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第二节 等差数列及其前n项和
核心素养立意下的命题导向
1.理解等差数列的概念，凸显数学抽象的核心素养．
2．与一次函数相对比，掌握等差数列的通项公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与二次函数相结合，掌握等差数列的前n项和公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
4．与具体的问题情境相结合，考查等差数列的概念，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列．
数学语言表达式：a －a ＝d(n∈N*，d为常数)．
n＋1 n
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a }的首项是a，公差是d，则其通项公式为a ＝a ＋ ( n － 1 ) d.通项公式的推广：
n 1 n 1
a ＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*)．
n m
(2)前n项和公式：S ＝na ＋＝＝n2＋n.
n 1
3．等差数列的性质
(1)若{a }为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a .
n k l m n
(2)若{a }是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列．
n k k＋m k＋2m
(3)若{a }，{b }是等差数列，则{pa ＋qb }也是等差数列．
n n n n
(4)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列S ，S －S ，S －S ，…(m∈N*)也是等差数列，
n n m 2m m 3m 2m
公差为m2d.
(5)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列也为等差数列．
n n
4．等差数列的相关结论
(1)已知数列{a }的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a }一定是等差数列，且
n n n
公差为.
(2)在等差数列{a }中，a>0，d<0，则S 存在最值；若a<0，d>0，则S 存在最值．
n 1 n 1 n
(3)等差数列{a }的单调性：当d>0时，{a }是递数列；当d<0时，{a }是递数列；当d＝0时，{a }
n n n n
是常数列．
(4)数列{a }是等差数列⇔S ＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)．
n n
[澄清盲点误点]
一、关键点练明1．(求数列的项)在等差数列{a }中，若a＝4，a＝2，则a＝( )
n 2 4 6
A．－1 B．0
C．1 D．6
解析：选B ∵{a }为等差数列，
n
∴2a＝a＋a，∴a＝2a－a＝2×2－4＝0.
4 2 6 6 4 2
2．(求公差)已知等差数列{a }中，a＝1，前5项和S＝－15，则数列{a }的公差为( )
n 2 5 n
A．－3 B．－
C．－2 D．－4
解析：选D 设等差数列{a }的首项为a，公差为d，
n 1
因为所以解得d＝－4.
3．(求项数)已知等差数列{a }的公差d≠0，且a＋a＝a －a，若a ＝0，则n＝________.
n 3 9 10 8 n
解析：因为a＋a＝a －a，
3 9 10 8
所以a＋2d＋a＋8d＝a＋9d－(a＋7d)，解得a＝－4d，
1 1 1 1 1
所以a ＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，
n
令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.
答案：5
4．(等差数列的性质)在等差数列{a }中，若a＋a＋a＋a＋a＝450，则a＋a＝________.
n 3 4 5 6 7 2 8
解析：由等差数列的性质，得a＋a＋a＋a＋a＝5a＝450，∴a＝90，∴a＋a＝2a＝180.
3 4 5 6 7 5 5 2 8 5
答案：180
二、易错点练清
1．(忽视数列中项为0的情况)已知等差数列{a }中，|a|＝|a|，公差d<0，则使数列{a }的前n
n 3 9 n
项和S 取最大值的正整数n的值是________．
n
解析：设等差数列{a }的首项为a，公差为d，由|a|＝|a|，得|a＋2d|＝|a＋8d|，解得a＝－5d
n 1 3 9 1 1 1
或d＝0(舍去)，则a＋5d＝a＝0，a>0，故使前n项和S 取最大值的正整数n是5或6.
1 6 5 n
答案：5或6
2．(忽视相邻项的符号)首项为28的等差数列{a }，从第8项开始为负数，则公差d的取值范
n
围是________．
解析：由题意知数列{a }满足即解得－≤d<－4.
n
答案：
3．(忽视项的符号)已知等差数列{a }的通项公式为a ＝11－n，则|a|＋|a|＋…＋|a |＝
n n 1 2 20
________.
解析：设S 是数列{a }的前n项和，|a|＋|a|＋…＋|a |＝(a＋a＋…＋a )－(a ＋a ＋…＋
n n 1 2 20 1 2 11 12 13
a )＝S －(S －S )＝2S －S ，而S ＝＝55，S ＝10×20＋×(－1)＝10，∴|a|＋|a|＋…＋|
20 11 20 11 11 20 11 20 1 2
a |＝100.
20
答案：100考点一 等差数列的基本运算
[典题例析]
(1)设等差数列{a }的前n项和为S ，S ＝22，a＝－12，若a ＝30，则m＝( )
n n 11 4 m
A．9 B．10
C．11 D．15
(2)(多选)设等差数列{a }的前n项和为S .若S＝0，a＝8，则( )
n n 3 4
A．S ＝2n2－6n B．S ＝n2－3n
n n
C．a ＝4n－8 D．a ＝2n
n n
(3)(2020·全国卷Ⅱ)记S 为等差数列{a }的前n项和．若a ＝－2，a ＋a ＝2，则S ＝
n n 1 2 6 10
________.
[解析] (1)设等差数列{a }的公差为d，依题意得
n
解得
∴a ＝a＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.
m 1
(2)设等差数列{a }的公差为d，
n
则解得
∴a ＝a＋(n－1)d＝－4＋4(n－1)＝4n－8，S ＝na ＋＝－4n＋2n(n－1)＝2n2－6n.
n 1 n 1
(3)法一：设等差数列{a }的公差为d，
n
则由a＋a＝2，得a＋d＋a＋5d＝2，
2 6 1 1
即－4＋6d＝2，解得d＝1，
所以S ＝10×(－2)＋×1＝25.
10
法二：设等差数列{a }的公差为d，
n
因为a＋a＝2a＝2，所以a＝1，
2 6 4 4
所以d＝＝＝1，
所以S ＝10×(－2)＋×1＝25.
10
[答案] (1)B (2)AC (3)25
[方法技巧]
解决等差数列基本量计算问题的思路
(1)在等差数列{a }中，a 与d是最基本的两个量，一般可设出a 和d，利用等差数列的通项公
n 1 1
式和前n项和公式列方程(组)求解即可．
(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a ＝a ＋(n－1)d和前n项和公式
n 1
S ＝＝na ＋d，在两个公式中共涉及五个量：a，d，n，a ，S ，已知其中三个量，选用恰当的公
n 1 1 n n
式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．
[针对训练]
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上二人
所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少
钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得( )
A.钱 B.钱
C.钱 D.钱
解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为等差数列中的项a，a，a，a，a，设公
1 2 3 4 5
差为d，由题意知a＋a＝a＋a＋a＝，即解得则甲得钱，故选C.
1 2 3 4 5
2．(2021·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a }，则
n
{a }的前n项和为________．
n
解析：法一：观察归纳法
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10，13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则a ＝1＋6(n－1)＝6n－5.
n
故前n项和S ＝＝＝3n2－2n.
n
法二：设b ＝2n－1，c ＝3n－2，b ＝c ，
n n n m
则2n－1＝3m－2，
得n＝＝＝＋1，
于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，
则a＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，
k
得a ＝6n－5，n∈N*.
n
故S ＝＝3n2－2n.
n
答案：3n2－2n考点二 等差数列的判定与证明
[典例] 已知数列{a }满足a＝1，且na －(n＋1)a ＝2n2＋2n.
n 1 n＋1 n
(1)求a，a；
2 3
(2)证明：数列是等差数列，并求{a }的通项公式．
n
[解] (1)由已知，得a－2a＝4，
2 1
则a＝2a＋4，又a＝1，所以a＝6.
2 1 1 2
由2a－3a＝12，得2a＝12＋3a，所以a＝15.
3 2 3 2 3
(2)证明：由已知na －(n＋1)a ＝2n2＋2n，
n＋1 n
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以a ＝2n2－n.
n
[方法技巧] 等差数列的判定与证明方法
方法 解读 适合题型
定义法 a －a (n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{a }是等差数列
n n－1 n
解答题中
等差
2a ＝a ＋a (n≥3，n∈N*)成立⇔{a }是等差数列 证明问题
n－1 n n－2 n
中项法
通项 a ＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a }是
n n
选择、填空
公式法 等差数列
题中的判定
前n项和 验证S
n
＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成
问题
公式法 立⇔{a }是等差数列
n
[提醒] 用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足
a －a ＝1(n≥3)的数列{a }而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a －a 是
n n－1 n 2 1
否等于1.
[针对训练]
已知数列{a }满足(a －1)(a －1)＝3(a －a )，a＝2，令b ＝.
n n＋1 n n n＋1 1 n
(1)证明：数列{b }是等差数列；
n
(2)求数列{a }的通项公式．
n
解：(1)证明：∵－＝＝，
∴b －b ＝，∴{b }是等差数列．
n＋1 n n
(2)由(1)及b＝＝＝1，
1
知b ＝n＋，∴a －1＝，∴a ＝.
n n n
考点三 等差数列的性质及应用
[典例] (1)在等差数列{a }中，若a＋a＝4，则log (2a1·2 a2·…·2 a10)＝( )
n 5 6 2A．10 B．20
C．40 D．2＋log 5
2
(2)在等差数列{a }中，S 为其前n项的和，已知3a＝5a ，且a>0，若S 取得最大值，则n的
n n 8 13 1 n
值为( )
A．20 B．21
C．22 D．23
[解析] (1)由等差数列的性质知a ＋a ＝a ＋a ＝a ＋a ＝a ＋a ＝a ＋a ＝4，则2a1·2 a2·…
1 10 2 9 3 8 4 7 5 6
·2 a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log (2a1·2 a2·…·2 a10)＝log 25×4＝20.
2 2
(2)设等差数列{a }的公差为d，由3a＝5a 可得3(a＋7d)＝5(a＋12d)，即a＝－d，∵a>0，
n 8 13 1 1 1 1
∴d<0，数列{a }为递减数列，∴a ＝a＋19d＝－d>0，a ＝a＋20d＝d<0， ∴当n＝20
n 20 1 21 1
时，S 取得最大值．
n
[答案] (1)B (2)A
[方法技巧]
利用等差数列的性质求解问题的注意点
(1)如果{a }为等差数列，m＋n＝p＋q，则a ＋a ＝a＋a(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a ，
n m n p q m－n
a ，a 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a (或其他项)有关的条件；若求a 项，
m m＋n m m
可由a ＝(a ＋a )转化为求a ，a 或a ＋a 的值．
m m－n m＋n m－n m＋n m＋n m－n
(2)和的性质：在等差数列{a }中，S 为其前n项和，则
n n
①S ＝n(a＋a )＝…＝n(a ＋a )；
2n 1 2n n n＋1
②S ，S －S ，S －S ，…组成等差数列．
n 2n n 3n 2n
本例(2)应用了性质②.
[针对训练]
1．已知{a }为等差数列，a＋a＝18，则{a }的前9项和S 等于( )
n 2 8 n 9
A．9 B．17 C．72 D．81
解析：选D 由等差数列的性质可得，a＋a＝a＋a＝18，则{a }的前9项和S＝＝9×＝81.
1 9 2 8 n 9
故选D.
2．(2021·漳州质检)已知等差数列{a } 的前n项和为S .若S＝7，S ＝21，则S 等于( )
n n 5 10 15
A．35 B．42 C．49 D．63
解析：选B 在等差数列{a }中，S，S －S，S －S 成等差数列，即7,14，S －21成等差数列，
n 5 10 5 15 10 15
所以7＋(S －21)＝2×14，解得S ＝42.
15 15
考点四 等差数列的最值问题
[典例] (1)(多选)(2021·青岛一模)已知等差数列{a }的前n项和为S (n∈N*)，公差d≠0，S＝
n n 6
90，a 是a 与a 的等比中项，则下列选项正确的是( )
7 3 9
A．a＝22
1
B．d＝－2C．当n＝10或n＝11时，S 取得最大值
n
D．当S >0时，n的最大值为20
n
(2)在等差数列{a }中，已知a＝13,3a＝11a，则数列{a }的前n项和S 的最大值为________．
n 1 2 6 n n
[解析] (1)因为S＝90，所以6a＋d＝90，
6 1
即2a＋5d＝30，①
1
又因为a 是a 与a 的等比中项，所以a＝a·a，
7 3 9 3 9
所以(a＋6d)2＝(a＋2d)(a＋8d)，整理得a＝－10d，②
1 1 1 1
由①②解得a＝20，d＝－2，故A错误，B正确；
1
所以S ＝20n＋×(－2)＝－n2＋21n＝－2＋，
n
又n∈N*，所以当n＝10或n＝11时，S 取得最大值，故C正确；
n
令S ＝－n2＋21n>0，解得00，d<0时，满足的项数m使得S 取得最大值为S (当a ＝0时，S 也为最大值)；
1 n m m＋1 m＋1
②当a<0，d>0时，满足的项数m使得S 取得最小值为S (当a ＝0时，S 也为最小值)．
1 n m m＋1 m＋1
[针对训练]
1．(多选)设{a }是等差数列，S 是其前n项和，且SS，则下列结论正确的是(
n n 5 6 6 7 8
)A．d<0 B．a＝0
7
C．S>S D．S 与S 均为S 的最大值
9 5 6 7 n
解析：选ABD 由{a }是等差数列，S 是其前n项和，且SS，则a＝S－S>0，a
n n 5 6 6 7 8 6 6 5 7
＝S－S＝0，a＝S－S<0，a＋a＝S－S<0，则数列{a }为递减数列，即选项A、B正确；
7 6 8 8 7 7 8 8 6 n
由S－S＝a＋a＋a＋a＝2(a＋a)<0，得Sa>…>a>a＝0>a>a>…，可得S 与S 均为S 的最大值，即选项D正确，故选A、B、D.
1 2 6 7 8 9 6 7 n
2．设等差数列{a }满足a＝1，a >0(n∈N*)，其前n项和为S ，若数列{}也为等差数列，则的最
n 1 n n
大值是________．
解析：设数列{a }的公差为d，依题意得2＝＋，
n
∴2＝＋，
把a＝1代入求得d＝2，
1
∴a ＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S ＝n＋×2＝n2，
n n
∴＝＝2＝2
＝2≤121.
∴的最大值是121.
答案：121
创新考查方式——领悟高考新动向
1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题： “九百九十六斤绵，赠分八子作盘
缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：
“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子
女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花( )
A．65斤 B．82斤
C．99斤 D．106斤
解析：选C 设第一个孩子分配到a 斤棉花，
1
则由题意得S＝8a＋×17＝996，
8 1
解得a＝65.
1
则a＝65＋2×17＝99(斤)．
3
2．(多选)朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学
普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求
和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为
等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该
“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( )
A．4 B．5
C．7 D．8解析：选BD 依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为a，公差为
1
d＝1，设一共放n(n≥2)层，则总根数为：S ＝na ＋＝na ＋＝100，整理得2a＝＋1－n.因为
n 1 1 1
a∈N*，所以n为200的因数，＋(1－n)≥2且为偶数，验证可知n＝5,8满足题意．
1
3.(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下
三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面
形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一
层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，
则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
解析：选C 由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记
为{a }，易知其首项a＝9，公差d＝9，所以a ＝a＋(n－1)d＝9n.
n 1 n 1
设数列{a }的前n项和为S ，
n n
由等差数列的性质知S ，S －S ，S －S 也成等差数列，
n 2n n 3n 2n
所以2(S －S )＝S ＋S －S ，
2n n n 3n 2n
所以(S －S )－(S －S )＝S －2S ＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，
3n 2n 2n n 2n n
所以三层共有扇面形石板的块数为S ＝＝＝3 402，故选C.
3n
4．已知函数f(x)＝log (x－1)＋2，数列{a }是首项为2，公差为3的等差数列，则与f的大小关
2 n
系是( )
A.>f
B.S D．S＝S
4 1 4 1
解析：选B 设{a }的公差为d，由a＝－6，a＝6，得解得于是，S＝－9，S＝3×(－9)＋×3
n 2 6 1 3
＝－18，S＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S＝S，S0时，n的最小值为(
n n n)
A．14 B．15
C．16 D．17
解析：选C ∵数列{a }是等差数列，它的前n项和S 有最小值，
n n
∴公差d>0，首项a<0，{a }为递增数列．
1 n
∵<－1，∴a·a<0，a＋a>0，
8 9 8 9
由等差数列的性质知，
2a＝a＋a <0，a＋a＝a＋a >0.
8 1 15 8 9 1 16
∵S ＝，
n
∴当S >0时，n的最小值为16.
n
6．《九章算术》一书中衰分、均输、盈不足等卷中记载了一些有关数列的问题．齐去长安三千
里，今有良马发长安至齐，驽马发齐至长安，同日相向而行．良马初日行一百五十五里，日增
十二里；驽马初日行一百里，日减二里．问几日相遇( )
A．十日 B．十一日
C．十二日 D．六十日
解析：选A 设良马每天行走的里数构成数列{a }，驽马每天行走的里数构成数列{b }，则
n n
{a }，{b }均为等差数列，公差分别为d，d.且a＝155，d＝12，b＝100，d＝－2，设n日相遇，
n n 1 2 1 1 1 2
则由题意知155n＋×12＋100n＋×(－2)＝3 000，解得n＝10.
7．已知{a }，{b }均为等差数列，且a＝4，a＝6，b＝3，b＝9，由{a }，{b }的公共项组成新数
n n 2 4 3 7 n n
列{c }，则c ＝( )
n 10
A．18 B．24
C．30 D．36
解析：选C 因为数列{a }为等差数列，且a＝4，a＝6，
n 2 4
所以其公差d＝＝1，通项公式为a ＝n＋2.
1 n
因为数列{b }为等差数列，且b＝3，b＝9，
n 3 7
所以其公差d＝＝，通项公式为b ＝－.
2 n
则a＝b＝3为数列{c }的第一项，a＝b＝6为数列{c }的第二项，a＝b＝9为数列{c }的第
1 3 n 4 5 n 7 7 n
三项，…，知{c }为等差数列，{c }的公差d＝3，且c ＝3＋(n－1)·3＝3n，
n n n
则c ＝3×10＝30，故选C.
10
8．已知数列{a }满足5an＋1＝25·5an，且a＋a＋a＝9，则log1 (a＋a＋a)＝( )
n 2 4 6 5 7 9
3
A．－3 B．3
C．－ D.
解析：选A 数列{a }满足5 an＋1＝25·5 an，∴a ＝a ＋2，即a －a ＝2，
n n＋1 n n＋1 n
∴数列{a }是等差数列，公差为2.
n
∵a＋a＋a＝9，∴3a＝9，a＝3.
2 4 6 4 4∴a＋3×2＝3，解得a＝－3.
1 1
∴a＋a＋a＝3a＝3×(－3＋6×2)＝27，
5 7 9 7
则log1 (a＋a＋a)＝log1 33＝－3.故选A.
5 7 9
3 3
9．(多选)(2021·青岛模拟)设d，S 分别为等差数列{a }的公差与前n项和，若S ＝S ，则下列
n n 10 20
论断中正确的有( )
A．当n＝15时，S 取最大值 B．当n＝30时，S ＝0
n n
C．当d>0时，a ＋a >0 D．当d<0时，|a |>|a |
10 22 10 22
解析：选BC 因为S ＝S ，所以10a＋d＝20a＋d，解得a＝－d.因为无法确定a 和d的正
10 20 1 1 1 1
负性，所以无法确定S 是否有最大值，故A错误．S ＝30a＋d＝30×＋15×29d＝0，故B正
n 30 1
确．a ＋a ＝2a ＝2(a＋15d)＝2＝d>0，故C正确．a ＝a＋9d＝－d＋d＝－d，a ＝a＋21d
10 22 16 1 10 1 22 1
＝－d＋d＝d，因为d<0，所以|a |＝－d，|a |＝－d，|a |<|a |，故D错误．
10 22 10 22
10．已知等差数列{a }的公差为－2，前n项和为S ，a，a，a 为某三角形的三边长，且该三角
n n 3 4 5
形有一个内角为120°，若S ≤S 对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝( )
n m
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选B ∵等差数列{a }的公差为－2，a，a，a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个
n 3 4 5
内角为120°，
∴a＝a＋a－2a·acos 120°，
4 5
即(a＋2)2＝a＋(a－2)2＋2a(a－2)×，
4 4 4 4
化为a－5a＝0，又a≠0，解得a＝5，
4 4 4
∴a＝7，a＝3，a＝1，a＝－1.
3 5 6 7
∵S ≤S 对任意的n∈N*恒成立，∴实数m＝6.故选B.
n m
11．等差数列{a }，{b }满足：对任意n∈N*，都有＝，则＋＝________.
n n
解析：由等差数列的性质可得b＋b＝b＋b＝2b，
3 9 4 8 6
a＋a＝2a.
7 5 6
∴＋＝＝＝＝＝1.
答案：1
12．已知数列{a }满足递推关系式a ＝2a ＋2n－1(n∈N*)，且为等差数列，则λ的值是
n n＋1 n
________．
解析：因为为等差数列，a ＝2a ＋2n－1，
n＋1 n
所以－＝－＝＋＋－－＝＋－是与n无关的常数，
则－＝0，即＝0，则λ－1－2λ＝0，
解得λ＝－1.
答案：－1
13．等差数列{a }中，S 是它的前n项和，且SS，给出下列结论：
n n 6 7 6 8①数列{a }的公差d<0；②SS，
6 7 6 8
∴SS＋a＋a.
6 6 7 6 6 7 8
∴a>0，a＋a<0.
7 7 8
∴a>0，a<0.
7 8
①数列{a }的公差d<0，正确；
n
②由①得a＋a＋a<0，∴S＋a＋a＋aa，
3 5 3 5
解方程x2＋8x＋7＝0，得a＝－1，a＝－7，
3 5∴解得a＝5，d＝－3.
1
∴a ＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
n
(2)由(1)知{a }的前n项和S ＝5n＋×(－3)＝－n2＋n.
n n
∵b ＝|a |，∴b＝5，b＝2，b＝|－1|＝1，b＝|－4|＝4，
n n 1 2 3 4
当n≥3时，b ＝|a |＝3n－8.
n n
当n<3时，T＝5，T＝7；
1 2
当n≥3时，T ＝－S ＋2S＝－＋14.
n n 2
∵T ≥1 464，∴T ＝－＋14≥1 464，
n n
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥，
∴n的最小值为34.
