文档文本内容
第七节 正弦定理和余弦定理
第1课时 系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例
知识点一 正弦定理、余弦定理
1．正、余弦定理及变形
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半
内容 b2＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos _B；
径)
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos _C
a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin _B，c＝ 2 R sin _C；
sin A＝；sin B＝；sin C＝；
cos A＝；
变形 a∶b∶c＝sin_ A ∶ sin _ B ∶ sin _C；
cos B＝；
形式 asin B＝bsin A，bsin C
cos C＝
＝csin B，asin C＝csin A；
＝2R
[提醒] 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所
对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边
对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．谨记常用结论
(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则
①sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)．
②sin ＝cos ，cos ＝sin .
③sin A＝sin B⇔A＝B；
sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝.
④A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B．
(2)三角形的面积
S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此
△ABC
计算R，r.
[重温经典]
1．(教材改编题)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，
则b＝( )A．2 B．1
C. D．
答案：D
2．(教材改编题)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2asin B＝b，
则角A等于( )
A. B．
C. D．
答案：A
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝，c＝2，b＝2，则C＝( )
A. B．或
C. D．或
答案：B
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则
△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选C ∵＝，∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．
5．(教材改编题)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin B＝sin A＋sin
C，cos B＝，且S ＝6，则b＝________.
△ABC
解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，①
由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×＝(a＋c)2－ac，②
由cos B＝，得sin B＝，故S ＝ac×＝6，③
△ABC
由①②③得，b＝4.
答案：4
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为
5，则c＝________.
解析：由三角形面积公式，得×4×5sin C＝5，
即sin C＝.又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理，得c2＝42＋52－
2×4×5cos 60°，解得c＝.
答案：
知识点二 解三角形应用举例
测量中几个术语的意义及图形表示名称 意义 图形表示
在目标视线与水平视线所成的角中，目标
仰角与俯角 视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线
在水平视线方的叫做俯角
从某点的指方向线起按顺时针方向到目
方位角 标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角
θ的范围是 0° ≤ θ <360°
例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
正北或正南方向线与目标方向线所成的
方向角
角，通常表达为北(南)偏东(西)α
[提醒] (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同
一问题中对角的不同描述．
(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要
注意所求的结果是否符合实际情况．
[重温经典]
1．(教材改编题)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A
所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，
∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.
答案：50
2．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A
成75°视角，则BC＝________n mile.
答案：5
3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，
A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.
解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余
弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，
∵x>0，∴x＝－1.
答案：－1
4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A
点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E
点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.
解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，
所以AD＝＝，因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°＝10(3－)．
答案：10(3－)
