文档内容
周三
x2 y2 1
1.(2024·绍兴适应性考试)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为( )
a2 b2 2
A.√3 B.2√3
C.4√3 D.6√3
答案 B
c 1
解析 由 = 可得a2=4c2=4(a2-b2)，(*)
a 2
因为2a=4，即a=2，代入(*)解得b=√3，
故短轴长为2b=2√3.
2.(2024·郑州模拟)下列可以作为方程x3+y3=3xy的图象的是( )
答案 B
解析 当x<0时，x3=3xy-y3=y(3x-y2)<0，
若y<0，则y(3x-y2)>0，不符，
故x<0，y<0不可能同时成立，故A，C，D选项错误.
3.(多选)(2024·湖北宜荆荆随恩模拟)已知x>y>0，则下列不等式正确的有( )
A.ex-ey>x-y B.ln x-ln y>x-y
1 ex ey
C.ln x≥1- D. >
x y x
答案 ACD
解析 设f(x)=ex-x(x>0)，则f'(x)=ex-1>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(y)，即ex-x>ey-y，即ex-ey>x-y，A正确；
令x=e，y=1，则ln x-ln y=1，
而x-y=e-1，所以ln x-ln y0)，
x
1 1 x-1
则h'(x)= - = ，
x x2 x2
当01时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增，
1 1 1
则h(x)=ln x-1+ 在x=1处取得最小值h(1)=ln 1-1+ =0，即ln x≥1- ，C正确；
x 1 x
设g(x)=xex(x>0)，则g'(x)=(x+1)ex>0，
所以g(x)=xex在(0，+∞)上单调递增，
所以由x>y>0得xex>yey，
ex ey
即 > ，D正确.
y x
4.(2024·萍乡模拟)正方体ABCD-A B C D 的棱长为2，P为该正方体侧面CC D D内的动点(含边界)，若
1 1 1 1 1 1
PA，PB分别与直线AD所成角的正切值之和为√2，则四棱锥P-ABCD的体积的取值范围为
.
[2√2 4]
答案 ，
3 3
解析 在正方体ABCD-A B C D 中，以A为原点，AB，AD，AA 所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空
1 1 1 1 1
间直角坐标系，设P(x，2，z)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
⃗PA=(-x，-2，-z)，⃗PB=(2-x，-2，-z)，⃗AD=(0，2，0)，
|⃗PA·⃗AD|
因为|cos〈⃗PA，⃗AD〉|=
|⃗PA||⃗AD|
|(-x，-2，-z)·(0，2，0)| 2
= = ，
2√4+x2+z2 √4+x2+z2
√ 4
所以sin〈⃗PA，⃗AD〉= 1-
4+x2+z2
√ x2+z2
= ，
4+x2+z2
|⃗PB·⃗AD|
因为|cos〈⃗PB，⃗AD〉|=
|⃗PB||⃗AD|
|(2-x，-2，-z)·(0，2，0)|
=
2√4+(2-x) 2+z2
2
= ，
√4+(2-x) 2+z2√ 4
所以sin〈⃗PB，⃗AD〉= 1-
4+(2-x) 2+z2
√ (2-x) 2+z2
= ，
4+(2-x) 2+z2
所以tan〈⃗PA，⃗AD〉+tan〈⃗PB，⃗AD〉
√x2+z2 √(2-x) 2+z2
= + =√2，
2 2
√x2+z2 √(2-x) 2+z2
所以 +
2 2
√(x-0) 2+(2-2) 2+(z-0) 2
= +
2
√(x-2) 2+(2-2) 2+(z-0) 2
=√2，
2
整理可得点P(x，2，z)到点D(0，2，0)和点C(2，2，0)的距离之和为2√2，
所以点P的轨迹为在平面CC D D内以点D，C为焦点的椭圆被侧面CC D D所截曲线，
1 1 1 1
则点P到平面ABCD的距离h的最大值为1，此时点P在CD中点的正上方；
√2
最小值为 ，此时点P在点D或者点C的正上方，
2
1 4 [2√2 4]
所以四棱锥P-ABCD的体积V = h·S = h∈ ， .
P-ABCD 3 正方形ABCD 3 3 3
5.(2024·怀化模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足√3c=b(sin A+√3cos A).
(1)求角B的大小；
(2)若a+c=2，求b的取值范围.
解 (1)由√3c=b(sin A+√3cos A)
得√3sin C=sin Bsin A+√3sin Bcos A，
∵C=π-(A+B)，
∴sin C=sin(A+B)，
∴√3sin(A+B)=sin Bsin A+√3sin Bcos A，
∴√3sin Acos B+√3cos Asin B=sin Bsin A+√3sin Bcos A，
∴√3sin Acos B=sin Asin B，
∵sin A≠0，∴tan B=√3，π
∵B∈(0，π)，∴B= .
3
π
(2)∵a+c=2，B= ，
3
∴b2=a2+c2-2accos B
=a2+c2-ac
(a+c) 2
=(a+c)2-3ac=4-3ac≥4-3 =1(当且仅当a=c时取等号)，又b
