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第2课时 精研题型明考向——解三角形及应用举例
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·全国卷Ⅲ·利用正、余弦定理求角的三角函数值)
在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝( )
A. B．
C. D．
解析：选A 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，解
得AB＝3，所以 cos B＝＝.故选A.
2．(2020·全国卷Ⅰ·正、余弦定理与平面几何相结合)如图，在三棱锥PABC
的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则
cos∠FCB＝________.
解析：依题意得，AE＝AD＝.
在△AEC中，AC＝1，∠CAE＝30°，
由余弦定理得EC2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos∠EAC＝3＋1－2 cos 30°＝1，
所以EC＝1，所以CF＝EC＝1.
又BC＝＝＝2，
BF＝BD＝＝，
所以在△BCF中，由余弦定理得
cos∠FCB＝＝＝－.
答案：－
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ·结合“劳育”考查解三角形问题)某中学开展
劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆
弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直
线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12
cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的
面积为________cm2.
解析：如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，作AM⊥EF于
M，交DG于E′，交BH于F′， 记过O且垂直于DG的直线与DG的
交点为P.
设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，
于是AE′＝5，E′G＝5，∴∠AGE′＝∠AHF′＝，△AOH为等腰直角三角形．
又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，
∴5－3m＝7－5m，解得m＝1，
∴AF′＝OF′＝5－3m＝2，∴OA＝2，
∴阴影部分的面积S＝×π×(2)2＋×2×2－＝(cm2)．
答案：＋44．(2020·新高考全国卷Ⅰ·条件的选择，正、余弦定理解三角形)
在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三
角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，
________？
解：方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
5．(2020·全国卷Ⅰ·利用正、余弦定理求面积)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
解：(1)由题设及余弦定理得
28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝2或c＝－2(舍去)，从而a＝2.
所以△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
(2)因为在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin(30°＋C)．
故sin(30°＋C)＝.
而0°＜C＜30°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.
6．(2020·全国卷Ⅱ·利用正、余弦定理求边、角及最值问题)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解：(1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．②
由①②得cos A＝－.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B．
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.
又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.
7．(2019·全国卷Ⅲ·利用正弦定理求角及面积的范围问题)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos ＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S ＝a.
△ABC
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
[答案] (1)A (2)B
[方法技巧] 判定三角形形状的2种常用途径
利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边
角化边
之间的关系进行判断
通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内
边化角
角之间的关系进行判断
[针对训练]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A＋bsin B＜csin C，则△ABC的形
状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．正三角形
解析：选C 因为asin A＋bsin B＜csin C，由正弦定理可得a2＋b2＜c2，由余弦定理可得cos
C＜0，所以C＞.所以△ABC是钝角三角形．
2．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
解：(1)由已知得sin2A＋cos A＝，
即cos2A－cos A＋＝0.所以2＝0，所以cos A＝.
由于0＜A＜π，故A＝.
(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A．由(1)知A＝，B＋C＝，
所以sin B－sin＝sin，
即sin B－cos B＝，从而sin＝.
由于0＜B＜，故B＝.从而△ABC是直角三角形．
题型三 三角形面积问题
[典例] (2021·山东烟台一中期末)在条件：①(a＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，
②asin B＝bcos，③bsin ＝asin B 中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝2，________，求△ABC的面积．
解：若选①：由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，
即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，
又a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，a＝2，b＋c＝6，
所以bc＝4，所以S ＝bcsin A＝×4×sin ＝.
△ABC
若选②：由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos.
因为00，那么△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
解析：选A ∵cos(2B＋C)＋cos C
＝cos(2B＋π－A－B)＋cos(π－A－B)
＝cos[π－(A－B)]＋cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A－B)－cos(A＋B)
＝－cos Acos B－sin Asin B－cos Acos B＋sin Asin B
＝－2cos Acos B>0，
∴cos Acos B<0，
又∵A，B∈(0，π)，
∴A，B中有一个锐角，一个钝角．故选A.
4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sin A＝，sin B> sin C，a＝3，
S ＝2，则b的值为( )
△ABC
A．2或3 B．2
C．3 D．6
解析：选C 因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＝＝，由余弦定理得cos A＝＝＝，①
因为S ＝bcsin A＝bc×＝2，所以bc＝6，②
△ABC
将②代入①得＝，则b2＋c2＝13，③
由sin B>sin C可得b>c，
联立②③可得b＝3，c＝2.故选C.
5．在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于( )
A. B．
C. D．
解析：选D 在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积
为S＝acsin B＝×1×2×＝.故选D.
6.(2021·重庆调研)《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中有广泛的
应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响．如
图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中
间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知
正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积约为( )
A．42 m2 B．37 m2
C．32 m2 D．84 m2
解析：选B 由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为＝45°，设三角形的腰为a，由正弦定理可得＝，解得a＝8sin，所以三角形的面积S＝ 2sin 45°＝32·＝16(＋1)，
所以每块八卦田的面积约为：16(＋1)－×π×22≈37 m2.
7.已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝AD，BC＝
2AD，则sin C的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 设AB＝AD＝2a，则BD＝a，则BC＝4a，所以cos∠ADB＝＝＝，所以cos∠BDC
＝＝－，整理得CD2＋3aCD－10a2＝0，解得CD＝2a或者CD＝－5a(舍去)．故cos C＝＝＝，
而C∈，故sin C＝.故选A.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a＝，
cos B＝，则b＝________.
解析：由正弦定理及题意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝6＋
－＝，所以b＝.
答案：
9．(2021·恩施质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，
S ＝4，则△ABC的周长为________．
△ABC
解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12①，由b2＝
a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝2，所以
△ABC的周长为4＋4.
答案：4＋4
10．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若
∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
解析：如图，易知sin C＝，sin A＝，cos A＝.
在△BDC中，由正弦定理可得
＝，
∴BD＝＝＝.
∴cos∠ABD＝cos(45°－A)＝cos 45°cos A＋sin 45°sin A＝×＋×＝.
答案：
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝.
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，④△ABC的面
积S＝10，请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若a＝3，求△ABC周长l的取值范围．
解：∵＝，
∴sin Acos B＋sin Acos C＝sin Bcos A＋sin Ccos A，
即sin Acos B－sin Bcos A＝sin Ccos A－cos Csin A，
∴sin(A－B)＝sin(C－A)，∵A，B，C∈(0，π)，∴A－B＝C－A，
即2A＝B＋C，∴A＝.
(1)△ABC还同时满足①③④.
理由如下：若△ABC同时满足条件①②，
则由正弦定理得sin B＝＝>1，这不可能．
∴△ABC不能同时满足条件①②，
∴△ABC同时满足③④，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝b×8×＝10，解得b＝5，与②矛盾．∴△ABC还同时满足条件
①③④.
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2，
∵C＝－B，∴b＝2sin B，c＝2sin，
∴l＝a＋b＋c＝2＋3
＝6＋3＝6sin＋3.
∵B∈，∴B＋∈，
∴sin∈，
∴△ABC周长l的取值范围为(6,9]．
12．(2021·济宁模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin A＋cos A＝0.
有三个条件：①a＝1；②b＝；③S ＝.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件
△ABC
并解答下面两个问题：
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解：(1)因为sin A＋cos A＝0，
所以tan A＋1＝0，得tan A＝－，
因为0＜A＜π，所以A＝，A为钝角，与a＝1＜b＝矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确．
显然S ＝bcsin A＝，得bc＝.
△ABC
当①③正确时，由a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝－2(无解)；
当②③正确时，由于bc＝，b＝，得c＝1.
(2)如图，因为A＝，∠CAD＝，则∠BAD＝，
则＝＝，
所以S ＝S ＝×＝.
△ABD △ABC
二、自选练——练高考区分度
1．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－
b)sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是( )
A．(3,6] B．(3,5)
C．(5,6] D．[5,6]
解析：选C 由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cos A＝＝，又A∈，∴A＝.∵＝＝＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin 2B－cos
2B＋4＝2sin＋4.∵△ABC是锐角三角形，∴B∈，即2B－∈，∴
