文档内容
第二节 导数在研究函数中的应用
第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值
知识点一 利用导数研究函数的单调性
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若 f ′ ( x )>0 ，则f(x)在这个区间上单调递增．
(2)若 f ′ ( x )<0 ，则f(x)在这个区间上单调递减．
(3)若 f ′ ( x ) ＝ 0 ，则f(x)在这个区间上是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求 f ′ ( x ) ．
(2)在定义域内解不等式 f ′ ( x )>0 或 f ′ ( x )<0 .
(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．
[提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定
义域优先”原则．
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；
若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．
[重温经典]
1.(多选·教材改编题)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图
象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(2,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极大值
答案：BCD
2．(教材改编题)函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1)和(0,1) B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
答案：A
3．(易错题)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选C y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
4．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D 因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所
以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，
所以k≥1.故选D.
5．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
6．设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，
f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知f(x)＝－x3＋x2在(1,4)上为“凸
函数”，则实数t的取值范围是________．
解析：由f(x)＝－x3＋x2可得f′(x)＝x3－tx2＋3x，f″(x)＝3x2－2tx＋3，∵f(x)在(1,4)上为
“凸函数”，∴x∈(1,4)时，3x2－2tx＋3<0恒成立，∴t>恒成立．
令g(x)＝，∵g(x)在(1,4)上单调递增，
∴t≥g(4)＝.
∴实数t的取值范围是.
答案：
知识点二 利用导数研究函数的极值
1．函数的极大值
在包含x 的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于 x 点的函数值，称点
0 0
x 为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x)为函数的极大值．
0 0
2．函数的极小值
在包含x 的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于 x 点的函数值，称点
0 0
x 为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，
0 0
极大值点与极小值点统称为极值点．
[提醒] (1)极值点不是点，若函数f(x)在x 处取得极大值，则x 为极大值点，极大值为f(x)；
1 1 1
在x 处取得极小值，则x 为极小值点，极小值为f(x)．极大值与极小值之间无确定的大小关
2 2 2
系．
(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．
(3)f′(x)＝0是x 为f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不
0 0
是极值点．
[重温经典]
1．(多选)(2021·福州模拟)下列函数中，存在极值点的是( )
A．y＝x－ B．y＝2|x|
C．y＝－2x3－x D．y＝xln x解析：选BD 由题意函数y＝x－，则y′＝1＋＞0，所以函数y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)内
单调递增，没有极值点；函数y＝2|x|＝根据指数函数的图象与性质可得，当x＜0时，函数y＝
2|x|单调递减，当x＞0时，函数y＝2|x|单调递增，所以函数y＝2|x|在x＝0处取得极小值；函数y
＝－2x3－x，则y′＝－6x2－1＜0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点；函
数y＝xln x，则y′＝ln x＋1，当x∈时，y′＜0，函数单调递减，当x∈时，y′＞0，函数单调
递增，当x＝时，函数取得极小值，故选B、D.
2．(教材改编题)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值
点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点．
3．(教材改编题)若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解
得a＝5.
4．(多选)材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分
析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则
运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f(x)＝xx(x＞0)，我们可
以作变形：f(x)＝xx＝eln xx＝exln x＝et(t＝xln x)，所以f(x)可看作是由函数f(t)＝et和g(x)＝xln
1
x复合而成的，即f(x)＝xx(x＞0)为初等函数．根据以上材料，对于初等函数h(x)＝x (x＞0)的
x
说法正确的是( )
A．无极小值 B．有极小值1
1
C．无极大值 D．有极大值e
e
1 1 1
解析：选AD 根据材料知：h(x)＝x ＝eln x ＝e ln x，
x x x
1 1 1
所以h′(x)＝e ln x·′＝e ln x·＝e ln x(1－ln x)，
x x x
令h′(x)＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h′(x)＞0，此时函数h(x)单调递增；
当x＞e时，h′(x)＜0，此时函数h(x)单调递减．
1
所以h(x)有极大值且为h(e)＝e ，无极小值．
e
5．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为
________．
解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex
可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex，
因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，
即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.
所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.
令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.
当x<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－20)，
又f(1)＝>0，f(0)＝0，f(4)＝>0，
所以f(x)的最小值为0.
答案：0
6．已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当cos x＝时，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x) ＝2××＝－.
min
答案：－
