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第二节 平面向量基本定理及坐标表示
核心素养立意下的命题导向
1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．
2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的线性运算，凸显数学抽象的核心素养．
3．与向量的坐标表示相结合，考查向量共线，凸显数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．平面向量基本定理
如果e，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一
1 2
对实数λ，λ，使a＝λe＋λe.
1 2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，
1 2 1 2 1 2 1 2
λa＝ ( λx ， λ y)，|a|＝.
1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b⇔xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(基底的判断)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e＝(0,0)，e＝(1，－2)
1 2
B．e＝(－1,2)，e＝(5,7)
1 2
C．e＝(3,5)，e＝(6,10)
1 2
D．e＝(2，－3)，e＝
1 2
答案：B
2．(数乘运算)已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，则3a－2b＝( )
A．(－7,7) B．(－3，－2)
C．(6,2) D．(4，－3)
答案：A
3．(向量共线的应用)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
答案：－6二、易错点练清
1.(混淆基底的选择)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB
＋μAC，则λ＋μ的值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选A 因为E为DC的中点，所以AC＝AB＋AD＝AB＋AB＋AD＝AB＋DE＋AD＝AB＋AE，即
AE＝－AB＋AC，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.
2．(混淆单位向量的方向)已知A(－5,8)，B(7,3)，则与向量AB反向的单位向量为________．
解析：由已知得AB＝(12，－5)，所以|AB|＝13，因此与AB反向的单位向量为－AB＝.
答案：
3．(忽视基向量不共线)给出下列三个向量：a＝(－2,3)，b＝，c＝(－1,1)，在这三个向量中任意
取两个作为一组，能构成基底的组数为________．
解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
答案：2
考点一 平面向量基本定理及其应用
[典例] (1)(2021·青岛模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝
2DC，E为BC边上一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝( )
A.AB－AD B．AB－AD
C．－AB＋AD D．－AB＋AD
(2)如图，在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，
若存在实数λ和μ，使得BM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝( )
A. B．－
C．2 D．－2
[解析] (1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG
为平行四边形，所以BC＝GD＝AD－AG＝AD－AB，所以AE＝AB＋BE＝AB
＋BC＝AB＋＝AB＋AD，于是BF＝AF－AB＝AE－AB＝－AB＝－AB＋AD，
故选C.
(2)法一：直接法
因为点D在边BC上，
所以存在t∈R，使得BD＝tBC＝t(AC－AB)(0≤t≤1)．
因为M是线段AD的中点，
所以BM＝(BA＋BD)＝(－AB＋tAC－tAB)＝－(t＋1)AB＋tAC.
又BM＝λAB＋μAC，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，
所以λ＋μ＝－.故选B.法二：特殊点法
由题意知，D为边BC上任意一点，不妨令点D与点B重合，
则点M就是线段AB的中点．
显然此时BM＝BA＝－AB＋0AC.
又BM＝λAB＋μAC，且AB与AC不共线，
所以λ＝－，μ＝0，故λ＋μ＝－.故选B.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的
加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结
论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
[针对训练]
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB＝λAM＋μAN，则
λ＋μ等于( )
A. B．
C. D．
解析：选D 因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋(CA＋AN)＝2AN＋CM＋MA＝2AN－AB－AM，所以
AB＝AN－AM，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
2．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，
又CM＝tCP，则t的值为________．
解析：∵CP＝CA＋CB，∴3CP＝2CA＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP，∴2AP
＝PB，
即P为AB的一个三等分点，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴CM＝xCQ＋(1－x)CA＝CB＋(x－1)AC，
而CB＝AB－AC，∴CM＝AB＋AC.
又CP＝CA－PA＝－AC＋AB，
由已知CM＝tCP，可得
AB＋AC＝t，
又AB，AC不共线，
∴解得t＝.
答案：
考点二 平面向量的坐标运算
[典例] (1)(2021·福州模拟)已知在平行四边形ABCD 中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为( )
A. B．
C. D．
(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] (1)因为在平行四边形ABCD 中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点
O，所以CO＝－AO＝－(AD＋AB)＝.故选C.
(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每
个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝AO＝(－1,1)，b＝OB＝(6,2)，c＝BC＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
则解得λ＝－2，μ＝－，
∴＝＝4.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段
两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
[针对训练]
1．(多选)已知点A(4,6)，B，与向量AB平行的向量的坐标可以是( )
A. B．
C. D．(7,9)
解析：选ABC 由点A(4,6)，B，则AB＝，－7×3－×＝0，所以A选项正确；－7×－×7＝0，
所以B选项正确；－7×(－3)－×＝0，所以C选项正确；－7×9－×7≠0，所以D选项不正
确．
2．如图所示的平面直角坐标系中，网格中小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足c＝xa＋
yb，且(ka－b)·c＝0，则＝________.
解析：结合图形得a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(4,4)，由c＝xa＋yb得解得所以x＋y＝.由(ka－b)·c＝0得ka·c－b·c＝0，即12k－16＝0，所以k＝，所以＝.
答案：
考点三 平面向量共线的坐标表示
[典例] (1)已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为
________．
(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________．
[解析] (1)法一：由O，P，B三点共线，
可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，
则AP＝OP－OA＝(4λ－4,4λ)．
又AC＝OC－OA＝(－2,6)，
由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以OP＝OB＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，
因为OB＝(4,4)，且OP与OB共线，所以＝，即x＝y.
又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2,6)，且AP与AC共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
(2)∵向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，∴a－b＝(2－x,2)．
又∵a－b与b共线，∴2x＝－2＋x，解得x＝－2.
[答案] (1)(3,3) (2)－2
[方法技巧]
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件
1 1 2 2
是xy－xy＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
1 2 2 1
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非
零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
[针对训练]
1．设向量OA＝(1，－2)，OB＝(2m，－1)，OC＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点
共线，则m＋n的最大值为( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选A 由题意易知，AB∥AC，其中AB＝OB－OA＝(2m－1,1)，AC＝OC－OA＝(－2n－1,2)，
所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，解得2m＋1＋2n＝1.
又2m＋1＋2n≥2，当且仅当2m＋1＝2n，即m＋1＝n时取等号，所以2m＋n＋1≤ 2－2，即m＋
n≤－3.
2．(2021·济宁模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，
∴解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
数形结合——建立平面直角坐标系，将几何图形问题转化成坐标运算，根据需要选择一个点
作为坐标原点，两条互相垂直的直线为x轴、y轴，使题目中的其他点都便于表达，这样将向
量运算坐标化，转化为代数运算．
[典例] 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若
AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2
C. D．2
[思路点拨] 先建立直角坐标系，利用向量AP与AB，AD的关系表示出λ，μ与P点坐标的关系，
再利用三角函数关系求解．
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．
设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝＝，
CE＝＝＝，
即圆C的半径为，
∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.
设P(x，y)，AB＝(0,1)，AD＝(2,0)．
0 0
∵AP＝λAB＋μAD＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝x，λ＝y.
0 0
又由P点的轨迹方程得(θ为参数)，
∴λ＋μ＝y＋x＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)，
0 0
当且仅当θ＋φ＝2kπ＋，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.
[答案] A
[名师微点]
本题先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出 λ＋μ
的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法的优势．
[应用体验]1.如图所示，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，
∠BOC＝90°，|OA|＝2，|OB|＝1，|OC|＝3，若OC＝λOA＋μOB，则＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D 建立如图所示的直角坐标系，
由已知得，∠AOC＝120°，
则A(2,0)，B，
C.
因为OC＝λOA＋μOB，
由向量相等的坐标表示得
解得即＝.故选D.
2.如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量AC＝λDB＋μAP，
则λ＋μ的最大值为________．
解析：以A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面
直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，
则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x,2)，x∈[0,2]．
∴AC＝(2,2)，DB＝(2，－2)，AP＝(x,2)．
∵AC＝λDB＋μAP，∴∴
∴λ＋μ＝.令f(x)＝(0≤x≤2)，
∵f(x)在[0,2]上单调递减，
∴f(x) ＝f(0)＝3，即λ＋μ的最大值为3.
max
答案：3
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现
已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n
＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
解析：选D 因为a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
即a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
2.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的
斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若DB＝xDC＋yDA，则x，y
等于( )A．x＝，y＝1 B．x＝1＋，y＝
C．x＝2，y＝ D．x＝，y＝1＋
解析：选B 过B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，
由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，
则CE＝BE，设CE＝BE＝mCD，
则[(m＋1)CD]2＋[(m－1)DA]2＝(2DA)2，
又DA＝DC，解得m＝，
故DB＝DC＋CE＋EB＝DC＋ DC＋ DA
＝(1＋)DC＋ DA，故x＝1＋，y＝.
3．(多选)如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别
平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若
OP＝xOA＋yOB，则x＋y的取值可能是( )
A．－6 B．1
C．5 D．9
解析：选BC 如图所示，设OA＝a，OB＝b，求x＋y的最大值，只需考虑图中
以O为起点，6个顶点为终点的向量即可，讨论如下：
①∵OA＝a，∴(x，y)＝(1,0)；
②∵OB＝b，∴(x，y)＝(0,1)；
③∵OC＝OA＋AC＝a＋2b，∴(x，y)＝(1,2)；
④∵OD＝OC＋CD＝OC＋BC＝2OC－OB＝2a＋3b，∴(x，y)＝(2,3)；
⑤∵OE＝OA＋AE＝a＋b，∴(x，y)＝(1,1)；
⑥∵OF＝OA＋AF＝a＋3b，∴(x，y)＝(1,3)．
∴x＋y的最大值为2＋3＝5.根据其对称性，可知x＋y的最小值为－5.
故x＋y的取值范围是[－5,5]，观察选项可知，选项B、C均符合题意．
一、基础练——练手感熟练度
1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
解析：选A 设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.
2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与AB同方向的单位向量是( )
A. B．
C. D．
解析：选A AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与AB同方向的单位向量为＝.
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，
则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
4．(2021·福州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B 因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以 sin θ＝
±，故锐角θ＝.
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设AC＝
a，BD＝b，则AF＝( )
A.a＋b B．a＋b
C.a＋b D．a＋b
解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F
是线段DC上的点，且DC＝3DF，
∴DF＝DC＝(OC－OD)＝(AC－BD)，AD＝OD－OA＝BD＋AC.则AF＝AD＋DF＝＋(AC－BD)＝BD＋AC
＝a＋b.故选B.
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知e，e 是不共线向量，a＝me＋2e，b＝ne－e，且mn≠0，若a∥b，则＝( )
1 2 1 2 1 2
A．－ B．
C．－2 D．2
解析：选C 因为a∥b，所以a＝λb，即me＋2e＝λ(ne－e)，则得＝－2.
1 2 1 2
2．已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－ B．
C. D．解析：选A AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，
∴AB，AC共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
3.如图，已知AB＝a，AC＝b，BC＝4BD，CA＝3CE，则DE＝( )
A.b－a B.a－b
C.a－b D.b－a
解析：选D DE＝DC＋CE＝BC＋CA＝(AC－AB)－AC＝AC－AB＝b－a.故选D.
4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，
设AD＝λAB＋μAC (λ，μ∈R)，则＝( )
A. B．
C．3 D．2
解析：选A 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴
建立平面直角坐标系，则B(1,0)，C(0,2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
AD＝(m，m)＝λAB＋μAC＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，
所以＝.
5．已知向量OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，OC＝mOA－nOB (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则|OC|的最小值
为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 设OC＝(x，y)．
∵OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，OC＝mOA－nOB，∴∴|OC|＝＝≥ ＝ ＝，当且仅当m＝n时取等号，此时|OC|取得最小值，故选C.
6．在△OAB中，若点C满足AC＝2CB，OC＝λOA＋μOB，则＋＝( )
A. B．
C. D．
解析：选D 在△OAB中，∵AC＝2CB，
∴OC－OA＝2(OB－OC)，即3OC＝OA＋2OB，
∴OC＝OA＋OB.
又知OC＝λOA＋μOB，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.
7.如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ
＝( )
A. B．
C. D．2
解析：选B 以点A为坐标原点，分别以AB，AD的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标
系(图略)．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以AC＝(2,2)，AM＝
(2,1)，BD＝(－2,2)，所以λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC＝λAM＋μBD，所以解得所以λ＋μ
＝.故选B.
8．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC＝4AD，P为BD上一点，向量AP＝λAB＋μAC (λ>0，
μ>0)，则＋的最小值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：选A 由AP＝λAB＋μAC及AC＝4AD得AP＝λAB＋4μAD，
又知点P在BD上，∴λ＋4μ＝1.∴＋＝·(λ＋4μ)＝4＋4＋＋＝8＋＋，又知λ>0，μ>0，∴＋≥2
＝8，当且仅当＝，即λ＝4μ时，等号成立，故＋的最小值为16，故选A.9.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线
交于圆O外的一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)
解析：选D 由题意得，OC＝kOD (k<0)，
又|k|＝<1，∴－1
