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周五
1.(2024·临汾联考)已知集合A={x|x>a}，B={x|12}
答案 A
解析 因为B={x|12}，
又A∪
∁R
B=R，所以a≤1.
x2 y2
2.(2024·衡水模拟)已知F ，F 分别为双曲线 - =1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 的直线与双曲线的一
1 2 a2 b2 2
条渐近线平行，且交双曲线于点P，若|PF |=3|PF |，则双曲线的离心率为( )
1 2
A.3 B.√5
C.√3 D.2
答案 C
解析 不妨设点P的位置如图所示，由双曲线的定义可得|PF |-|PF |=2a，
1 2
又|PF |=3|PF |，
1 2
则|PF |=3a，|PF |=a，|F F |=2c.
1 2 1 2
b
由tan∠F F P= 可得
1 2 a
1
a
cos∠F F P=√ b2= .
1 2 1+ c
a2
在△PF F 中，由余弦定理可得，
1 2
|PF |2=|PF |2+|F F |2-2|PF |·|F F |cos∠F F P，
1 2 1 2 2 1 2 1 2
a
即9a2=a2+4c2-2a×2c× ，化简可得c2=3a2，
c
c
所以双曲线的离心率e= =√3.
a3.(多选)(2024·金华、义乌模拟)已知f(x)=cos ωx+√3sin ωx(ω>0)在[0，π]上单调，且y=f(x)的图象关于点(-
π，0)对称，则( )
A.若|f(x )-f(x )|=4，则|x -x | =6π
1 2 1 2min
B.f(x)图象的一条对称轴方程为x=2π
C.函数y=f(x)在(-π，5π)上无零点
D.将f(x)的图象向左平移π个单位长度后得到的函数为偶函数
答案 ABC
解析 f(x)=cos ωx+√3sin ωx
(1 √3 )
=2 cosωx+ sinωx
2 2
( π)
=2sin ωx+ .
6
π π π
当x∈[0，π]时， ≤ωx+ ≤ωπ+ ，
6 6 6
又f(x)在[0，π]上单调，
π π 1
所以ωπ+ ≤ ，解得0<ω≤ .
6 2 3
π
又y=f(x)的图象关于点(-π，0)对称，所以-ωπ+ =kπ，k∈Z，
6
1
解得ω= -k，
6
1
当k=0时，ω= ，符合题意，
6
(1 π)
所以f(x)=2sin x+ .
6 6
对于A，若|f(x )-f(x )|=4，则可得f(x )，f(x )为函数y=f(x)的极大值与极小值，
1 2 1 2
2π
1 1
可得|x -x | = T= × 1 =6π，故A正确；
1 2min 2 2
6
(1 π)
对于B，因为f(2π)=2sin ×2π+ =2，所以f(x)图象的一条对称轴方程为x=2π，故B正确；
6 6
1 π
对于C，因为x∈(-π，5π)，所以0< x+ <π，所以函数y=f(x)在(-π，5π)上无零点，故C正确；
6 6
[1 π] (1 π)
对于D，将f(x)的图象向左平移π个单位长度后得到的函数为y=2sin (x+π)+ =2sin x+ ，
6 6 6 3
所以f(x)的图象向左平移π个单位长度后得到的函数不为偶函数，故D不正确.
4.(2024·上饶模拟)已知关于x的不等式aexx-2ln x-2x-2≥0恒成立，a的最小值为m，则f(x)=msin x+sin 2x的
最小值为 .(其中e为自然对数的底数)3√3
答案 -
2
解析 不等式aexx-2ln x-2x-2≥0(x>0)恒成立，
a lnx+x+1 lnx+x+1
等价于 ≥ = ，
2 xex ex+lnx
1
令t=g(x)=x+ln x，g'(x)=1+ >0，
x
所以g(x)=x+ln x是增函数，
且x→0时，g(x)→-∞，x→+∞时，g(x)→+∞，即t∈R.
t+1 -t
令h(t)= ，则h'(t)= ，
et et
当t∈(-∞，0)时，h'(t)>0，h(t)单调递增，
当t∈(0，+∞)时，h'(t)<0，h(t)单调递减，
所以h(t) =h(0)=1，
max
a
所以 ≥1，即a≥2，故m=2.
2
所以f(x)=2sin x+sin 2x，
f'(x)=2cos x+2cos 2x=2(cos x+1)(2cos x-1)，
1 1
因为cos x+1≥0，所以当cos x≥ 时，f(x)单调递增，当cos x≤ 时，f(x)单调递减，
2 2
1 √3
即当cos x= 时，f(x)=2sin x+sin 2x取得最小值，此时sin x=± ，
2 2
√3 √3
当sin x=- 时，sin 2x=2sin xcos x=- ，
2 2
3√3
此时f(x)=2sin x+sin 2x=- ；
2
√3 √3
当sin x= 时，sin 2x=2sin xcos x= ，
2 2
3√3
此时f(x)=2sin x+sin 2x= .
2
3√3
综上可知，f(x)的最小值为- .
2
5.(2024·临沂模拟)“赶大集”彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了
200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示(单位：人).
非常喜欢
感觉一般
合计男性
3t
100
女性
t
合计
60
(1)求t的值，试根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析年轻人对“赶大集”的态度是否与性别有关；
(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢
“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”
的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
n(ad-bc) 2
参考公式：χ2= ，其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α
解 (1)由题意可知，3t+(60-t)=100，解得t=20，
2×2列联表为
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
60
40
100
女性
80
20
100
合计
140
60200
零假设为H ：年轻人对“赶大集”的态度与性别无关.根据列联表中的数据，得χ2=
0
200×(60×20-80×40) 2
100×100×140×60
200×2 0002
= ≈9.524>6.635=x .
0.01
100×100×140×60
根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不
大于0.01.
(2)设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，
则X=m+n，且X的所有可能取值为1，2，3，4.
C3C1C1
2 1
3 2 1
P(X=1)=P(m=0，n=1)= = = ，
C3C2 30 15
5 3
C1C2C1C1 C3C2
13
2 3 2 1 3 2
P(X=2)=P(m=1，n=1)+P(m=0，n=2)= + = ，
C3C2 C3C2 30
5 3 5 3
C2C1C1C1 C1C2C2
12 2
2 3 2 1 2 3 2
P(X=3)=P(m=2，n=1)+P(m=1，n=2)= + = = ，
C3C2 C3C2 30 5
5 3 5 3
C2C1C2
3 1
2 3 2
P(X=4)=P(m=2，n=2)= = = .
C3C2 30 10
5 3
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
1 13 2 1
P
15 30 5 10
1 13 2 1 38
所以E(X)=1× +2× +3× +4× = .
15 30 5 10 15
