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第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合应用
题型一 函数性质的交汇应用问题
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，
其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为
主．
考法(一) 单调性与奇偶性相结合
1
[例1] (2021·石家庄模拟)已知偶函数fx＋，当x∈时，f(x)＝x ＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，
3
c＝f(3)，则( )
A．a0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
[解析] 当x∈时，由f(x)＝log1 (1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所
2
以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)
单调递增且f(x)<0.
[答案] D
[方法技巧]
对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体
现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在
解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转
换，再利用单调性解决相关问题．
[针对训练]
1．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当00时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2
＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；函
数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3， f(－1)＝1－1－1＝－
1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；根据函数的单调
性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故C正确；由C知，函数
f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故D正确．
一、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·济南模拟)下列函数既是奇函数，又在[－1，1]上单调递增的是( )
A．f(x)＝|sin x| B．f(x)＝ln
C．f(x)＝(ex－e－x) D．f(x)＝ln(－x)
解析：选C 对于A，f(x)＝|sin x|为偶函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ln 的定义域为(－e，e)，关于原点对称，有f(－x)＝ln ＝ －ln ＝－f(x)，
为奇函数，
设t＝＝－1＋，x∈(－e，e)，在(－e，e)上为减函数，而y＝ln t为增函数，则f(x)＝ln 在(－e，e)
上为减函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝(ex－e－x)，有f(－x)＝(e－x－ex)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，为奇函数，且f′(x)＝(ex
＋e－x)>0，则f(x)在R上为增函数，符合题意；
对于D，f(x)＝ln(－x)的定义域为R.
f(－x)＝ln(＋x)＝－ln(－x)＝－f(x)，为奇函数，
设t＝－x＝，易知t在R上为减函数，而y＝ln t为增函数，
则f(x)＝ln(－x)在R上为减函数，不符合题意．故选C.
2．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集
为( )
A. B.
C．[－1,1] D.
解析：选B ∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，
∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，∴函数f(x)在(0,2]上为减函数，
则由f(x－1)≤f(2x)，得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤.又∵函数f(x)的定义域为[－2,2]，∴解得综上，所求解集为.
3．已知函数f(x)在[0,4]上是增函数，且函数y＝f(x＋4)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(2)xf(x)＋xf(x)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是(
1 1 2 2 1 2 2 1
)
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
解析：选D 根据题意，对于任意不相等的实数x，x，xf(x)＋xf(x)>xf(x)＋xf(x)恒成立，
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
则有(x－x)[f(x )－f(x )]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，
1 2 1 2
故“H函数”为奇函数且在R上为增函数．
据此依次分析选项：
对于A，f(x)＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝x3－3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；
对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选D.
5．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称，给出下列关于f(x)的结论，
其中正确的结论是( )
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)
C．f(x)在(0,2)上单调递减
D．f(x)＝cos 是满足条件的一个函数
解析：选ABD 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，则
f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的
周期函数，故A正确；可得f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正
确；f(x)＝cos是定义在R上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)＝－
cos满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误．
6．(多选)设函数f(x)是定义在R上的函数，满足f(－x)－f(x)＝0，且对任意的x∈R，恒有f(x
＋2)＝f(2－x)，已知当x∈时，f(x)＝2－x，则有( )
A．函数的最大值是1，最小值是
B．函数f(x)是周期函数，且周期为2
C．函数f(x)在上递减，在上递增D．当x∈时，f(x)＝2－x
解析：选AC ∵函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
∵f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，B 错误；
∵x∈时，f(x)＝2－x，
∴x∈时，f(x)是增函数，
∴f(x) ＝f(2)＝1，f(x) ＝f(0)＝.
max min
根据函数f(x)是偶函数可知当x∈时，最大值为1，最小值为，由周期性知当x∈R时，最大值
为1，最小值为，A正确；
又∵x∈时，f(x)是增函数，∴x∈时，f(x)是减函数，由T＝4知f(x)在上递减，在上递增，C正
确；
令x∈，则－x∈，f(－x)＝2＋x＝f(x)，
∴f(x－4)＝2＋x－4＝x－2＝f(x)，
∴x∈时，f(x)＝x－2，D错误．故选A、C.
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝ 6－
x，则f(919)＝________.
解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
8．(2021·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝ex－－2sin x，其中e为自然对数的底数，若f(2a2)＋
f(a－3)＋f(0)<0，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(0)＝0，f′(x)＝ex＋e－x－2cos x，ex＋e－x≥2，而2cos x≤2，所以f′(x)≥0，所以
函数y＝f(x)是单调递增函数．又f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，所以原不等式可化为
f(2a2)<－f(a－3)＝f(3－a)，则2a2<3－a，即2a2＋a－3<0，解得－0时，f(x)>1.
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
(3)求不等式f(x2＋x)<的解集．
解：(1)令a＝1，b＝0，则f(1)＝f(1＋0)＝f(1)f(0)，
∵f(1)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：当x<0时，－x>0.
令a＝x，b＝－x，则f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1，由f(－x)>0得f(x)>0，注意到f(0)＝1>0，
∴对于任意实数x，f(x)>0.
任取x，x∈R，且x0，f(x－x)>1，
1 2 1 2 2 1 2 1
∵f(x)＝f[x ＋(x －x )]＝f(x)f(x－x)>f(x)，
2 1 2 1 1 2 1 1
∴函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(3)∵＝＝f(－2x＋4)，
∴f(x2＋x)<＝f(－2x＋4)，
由(2)可得x2＋x<－2x＋4，
解得－4f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得
0
的解集．
解：由题意易知条件①和②最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④最好也只选择
一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．
如果选择条件①③.由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝0，且f(x)在
关于原点对称的区间上的单调性一致．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，当00，当x≥1或－1≤x≤0时，f(x)≤0.f(x－1)>0⇔00的解集为(－∞，0)∪(1,2)．
如果选择条件①④⑤.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在 (－∞，
0)上单调递增，注意到f(－1)＝0，所以f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(－1)⇔f(|x－1|)>f(|－1|)⇔|x－1|
<1⇔00的解集为(0,1)∪(1,2)．
选择其他条件组合的解法类似．
如果同时选择条件③④.易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x－1)>0的解集为空集．
