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周六
1.(2024·宁波模拟)已知直线l：x-y+1=0与圆C：x2+y2-2x-m=0相离，则实数m的取值范围是( )
A.(-∞，1) B.(-1，1)
C.(1，+∞) D.(-1，+∞)
答案 B
解析 由已知条件，得圆C：(x-1)2+y2=m+1，m>-1，则圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为√m+1，
因为直线l与圆C相离，
|1+1|
所以 >√m+1，解得-10，则2≤xe，
所以f(x)在[2，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减.
ln2
因为f(2)=f(4)= ，2≤xe(n-1)，
1 2 n-1
又y ≤4，则20y ≤80，
n n
80
要使得y +y +…+y ≤20y 成立，只需e(n-1)<80，即n<1+ ≈30.4，所以正整数n的最大值为30.
1 2 n-1 n e
3.(多选)(2024·张家口模拟)如表是某地从2019年至2023年能源消费总量近似值y(单位：千万吨标准煤)的
数据表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023年份代号x 1 2 3 4 5
能源消费总量近似值y(单位：千万吨标准煤) 44.2 44.6 46.2 47.8 50.8
以x为解释变量，y为响应变量，若以y =b x+a 为经验回归方程，则决定系数R2≈0.929 8，若以
1 1 1 1
y =b x2+a x+c 为经验回归方程，则R2≈0.996 5，则下面结论中正确的有( )
2 2 2 2 2
A.变量x和变量y的样本相关系数为正数
B.y =b x2+a x+c 比y =b x+a 的拟合效果好
2 2 2 2 1 1 1
C.由经验回归方程可准确预测2024年的能源消费总量
D.y=3b +a
1 1
答案 ABD
解析 对于A选项，随着变量x的增加，变量y也在增加，故变量x和变量y成正相关，即样本相关系数
为正数，A正确；
对于B选项，因为R2 >R2 ，故y =b x2+a x+c 比y =b x+a 的拟合效果好，B正确；
2 1 2 2 2 2 1 1 1
对于C选项，经验回归方程可预测2024年的能源消费总量，不可准确预测，C错误；
对于D选项，由经验回归直线必过点(x，y)，可知y=3b +a ，D正确.
1 1
4.(2024·辽宁教研教改联合体模拟)某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以
1 3
往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为 ，200米比赛未能获得奖牌的概率为 ，两项
2 10
1
比赛都未能获得奖牌的概率为 ，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖
10
牌的概率为 .
3
答案
5
解析 设“在200米比赛中获得奖牌”为事件A，“在100米比赛中获得奖牌”为事件B，
3 1 1 1
则P(A)= ，P(B)= ，P(A∩B)= ，P(B)=1-P(B)= ，
10 2 10 2
3 1 1 7
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)= + - = ，
10 2 10 10
3
则P(A∩B)=1-P(A∪B)= ，
10
P(AB) 3
所以该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率是P(A|B)= = .
P(B) 5
5.(2024·永州模拟)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，EC⊥平面
ABCD，CD=2BC=4AB=4.(1)证明：BD⊥AE；
11
(2)若EC=2BF，BF∥EC，且多面体ABCDEF的体积为 ，求直线AC与平面AEF所成角的正弦值.
3
(1)证明 因为AB∥CD，AB⊥BC，
所以CD⊥BC，则在Rt△BCD中，
BC 1
tan∠BDC= = ，
CD 2
AB 1
在Rt△ABC中，tan∠ACB= = ，
BC 2
所以∠BDC=∠ACB，∠BDC+∠ACD=∠ACB+∠ACD=90°，
所以AC⊥BD.
又EC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以EC⊥BD.
又AC∩EC=C，AC，EC ⊂平面AEC，所以BD⊥平面AEC.
又AE 平面AEC，所以⊂BD⊥AE.
(2)解 ⊂因为EC⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以AB⊥EC.
又AB⊥BC，BC∩EC=C，BC，EC⊂平面BCEF，
所以AB⊥平面BCEF.
⊂
设多面体ABCDEF的体积为V，EC=2BF=2a，a>0，
1 1 1 1 11
则V=V +V = AB·S + EC·S = ×1×3a+ ×2a×4= ，
四棱锥A-BCEF 三棱锥E-ACD 3 四边形BCEF 3 △ACD 3 3 3
解得a=1，则EC=2BF=2.
如图，以C为坐标原点，CD，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1，2，0)，E(0，0，2)，F(0，2，1)，C(0，0，0)，
则⃗EF=(0，2，-1)，⃗AF=(-1，0，1)，⃗AC=(-1，-2，0).
设平面AEF的法向量为n=(x，y，z)，{⃗AF·n=-x+z=0,
则
⃗EF·n=2y-z=0,
令z=2，则x=2，y=1，
所以平面AEF的一个法向量为n=(2，1，2).
设直线AC与平面AEF所成的角为θ，
|⃗AC·n|
那么sin θ=|cos〈⃗AC，n〉|=
|⃗AC|·|n|
4 4√5
= = ，
√5×3 15
4√5
所以直线AC与平面AEF所成角的正弦值为 .
15
