析】（1）因式分解得到 ，变形得到 ，故 为公比为3的等比数列，
求出通项公式；
（2）（i）利用等差数列求和公式得到 ，并利用等比数列求和公式得到 ；
（ii）方法一，根据 得到 ，2，3不满足题意， 满足要求，进一步得到
，变形后结合二项式定理得到 ，并得到
，得到结论；
方法二：根据 得到 ，2，3不满足题意， 满足要求，当 时，
，故 ，根据 且 ，证明出结论.
【详解】（1）由 可得 ，
根据 可得 ，由 可得 ，且 ，
所以 是以首项为3，公比为3的等比数列，故 ．
（2）（i） ，
．
（ii）方法一：当 时， ，
显然， ，2，3不满足题意， 时， ，满足要求，
当 时， ，
，
故 ，得证．
方法二：当 时， ，
显然， ，2，3不满足题意． 时， ，满足要求，
当 时， ， ，
因为 且 ，
下面证明 对 恒成立，
令 ，则 ，当 时， ，
故 在x∈(0,+∞)单调递增，故 ，
故 对 恒成立，所以 ，得证，
故 最小值为4.
【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公
式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合
等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
19．“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体
现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 ．设点 ， ， ，规
定 ，且对于运算“ ”， 表示坐标为 的点．若点U，V，W满足
，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数 和 ，使得对于 图像上
任意一点T， 均在 图像上，则称 为 的镜像函数．
(1)若点 ， ，且N~M，求 的坐标；
(2)证明：若 为 的镜像函数， ，则 ；
(3)已知函数 ， 为 的镜像函数．设R~S，且 ．证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数的新定义根据已知条件计算即可；
（2）由镜像函数的定义证明即可；
（3）根据函数的新定义把问题转化为 ，再构造函数
，求导后二次构造函数ℎ(x)求导分析单调性，结合对称性可证明.
【详解】（1）设 ，则根据题意有 ．
因为N~M，则存在点 ，使得：
．
由条件知 ，由 得 ，解得 ，
所以N的坐标为 ， 的坐标为 ．故 的坐标为 ．
（2）由条件知点 在函数 图像上，则点 在函数 的镜像函数 图像上．
所以 ．同理 ，即 ．
由（1）可知，若A~B，则 ，故 ．
（3）设 ，若R~S，且 ，由（1）可知，存在 使得 ．
故 ， ，且 ，
故若 ，只需 （*）．
由（2）可知 ，且因为 ， 的定义域均为(0,+∞)，由对称性可知 ，
的值域也均为(0,+∞)．
故（*）等价于 ．
设 ，则 ．
设 ，则 ，当 时，ℎ ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
故当 时， ， ， 单调递增．
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，故 ，即 ，且由对称性可知 ．
所以 ，
故 ．
综上， ．
【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数新定义的理解，第三问需要将其转化为研究 的单调
性问题.
