文档内容
周二
1 √3
1.(2024·临沂模拟)已知i为虚数单位，(1-i)2·z= + i，则|z|等于( )
2 2
1 1
A. B.
4 2
√2 √2
C. D.
4 2
答案 B
1 √3
+ i 1+√3i
解析 z=2 2 =
2×(1-2i-1)
(1-i) 2
1+√3i (1+√3i)×i
= =
-4i -4i×i
-√3+i √3 1
= =- + i，
4 4 4
√3 1
则z=- - i，
4 4
故|z|= √ ( - √3) 2 + ( - 1) 2 = 1 .
4 4 2
ln2 1 2-ln2
2.(2024·萍乡模拟)已知a= ，b= ，c= ，则这三个数的大小关系为( )
4 2e e2
A.cf >f(4)，即a0)的左、右焦点分别为F ，F ，P(t，s)(s≠0)为C的右支上一
1 2
点，分别以线段PF ，PF 为直径作圆O ，圆O ，线段OO 与圆O 相交于点M，其中O为坐标原点，则(
1 2 1 2 2 2
)
A.|O O |=√3m
1 2
B.|OM|=m
C.点(t，0)为圆O 和圆O 的另一个交点
1 2
π
D.圆O 与圆O 有一条公切线的倾斜角为
1 2 4
答案 BCD
x2 y2
解析 C的方程可化为 - =1，可得a=m，b=m，c=√2m.
m2 m2
1
由O 为PF 的中点，O 为PF 的中点，得|O O |= |F F |=√2m，A错误；
1 1 2 2 1 2 2 1 2
1
由O 为PF 的中点，O为F F 的中点，得|OO |= |PF |，
2 2 1 2 2 2 1
1 1 1
则|OM|=|OO |-|MO |= |PF |-|PO |= |PF |- |PF |=a=m，B正确；
2 2 2 1 2 2 1 2 2
设点Q为圆O 和圆O 的另一个交点，连接PQ，由O O ∥x轴，
1 2 1 2
可得O O ⊥PQ，O O 为△PF F 的中位线，则直线O O 平分线段PQ，
1 2 1 2 1 2 1 2
则点Q必在x轴上，可得点Q的坐标为(t，0)，C正确；
如图，若BD为圆O 与圆O 的一条公切线，B，D为切点，
1 2
连接O B，O D，过点O 作O A⊥O B，垂足为A.
1 2 2 2 1
1 1
由|O O |=√2m，|O A|=|O B|-|O D|= |PF |- |PF |=a=m，
1 2 1 1 2 2 1 2 2
|AO | m √2
得sin∠AO O = 1 = = ，
2 1 |O O | √2m 2
1 2
π π
可得∠AO O = ，由O O ∥x轴，且O A∥BD，可得公切线BD的倾斜角为 ，D正确.
2 1 4 1 2 2 4
4.(2024·张家口模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到10∶10时，需要一人比
3
另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为 ，在两人的第一局比赛中，两人达到了
4
10∶10，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率P(n)=
.5(3) n -11
答案 2 ，n=2k，k≥11，k∈N
8 8
解析 因为比赛结束时，两人的得分总和为n，且其中两人的得分的差的绝对值为2，
所以n≥22，且n为偶数，
(3) 2 (1) 2 10 5
当n=22时，P(n)= + = = ，
4 4 16 8
当n≥24，且n为偶数时，
若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，余下的第21局比赛开始的每一局均为甲、乙一胜一负，
所以事件甲赢得比赛的概率为
( 3 1) n -11(3) 2 (3) n -11(3) 2
2× × 2 = 2 ，
4 4 4 8 4
( 1 3) n -11(1) 2
同理乙赢得比赛的概率为 2× × 2
4 4 4
(3) n -11(1) 2
= 2 ，
8 4
9 (3) n -11 1 (3) n -11 5(3) n -11
所以P(n)= 2 + 2 = 2 ，
16 8 16 8 8 8
当n=22时，P(n)的值也符合上式，
5(3) n -11
所以P(n)= 2 ，n=2k，k≥11，k∈N.
8 8
5.(2024·武汉模拟)如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD中，∠ABC=90°，
AB∥CD，AB=1，BC=1，CD=2，点A在平面PCD内的投影恰好是△PCD的重心G.
(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求直线DG与平面PBC所成角的正弦值.
(1)证明 因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，
因为∠ABC=90°，所以BC⊥AB，
⊂
因为PA∩AB=A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，⊂
⊂
又因为BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)解 取C⊂D的中点E，连接AE，CG，
因为∠ABC=90°，AB∥CD，AB=BC=1，CD=2，所以四边形ABCE是矩形，所以AB⊥AE，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AE，
所以AB，AE，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，E(0，1，0)，D(-1，1，0)，
( 2 t )
设P(0，0，t)(t>0)，则G 0， ， ，
3 3
( 2 t )
⃗AG= 0， ， ，
3 3
( 1 t )
⃗CG= -1，- ， ，
3 3
( 1 t )
⃗DG= 1，- ， ，
3 3
因为点A在平面PCD内的投影恰好是△PCD的重心G，所以AG⊥CG，
2 t2
所以⃗CG·⃗AG=0，所以0- + =0，t=√2，
9 9
又⃗BC=(0，1，0)，⃗PB=(1，0，-√2)，
设平面PBC的法向量为m=(x，y，z)，
{ y=0,
则 取x=√2，则z=1，
x-√2z=0,
所以平面PBC的一个法向量为m=(√2，0，1)，
( 1 √2)
DG的方向向量是⃗DG= 1，- ， ，
3 3
设直线DG与平面PBC所成的角为θ，
|m·⃗DG|
则sin θ=|cos〈m，⃗DG〉|=
|m||⃗DG|
4√2
3 2√2 2√2
= = .故直线DG与平面PBC所成角的正弦值为 .
√4 3 3
√3·
3
