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周三
1.(2024·河南名校联考)函数f(x)=ln x-x2与直线x+y=0相切于点A，则点A的横坐标为( )
1
A. B.1
e
C.2 D.e
答案 B
解析 设点A(x ，y )，
0 0
因为直线x+y=0的斜率为-1，
1
f'(x)= -2x，x>0，
x
1
所以f'(x )= -2x =-1，解得x =1.
0 x 0 0
0
π
2.(2024·鹰潭模拟)在Rt△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，C= ，c=2，P是△ABC外接
2
圆上的一点，则⃗PC·(⃗PA+⃗PB)的最大值是( )
A.4 B.2+√10
C.3 D.1+√10
答案 A
解析 如图，设Rt△ABC的外心为O，则点O是AB的中点.
⃗PC·(⃗PA+⃗PB)=2⃗PC·⃗PO=2(⃗PO+⃗OC)·⃗PO=2⃗PO2+2⃗PO·⃗OC.
因为c=2，故|⃗PO|=|⃗OC|=1，
则⃗PO·⃗OC=cos〈⃗PO，⃗OC〉，
故⃗PC·(⃗PA+⃗PB)≤2+2=4，当且仅当⃗PO与⃗OC同向时取等号.
( π)
3.(多选)(2024·菏泽模拟)已知函数f(x)=cos ωx+ (ω>0)，则( )
4
π
A.若f(x)的图象向右平移 个单位长度后与f(x)的图象重合，则ω的最小值为1
4
π
B.若f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到函数y=sin ωx的图象，则ω的最小值为5
4
π
C.若函数|f(x)|的最小正周期为 ，则ω=4
4π 1
D.当ω=1时，若f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到函数g(x)的图象，则方程|g(x)|+ =1有无穷多
4 g(|x|)
个解
答案 BC
( π)
解析 对于A项，因为f x- =
4
[ ( π) π] ( ωπ π)
cos ω x- + =cos ωx- +
4 4 4 4
( π)
=cos ωx+ ，
4
ωπ
所以- =2kπ，k∈Z，即ω=-8k，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为8，故A项错误；
4
( π) [ ( π) π] ( ωπ π)
对于B项，因为f x+ =cos ω x+ + =cos ωx+ + =sin ωx，
4 4 4 4 4
ωπ π π
所以 + =- +2kπ，k∈Z，
4 4 2
即ω=-3+8k，k∈Z，又ω>0，
所以ω的最小值为-3+8=5，故B项正确；
π 2π
对于C项，因为函数|f(x)|的最小正周期是f(x)的最小正周期的一半，所以f(x)的最小正周期为 ，所以 =
2 ω
π
，解得ω=4，故C项正确；
2
( π)
对于D项，当ω=1时，f(x)=cos x+ ，
4
( π) ( π π)
所以g(x)=f x- =cos x- + =cos x，
4 4 4
1 1
方程|g(x)|+ =|cos x|+
g(|x|) cos|x|
1
=|cos x|+ =1.
cosx
1
令cos x=t，则|t|+ =1，t∈[-1，0)∪(0，1]，
t
1
当t∈[-1，0)时，-t+ =1，即t2+t-1=0，
t
-1+√5 -1-√5
所以t= (舍去)或t= (舍去)；
2 2
1
当t∈(0，1]时，t+ =1，即t2-t+1=0，方程无解.
t1
综上，方程|g(x)|+ =1无解，故D项错误.
g(|x|)
4.(2024·福州质检)设T 为数列{a }的前n项积，若T +a =m，其中常数m>0，则a = (结果用m表
n n n n 2
{ 1 }
示)；若数列 为等差数列，则m= .
T
n
2m
答案 1或2
m+2
解析 因为T 为数列{a }的前n项积，T +a =m，
n n n n
m
当n=1时，T =a = ；
1 1 2
m
当n=2时，T +a =a a +a = a +a =m，
2 2 1 2 2 2 2 2
2m
则a = ；
2 m+2
m 2m
当n=3时，T +a =a a a +a = · a +a =m，
3 3 1 2 3 3 2 m+2 3 3
m(m+2)
则a = .
3 m2+m+2
{ 1 } 2 1 1
若数列 为等差数列，则 = + ，
T T T T
n 2 1 3
2(m+2) 2 m2+m+2
所以 = + ，
m2 m m3
整理得m2-3m+2=0，
解得m=1或m=2.
T
n
检验：当m=1时，T +a =1，则n≥2时，T + =1，
n n n T
n-1
1 1 1 1
则1+ = ，即 - =1，
T T T T
n-1 n n n-1
{ 1 }
故数列 是以2为首项，1为公差的等差数列；
T
n
T
n
当m=2时，T +a =2，则n≥2时，T + =2，
n n n T
n-1
1 2
则1+ = ，
T T
n-1 n
1 ( 1 )
设x+ =2
+x
，得x=-1，
T T
n-1 n1 ( 1 )
即 -1=2
-1
，
T T
n-1 n
1 { 1 } 1 { 1 }
又 =1，故数列
-1
为首项为0的常数列，即 =1， 为等差数列.
T T T T
1 n n n
综上m=1或2.
5.(2024·安庆模拟)随着生活水平的不断提高，人们对身体健康越来越重视，特别认识到了“肥胖是祸不是
福”的问题.某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法
得到40组样本数据(x，y)(i=1，2，3，…，40，20≤x≤60)，其中x表示年龄，y表示脂肪含量，并计算
i i i i i
^
得到x=48，y=27，作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其经验回归方程为
y
^
=0.591x+a.
^
(1)请求出
a
的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量；
(2)小赵将自己实际的脂肪含量与(1)中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量有些超标，于是他
打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，并通过
售货员得到这两款健身器材的使用年限(整年)，如表所示：
甲款使用年限统计表
使用年限 5年 6年 7年 8年 合计
台数 10 40 30 20 100
乙款使用年限统计表
使用年限 5年 6年 7年 8年 合计
台数 30 40 20 10 100
如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用
更长久？
解 (1)因为经验回归方程经过点(x，y)，
^ ^
所以将x=48，y=27代入y=0.591x+a，
^
得到a=27-0.591×48=-1.368.
^
于是y=0.591x-1.368，
^
当x=35时，y=0.591×35-1.368=19.317.
^
所以a的值为-1.368，35岁的小赵的脂肪含量约为19.317.
(2)以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为X(单位：年)，则X的分布列为
X 5 6 7 8P 0.1 0.4 0.3 0.2
于是E(X)=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6；
设乙款健身器材使用年限为Y(单位：年)，则Y的分布列为
Y 5 6 7 8
P 0.3 0.4 0.2 0.1
于是E(Y)=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.
因为E(X)>E(Y)，所以小赵应购买甲款健身器材.
