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第五周
周一
π
1.(2024·临沂模拟)若实数a，b，c满足a=2sin ，b3=7，3c=10，则( )
12
A.alog 9=2，
3 3
所以c>b>a.
2.(2024·浙江91 联盟模拟)某羽毛球俱乐部安排男女选手各6名参加三场双打表演赛(一场为男双，一场为
女双，一场为男女混双)，每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有( )
A.2 025种 B.4 050种
C.8 100种 D.16 200种
答案 B
解析
先考虑两对混双的组合有2C2 ·C2
种不同的方法，
6 6
余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，
故共有2C2 ·C2
×3×3=4 050(种)安排方法.
6 6
3.(多选)(2024·临沂模拟)已知{a }是等差数列，S 是其前n项和，则下列命题为真命题的是( )
n n
A.若a +a =9，a +a =18，则a +a =5
3 4 7 8 1 2
B.若a +a =4，则S =28
2 13 14
C.若S <0，则S >S
15 7 8
D.若{a }和{a ·a }都为递增数列，则a >0
n n n+1 n
答案 BC
解析 对于A，设数列{a }的公差为d，
n
由a +a =9，a +a =18，
3 4 7 8
9
可得(a +a )-(a +a )=8d=9，所以d= ，
7 8 3 4 8
9 9
又由a +a =(a +a )-4d=9-4× = ，所以A错误；
1 2 3 4 8 214(a +a ) 14(a +a )
对于B，由S = 1 14 = 2 13 =28，所以B正确；
14 2 2
15(a +a )
对于C，由S = 1 15 =15a <0，所以a <0，
15 2 8 8
又因为S -S =a <0，则S >S ，所以C正确；
8 7 8 7 8
对于D，因为{a }为递增数列，可得公差d>0，
n
因为{a a }为递增数列，可得a a -a a =a ·2d>0，
n n+1 n+2 n+1 n n+1 n+1
所以对任意的n≥2，a >0，但a 的正负不确定，所以D错误.
n 1
x2 y2
4.(2024·常德沅澧共同体联考)已知双曲线 C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 的
a2 b2 1 2 2
直线交双曲线右支于A，B两点，且⃗AF =3⃗F B，⃗AB⊥⃗BF ，则双曲线的离心率为 .
2 2 1
√10
答案
2
解析 设|⃗F B|=t，则|⃗AF |=3t，|⃗AB|=4t，
2 2
从而|⃗AF |=3t+2a，|⃗F B|=t+2a.
1 1
再由⃗AB⊥⃗BF 可知|⃗F B|2 +|⃗F B|2 =|⃗F F |2，|⃗F B|2 +|⃗AB|2=|⃗AF |2 .
1 1 2 1 2 1 1
故(t+2a)2+t2=4c2，(t+2a)2+16t2=(3t+2a)2，
{t2+2at+2a2=2c2,
整理得方程组
at=t2.
由at=t2得t=a，
代入第一个方程可得5a2=2c2，
√c2 √5 √10
所以e= = = .
a2 2 2
(x+k)ln(x+1)-kx
5.(2024·河南TOP二十名校联考)已知函数f(x)= ，k∈[2，+∞).
x+k
(1)讨论函数f(x)的单调性；
3n
(2)当n∈N*时，求证：ln(n+1)< .
4
kx
(1)解 由题意知，f(x)=ln(x+1)- ，定义域为(-1，+∞).
x+k1 k2 x[x-(k2-2k)]
f'(x)= - = ，
x+1 (x+k) 2 (x+1)(x+k) 2
①若k=2，则f'(x)≥0，f(x)在(-1，+∞)上单调递增；
②若k>2，当x∈(-1，0)时，f'(x)>0，f(x)在(-1，0)上单调递增，
当x∈(0，k2-2k)时，f'(x)<0，f(x)在(0，k2-2k)上单调递减，
当x∈(k2-2k，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(k2-2k，+∞)上单调递增.
3x
(2)证明 由(1)得，当k=3时，f(x)=ln(x+1)- ，f(x)在(0，3)上单调递减，
x+3
即当x∈(0，3)时，f(x)
