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第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
核心素养立意下的命题导向
1.利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2．三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α － sin _α － sin _α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos α － co s_α cos_α － co s_α sin_α － sin _α
正切 tan α tan_α － tan _α － tan _α
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(平方关系)若sin α＝，<α<π，则cos α等于( )
A. B．－ C．－ D.
答案：C
2．(商数关系)已知tan α＝2，则的值为________．
答案：3
3．(诱导公式)化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
答案：－sin2α
二、易错点练清
1．(忽视角所在的象限)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案：A
2．(忽视诱导公式变名、变号的条件)计算下列各式的值：
(1)sin＝________，
(2)tan＝________.
答案：(1) (2)
3．(忽视对k的讨论)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．解析：当k为奇数时：A＝－＝－2.
当k为偶数时：A＝＋＝2.
答案：{－2,2}
考点一 同角三角函数的基本关系
考法(一) 知弦求弦、切或知切求弦
[例1] (1)设cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A. B．－
C. D．－
(2)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，∴sin 80°＝＝，∴tan 100°＝－tan 80°＝－.故选B.
(2)法一：因为α为第四象限角，
故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－.
法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，
所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，
则tan α＝＝－.故选D.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
知弦求弦 利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解
常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意
知弦求切
tan α＝的灵活应用
先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方
知切求弦
关系求解
考法(二) 知切求f(sin α、cos α)的值
[例2] (1)已知tan(3π＋α)＝3，则＝( )
A. B.
C. D．2
(2)已知0<α<，sin α＝，则的值为________．
[解析] (1)∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，
∴＝＝＝.故选B.
(2)∵0<α<，sin α＝，∴cos α＝，∴tan α＝.∴＝＝＝＝＝＝＝20.
[答案] (1)B (2)20
[方法技巧]
“切弦互化”的技巧
(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构
有：
①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求
解；
②sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
[提醒] 知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．
考法(三) sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
[例3] (1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
(2)(多选)(2021·滨州模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．sin θ＝ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
[解析] (1)∵sin αcos α＝，
∴(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α
＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∵<α<，∴cos α0，
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝，
∴sin θ＝，cos θ＝－.∴tan θ＝－，∴A、B、D正确．
[答案] (1)D (2)ABD
[方法技巧]
正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用
sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin
αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题中已知1个可求另外2个．
[针对训练]
1．已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝( )A. B．－ C. D．－
解析：选D ∵cos α＝－且α∈(0，π)，∴sin α＝＝，
∴tan α＝＝－.故选D.
2．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.
3．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为( )
A. B．－
C. D.
解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝，sin αcos α＝.
所以sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝－＝1，解得a＝－.
考点二 三角函数的诱导公式
[典例] (1)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
[解析] (1)因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.
(2)因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.
[答案] (1) (2)0
[方法技巧]
应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项
(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值
求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定
的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数
名出错．
[针对训练]
1．sin 570°的值是( )
A．－ B. C. D．－
解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－.故选A.
2．(2021·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－，则tan＝( )
A．2 B．－2
C. D．±2
解析：选D ∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，∴tan＝＝±2.故选D.
3．已知f(α)＝ .
(1)化简f(α)；
(2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围．解：(1)f(α)＝
＝＝＝－sin α.
(2)由已知得－sin α<，∴sin α>－，
∴2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z.
∵－<α<，∴－<α<.
故α的取值范围为.
创新思维角度——融会贯通学妙法
勾股数与同角三角函数基本关系
同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高的
勾股数有以下几组：(3,4，5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(1,1，)，(1，，2)，(1,2，)，(1,3，)等，熟
悉它们之间的关系，能快速解决选填小题．
1．已知tan α＝，sin α<0，则cos α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由tan α＝，想到勾股数(3,4,5)，结合sin α<0，得cos α＝－.
2．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C 由α是第四象限角，且sin α＝－，所以tan α＝－.
3．已知cos＝，且|α|＜，则tan α＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C ∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－.
又∵|α|<，∴－<α<0，∴cos α>0，tan α<0，
∴tan α＝－.
一、基础练——练手感熟练度
1．已知x∈，cos x＝，则tan x的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 因为x∈，所以sin x＝－＝－，所以tan x＝＝－.故选B.
2．若＝，则tan θ＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3解析：选D 因为
＝＝，
所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.
3．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选D ∵tan α＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－.故选D.
4．(多选)在△ABC中，下列关系恒成立的是( )
A．tan(A＋B)＝tan C B．cos(2A＋2B)＝cos 2C
C．sin＝sin D．sin＝cos
解析：选BD tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，A不正确；cos(2A＋2B)＝cos[2(π－C)]＝
cos(－2C)＝cos 2C，B正确；sin＝sin＝cos，C不正确，D正确．
5．已知sin＝，则cos的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.故选A.
6．若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－，则sin＋cos＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C 由题意得，tan θ＝＝－，θ∈(0，π)，
故sin θ>0，cos θ<0.
又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝，cos θ＝－.
因此，sin＋cos＝－cos θ＋sin θ＝.
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知sin＝，则cos等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A cos＝cos＝sin＝.故选A.
2．若θ∈，则 等于( )
A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ
解析：选A 因为
＝＝
＝|sin θ－cos θ|，
又θ∈，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.
3．已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)＝( )
A. B.
C．－ D.
解析：选D sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，
因为α∈(0，π)，且cos α＝－，所以sin α＝＝＝，
即sin·tan(π＋α)＝.故选D.
4．已知2sin α－cos α＝0，则sin2α－2sin αcos α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝，所以sin2α－2sin αcos α＝＝＝－.故选A.
5．(2021·潍坊一模)在平面坐标系xOy中，点P(，1)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转后得
到向量OQ，则点Q的坐标是( )
A．(－，1) B．(－1，)
C．(－，1) D．(－1，)
解析：选D 设以射线OP为终边的角为α，以射线OQ为终边的角为β，且β＝α＋，
由题意可得sin α＝，cos α＝，结合三角函数的定义与诱导公式可得 x ＝2cos β＝2cos＝－
Q
2sin α＝－1，y ＝2sin β＝2sin＝2cos α＝，即点Q的坐标为(－1，)．故选D.
Q
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，
且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，
∴＝，即＝，∴tan α＝±，
即＝±，∴|a－b|＝.故选B.
7．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A．1＋ B．1－
C．1± D．－1－
解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝.
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
8．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋
α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝C．tan β＝ D．tan β＝
解析：选AC ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝，cos α＝±，∴若α＋β＝，则β＝－α.sin β
＝sin＝cos α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；若B符合，则cos(π＋β)
＝－cos＝－sin α＝－，与cos(π＋β)＝矛盾，故B不符合条件；对于C，tan β＝，即sin β＝cos
β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C符合条件；tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝
1，故sin β＝±，故D不符合条件．
9．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.
解析：因为tan A＝>0，所以A为锐角，
由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，
可求得sin A＝.
答案：
10．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝________.
解析：原式＝cos α ＋sin α
＝cos α＋sin α，
因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0，
所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，
即原式等于0.
答案：0
11．已知sin·cos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.
解析：sincos＝(－cos α)·(－sin α)
＝sin αcos α＝.
∵0<α<，∴0
