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第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合应用
题型一 函数性质的交汇应用问题
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，
其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为
主．
考法(一) 单调性与奇偶性相结合
1
[例1] (2021·石家庄模拟)已知偶函数fx＋，当x∈时，f(x)＝x ＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，
3
c＝f(3)，则( )
A．a<b<c B．b<c<a
C．c<b<a D．c<a<b
1
[解析] ∵当x∈时，y＝sin x单调递增，y＝x也为增函数，∴函数f(x)＝x ＋sin x也为增函
3
数．∵函数f为偶函数，∴f＝f，f(x)的图象关于x＝对称，∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，
∵0<π－3<1<π－2<，∴f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即c<a<b，故选D.
[答案] D
[方法技巧]
函数单调性与奇偶性的综合常利用奇偶函数的图象的对称性，以及奇偶函数在关于原点对
称的区间上的单调性求解．
考法(二) 奇偶性与周期性相结合
[例2] (1)(2021·扬州第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，
f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则f＝( )
A．－ B．－
C. D.
(2)(2021·淮北模拟)定义在R上的函数f(x)为奇函数，f(1)＝1，又g(x)＝f(x＋2)也是奇函数，则
f(2 020)＝________.
[解析] (1)因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以f＝f
＝f，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f＝－f＝ －＝，所以f＝.故选D.
(2)∵g(x)＝f(x＋2)是奇函数，
∴g(－x)＝f(－x＋2)＝－f(x＋2)．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴－f(x＋2)＝f(－x－2)，
∴f(－x＋2)＝f(－x－2)＝f(－x＋2－4)，
∴f(x)＝f(x－4)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
∴f(2 020)＝f(4×505＋0)＝f(0)＝0.
[答案] (1)D (2)0[方法技巧]
函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值
的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．
考法(三) 单调性、奇偶性与周期性的综合
[例3] 定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log1 (1－x)，则f(x)在区间内
2
是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
[解析] 当x∈时，由f(x)＝log1 (1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所
2
以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)
单调递增且f(x)<0.
[答案] D
[方法技巧]
对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体
现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在
解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转
换，再利用单调性解决相关问题．
[针对训练]
1．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0<x<2时，f(x)＝ －ln
7
x，则e f 的值为( )
3
A. B.
C. D.
解析：选D 因为函数以4为周期，
所以f＝f(－4)＝f＝－f＝ln，
7 5
所以e f ＝eln ＝.故选D.
3 3
2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)
＝2x－1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：选D ∵f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2－x)＝f(x)．
∵函数f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴周期T＝4.
∵x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，∴f(1)＝21－1＝2－1＝1.
又函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.
3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－cos x，则下列结
论正确的是( )
A．f<f<f(2 018)
B．f(2 018)<f<f
C．f(2 018)<f<f
D．f<f<f(2 018)
解析：选C ∵f(x)是奇函数，
∴f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴f(2 018)＝f(2＋4×504)＝f(2)＝f(0)，f＝f，f＝f，∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－cos x单调递增，
∴f(0)<f<f，
∴f(2 018)<f<f，故选C.
题型二 新定义问题
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一
类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者
给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
[典例] 若两函数具有相同的定义、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．
下列三个函数y＝2|x|－1，y＝，y＝＋cos x－1中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为(
)
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋
∞)上，f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一
致，但是y＝＝1－的最大值接近1，y＝2|x|－1≥0，y＝＋cos x－1≥0，故选B.
[答案] B
[方法技巧]
深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求
之间建立联系是解题的关键．如果函数的某一性质(一般是等式、不等式)对某些数值恒成立，
那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．
[针对训练]
(多选)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，
且具有下列三条性质：(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
关于函数f(x)＝x★的说法正确的是( )
A．函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3
B．函数f(x)为偶函数
C．函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)
D．函数f(x)不是周期函数
解析：选ACD 对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋
(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b，∴f(x)＝x★＝1＋x＋.当x>0时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2
＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；函
数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3， f(－1)＝1－1－1＝－
1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；根据函数的单调
性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故C正确；由C知，函数
f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故D正确．
一、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·济南模拟)下列函数既是奇函数，又在[－1，1]上单调递增的是( )
A．f(x)＝|sin x| B．f(x)＝ln
C．f(x)＝(ex－e－x) D．f(x)＝ln(－x)
解析：选C 对于A，f(x)＝|sin x|为偶函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ln 的定义域为(－e，e)，关于原点对称，有f(－x)＝ln ＝ －ln ＝－f(x)，
为奇函数，
设t＝＝－1＋，x∈(－e，e)，在(－e，e)上为减函数，而y＝ln t为增函数，则f(x)＝ln 在(－e，e)
上为减函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝(ex－e－x)，有f(－x)＝(e－x－ex)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，为奇函数，且f′(x)＝(ex
＋e－x)>0，则f(x)在R上为增函数，符合题意；
对于D，f(x)＝ln(－x)的定义域为R.
f(－x)＝ln(＋x)＝－ln(－x)＝－f(x)，为奇函数，
设t＝－x＝，易知t在R上为减函数，而y＝ln t为增函数，
则f(x)＝ln(－x)在R上为减函数，不符合题意．故选C.
2．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集
为( )
A. B.
C．[－1,1] D.
解析：选B ∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，
∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，∴函数f(x)在(0,2]上为减函数，
则由f(x－1)≤f(2x)，得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤.又∵函数f(x)的定义域为[－2,2]，∴解得综上，所求解集为.
3．已知函数f(x)在[0,4]上是增函数，且函数y＝f(x＋4)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(2)<f(4)<f(5) B．f(2)<f(5)<f(4)
C．f(5)<f(4)<f(2) D．f(4)<f(2)<f(5)
解析：选B 因为函数y＝f(x＋4)是偶函数，所以函数y＝f(x＋4)的图象关于直线x＝0对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(5)＝f(3)，又函数y＝f(x)在[0,4]上是增函
数，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(5)<f(4)．故选B.
4．(2021·广州模拟)如果对定义在R上的奇函数，y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x，x，所
1 2
有xf(x)＋xf(x)>xf(x)＋xf(x)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是(
1 1 2 2 1 2 2 1
)
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
解析：选D 根据题意，对于任意不相等的实数x，x，xf(x)＋xf(x)>xf(x)＋xf(x)恒成立，
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
则有(x－x)[f(x )－f(x )]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，
1 2 1 2
故“H函数”为奇函数且在R上为增函数．
据此依次分析选项：
对于A，f(x)＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝x3－3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；
对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选D.
5．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称，给出下列关于f(x)的结论，
其中正确的结论是( )
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)
C．f(x)在(0,2)上单调递减
D．f(x)＝cos 是满足条件的一个函数
解析：选ABD 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，则
f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的
周期函数，故A正确；可得f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正
确；f(x)＝cos是定义在R上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)＝－
cos满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误．
6．(多选)设函数f(x)是定义在R上的函数，满足f(－x)－f(x)＝0，且对任意的x∈R，恒有f(x
＋2)＝f(2－x)，已知当x∈时，f(x)＝2－x，则有( )
A．函数的最大值是1，最小值是
B．函数f(x)是周期函数，且周期为2
C．函数f(x)在上递减，在上递增D．当x∈时，f(x)＝2－x
解析：选AC ∵函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
∵f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，B 错误；
∵x∈时，f(x)＝2－x，
∴x∈时，f(x)是增函数，
∴f(x) ＝f(2)＝1，f(x) ＝f(0)＝.
max min
根据函数f(x)是偶函数可知当x∈时，最大值为1，最小值为，由周期性知当x∈R时，最大值
为1，最小值为，A正确；
又∵x∈时，f(x)是增函数，∴x∈时，f(x)是减函数，由T＝4知f(x)在上递减，在上递增，C正
确；
令x∈，则－x∈，f(－x)＝2＋x＝f(x)，
∴f(x－4)＝2＋x－4＝x－2＝f(x)，
∴x∈时，f(x)＝x－2，D错误．故选A、C.
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝ 6－
x，则f(919)＝________.
解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
8．(2021·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝ex－－2sin x，其中e为自然对数的底数，若f(2a2)＋
f(a－3)＋f(0)<0，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(0)＝0，f′(x)＝ex＋e－x－2cos x，ex＋e－x≥2，而2cos x≤2，所以f′(x)≥0，所以
函数y＝f(x)是单调递增函数．又f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，所以原不等式可化为
f(2a2)<－f(a－3)＝f(3－a)，则2a2<3－a，即2a2＋a－3<0，解得－<a<1.
答案：
9．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：
①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期为4，故①正确；又
f(4－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4
－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．
答案：①②③
10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S ＝4×＝4.
△OAB
11．已知定义在R上的函数f(x)，对于任意实数a，b都满足f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)≠0，当
x>0时，f(x)>1.
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
(3)求不等式f(x2＋x)<的解集．
解：(1)令a＝1，b＝0，则f(1)＝f(1＋0)＝f(1)f(0)，
∵f(1)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：当x<0时，－x>0.
令a＝x，b＝－x，则f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1，由f(－x)>0得f(x)>0，注意到f(0)＝1>0，
∴对于任意实数x，f(x)>0.
任取x，x∈R，且x<x，则x－x>0，f(x－x)>1，
1 2 1 2 2 1 2 1
∵f(x)＝f[x ＋(x －x )]＝f(x)f(x－x)>f(x)，
2 1 2 1 1 2 1 1
∴函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(3)∵＝＝f(－2x＋4)，
∴f(x2＋x)<＝f(－2x＋4)，
由(2)可得x2＋x<－2x＋4，
解得－4<x<1，∴原不等式的解集是(－4,1)．
12．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0,1)时，f(x)＝
ax＋b(a＞0且a≠1)，且f＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数，
所以f(0)＝0，即b＝－1.
又f＝f＝－f＝1－＝，解得a＝.
(2)当x∈[0,1)时，
f(x)＝ax＋b＝x－1∈，
由f(x)为奇函数知，当x∈(－1,0)时，f(x)∈，
又因为f(x)是周期为2的周期函数，
所以当x∈R时，f(x)∈，
设t＝f(x)∈，
所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝2－，
即y＝2－∈.
故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为.
二、自选练——练高考区分度
1．(多选)(2021·衡阳模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)∀x，x∈R，且x≠x，都有<0.
1 2 1 2
下面四个函数中，是“优美函数”的为( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝－2x3
C．f(x)＝e－x－ex D．f(x)＝ln(＋x)
解析：选BC 由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．
对于A，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；
对于B，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；
对于C，f(x)＝e－x－ex是奇函数，并且在R上单调递减，故是“优美函数”；
对于D，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．
故选B、C.
2．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得
<x<1.所以符合题意的x的取值范围为.
答案：
3．给出关于函数f(x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上单调递减；②在(－∞，0)上单调递增；
③是奇函数；④是偶函数；⑤f(0)＝0.在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面问题中，并
解决这个问题．定义在R上的函数f(x)，________(填写你选定条件的序号)，且f(－1)＝0.求不等式f(x－1)>0
的解集．
解：由题意易知条件①和②最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④最好也只选择
一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．
如果选择条件①③.由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝0，且f(x)在
关于原点对称的区间上的单调性一致．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，当0<x<1或x<
－1时，f(x)>0，当x≥1或－1≤x≤0时，f(x)≤0.f(x－1)>0⇔0<x－1<1或x－1<－1，即1<x<2
或x<0.
故不等式f(x－1)>0的解集为(－∞，0)∪(1,2)．
如果选择条件①④⑤.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在 (－∞，
0)上单调递增，注意到f(－1)＝0，所以f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(－1)⇔f(|x－1|)>f(|－1|)⇔|x－1|
<1⇔0<x<2，但x－1≠0，所以不等式f(x－1)>0的解集为(0,1)∪(1,2)．
选择其他条件组合的解法类似．
如果同时选择条件③④.易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x－1)>0的解集为空集．
