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第二节 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
核心素养立意下的命题导向
1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用，凸显逻辑推
理的核心素养．
2．以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸显逻辑推理、
数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件 p⇒q A⊆B
p是q的必要条件 q⇒p A⊇B
p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p AB
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p AB
p是q的既不充分
p q且q p A B且A⊉B
也不必要条件
[提醒] 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有
“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
2．全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃
3.全称命题和特称命题
名称
全称命题 特称命题
形式
结构 对M中的任意一个 x，有p(x)成立 存在 M中的一个x，使p(x)成立
0 0
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x)
0 0
否定 ∃ x ∈ M ， 綈 p ( x) ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x )
0 0
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(充分、必要条件的判断)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B
2．(全称命题的否定)命题“所有可以被 5 整除的整数，末位数字都是 0”的否定为
__________________________________．
答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”
3．(特称命题的否定)命题“∃x∈R，x－x－1>0”的否定为________________．
0 0
答案：∀x∈R，x2－x－1≤0
4．(全(特)称命题的真假判断)下列命题中的真命题是______(填序号)．
①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；
0 0 0 0
③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.
解析：当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x≤0时，
x3≤0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．
答案：①②④
二、易错点练清
1．(混淆否命题与命题的否定)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是
______________________．
答案：存在一个奇数，它的立方不是奇数
2．(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是
s的必要条件，那么p是q的__________条件．
答案：充分不必要
考点一 充分条件与必要条件的判断
[典例] (1)(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2020·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两
两相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条
件，故选A.
(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能
推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，
m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，
所以m，n，l在同一平面内．故选B.[答案] (1)A (2)B
[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法
利用定 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论
义判断 是什么
从集合的 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即
角度判断 可解决充分必要性的问题
[针对训练]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B．“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件
C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B
D．“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
解析：选BC c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错误；＞与a＜b相互不能推导，如a＝2，
b＝－1时，满足＞但不满足a＜b，反之若a＝－1，b＝2，满足a＜b但不满足＞，∴“＞”是
“a＜b”的既不充分也不必要条件，B正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C
正确；由a＞b＞0能得出an＞bn，当a＝－4，b＝－2时，a2＞b2，但a＜b，D错误．
2．设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直
线平行；
若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3
或λ＝1，经检验，两者均符合．
综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条
件，故选A.考点二 根据充分、必要条件求参数范围
[典例] (1)已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(
)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
(2)已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为
________．
[解析] (1)由＜1得，－1＝＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2，由p是q的充分不
必要条件知，k＞2，故选B.
(2)p对应的集合A＝{x|x<m或x>m＋3}，q对应的集合B＝{x|－4<x<1}．由p是q的必要不充
分条件可知BA，所以m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.
[答案] (1)B (2)(－∞，－7]∪[1，＋∞)
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数范围的思路方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据
集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关
系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏
解或增解的现象．
[针对训练]
1．若“x>2”是“x>a” 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|a>2} D．{a|a≥2}
解析：选C “由x>2”是“x>a”的必要不充分条件，知{x|x>a}是{x|
x>2}的真子集，将这两个集合表示在数轴上(如图)，由数轴知a>2，故
选C.
2．设命题p：<0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的
取值范围是________．
解析：解<0，得<x<1，所以p：<x<1；
由q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，
即q：a≤x≤a＋1.
要使p是q的充分不必要条件，
则[a，a＋1]，故解得0≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
答案：
考点三 全称量词与存在量词考法(一) 全(特)称命题的否定
[例1] (1)(2021·石家庄模拟)命题“∀x>0，>0”的否定是( )
A．∃x<0，≤0 B．∃x>0,0≤x≤1
0 0 0
C．∀x>0，≤0 D．∀x<0,0≤x≤1
(2)(2021·山东师范大学附中模拟)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则 綈p为
( )
A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
[解析] (1)因为>0，所以x<0或x>1，
所以>0的否定是0≤x≤1，
所以命题的否定是“∃x>0,0≤x≤1”，故选B.
0 0
(2)由特称命题的否定可得綈p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
全(特)称命题进行否定的方法
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再
写出命题的否定．
考法(二) 全(特)称命题的真假判断
[例2] (多选)下列命题说法错误的是( )
A．∃x∈R，ex≤0
0 0
B．∀x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
[解析] 根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b
＝0时，没有意义，故C错误；因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为
“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D正确．故选A、B、
C.
[答案] ABC
[方法技巧] 判断全称命题、特称命题真假的思路考法(三) 根据全(特)称命题的真假求参数
[例3] (2021·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围
是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
[解析] 当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.
[答案] C
[方法技巧]
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解
决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式
(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
[针对训练]
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是( )
A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2
C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2
D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2
解析：选C 根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否
定形式是“∃x∈R，∀n∈N *，使得n≤x2”．故选C.
2．下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝0
0 0 0 0
C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0
解析：选D ∃x＝1，lg x＝0；∃x＝0，tan x＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假
0 0 0 0
命题．故选D.
3．已知命题p：∃x∈R，log (3x＋1)≤0，则( )
0 2 0
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log (3x＋1)≤0
2
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log (3x＋1)>0
2
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log (3x＋1)≤0
2D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log (3x＋1)>0
2
解析：选B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则log (3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log (3x＋1)>0.
2 2
故选B.
4．已知命题“∃x∈R,4x＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
0 0
解析：因为命题“∃x∈R,4x＋(a－2)x ＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－
0 0
2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0<a<4.
答案：(0,4)
创新思维角度——融会贯通学妙法
避免充分必要条件在解题应用中的失误
学习充分条件和必要条件的重要意义，在于自觉地把它们应用到解题中，其实有许多题目，
本身虽然没有出现充分条件和必要条件的字样，但在思考中，会运用充要条件的概念．如果
理解不到位，在做题时就会经常出错．
一、解题变形时错将必要不充分条件代替充要条件
[例1] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，求f(x)的解析式．
[错解展示] f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
依题意得即
解得或
当a＝4，b＝－11时，f(x)＝x3＋4x2－11x＋16.
当a＝－3，b＝3时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋9.
[易错矫正] 本题错误的根源在于：f′(x)＝0是连续可导函数f(x)在x＝x 处取得极值的必
0 0
要而非充分条件，只有在x＝x 的左右两侧导数符号相反时，函数f(x)才在x＝x 处取得极值．
0 0
在错解中得到a，b的值后，再进一步对驻点情况加以判定．
当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝0的驻点是x＝－和x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
由表格可知，f′(x)在x＝1两侧符号相反，故f(x)在x＝1处取得极小值10，符合题意．
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，经检验，不合题意，应舍去．
综上，所求解析式是f(x)＝x3＋4x2－11x＋16.
二、解题变形时错将充分不必要条件代替充要条件
[例2] 设等比数列{a }的前n项和为S .若S＋S＝2S，求数列的公比q.
n n 3 6 9
[错解展示] 因为S＋S＝2S，所以＋＝2·，整理得q3(2q6－q3－1)＝0.
3 6 9由q≠0得方程2q6－q3－1＝0，所以(2q3＋1)(q3－1)＝0，
解得q＝－或q＝1.
[易错矫正] 在错解中，由＋＝2·，整理得q3(2q6－q3－1)＝0时，应有a≠0和q≠1.
1
在等比数列中，a≠0是显然的，但公比q完全可能为1，因为q≠1是数列{a }为等比数列的
1 n
充分不必要条件，因此，在解题时应先讨论公比q＝1的情况，再考虑q≠1的情况．
若q＝1，则有S＝3a，S＝6a，S＝9a 但a≠0，
3 1 6 1 9 1 1
即得S＋S≠2S，与题设矛盾，故q≠1.
3 6 9
又依题意S＋S＝2S⇒＋＝2·⇒q3(2q6－q3－1)＝0，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，
3 6 9
因为q≠1，所以q3－1≠0，所以2q3＋1＝0，解得q＝－.
[名师微点]
解题变形时先求出其必要条件，然后再检验其充分性并将扩大的部分舍去；或先求出一个充
分条件，再对可能出现的遗漏进行补充．
三、解题变形时错将既不充分也不必要条件当成充要条件
[例3] 若函数f(x)＝(a为常数)在定义域上为奇函数，则a的值为________．
[错解展示] 因为f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0.即＝0，所以a＝1.
[易错矫正] f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件，而本题错作为充要条件
来用．
因为f(x)是奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0.
即＋＝0，所以＝0对定义域中的任意x都成立，得a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝，此时函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；
当a＝－1时，f(x)＝－，此时函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，都关于原点对称．故a
＝±1.
[答案] ±1
1．(2021·青岛模拟)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16>8x，则命题p的否定为( )
A．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16≤8x
B．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16<8x
C．綈p：∃x∈(1，＋∞)，x＋16≤8x
0 0
D．綈p：∃x∈(1，＋∞)，x＋16<8x
0 0
解析：选C 全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定綈p：∃x∈(1，＋∞)，x＋16≤8x.
0 0
故选C.
2．(2021·山东济宁期末)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2
0 0 0 0解析：选B ∀x∈R,2x－1>0，根据y＝2x－1的图象知A正确；∀x∈N*，(x－1)2>0，取x＝1，计
算知(x－1)2＝0，故B错误；∃x∈R，lg x<1，取x＝1，计算lg x＝0<1，故C正确；∃x∈R，
0 0 0 0 0
tan x＝2，y＝tan x的值域为R，故D正确．故选B.
0
3．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由2－x≥0，得x≤2；由(x－1)2≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：
“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
4．(2021·福州质检)已知函数f(x)＝3x－3－x，∀a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 易知函数f(x)＝3x－3－x为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可得
“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件．
5．(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称命题且为真命题的有( )
A．∃x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析：选AC 命题的否定是全称命题，则原命题为特称命题，故排除B选项．命题的否定为
真命题，则原命题为假命题，又选项A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故
选A、C.
6．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
A．－1<x≤1 B．x≤1
C．x>－1 D．－1<x<1
解析：选D ∵集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，x∈A且x∉B，∴－1<x<1；又当 －
1<x<1时，满足x∈A且x∉B，∴“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“－1<x<1”．
7．已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不
必要条件．故选A.
8．(2021·重庆调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是
“f(x)为奇函数”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′＝－f′(x)，∴f′
(－x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足
条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故
选B.
9．(多选)下列命题正确的是( )
A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B．命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
0 0 0
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解析：选ABD 若<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；
根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，
0 0 0
＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；
当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此
“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条
件，故D正确．故选A、B、D.
10．若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )
A．[－3,3] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]
解析：选D ∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－
3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.
11．(多选)设a是实数，则a<5成立的一个必要不充分条件是( )
A．a<6 B．a<4
C．a2<25 D．3a＋4≤20
解析：选AD 对于A：∵a<5⇒a<6，但a<6 a<5，
∴a<6是a<5成立的一个必要不充分条件，故A正确．
对于B：∵a<5 a<4，但a<4⇒a<5，
∴a<4是a<5成立的一个充分不必要条件，故B错误．
对于C：∵a2<25⇔－5<a<5，
∴a2<25⇒a<5，但a<5 a2<25，
∴a2<25是a<5的一个充分不必要条件，故C错误．
对于D：∵3a＋4≤20，∴a≤，
∴a<5⇒a≤，但a≤ a<5，∴3a＋4≤20是a<5的一个必要不充分条件，故D正确．故选A、D.
12．(多选)下列有关命题的说法正确的是( )
A．∃x∈(0，π)，使得＋sin x＝2成立
0 0
B．命题p：任意x∈R，都有cos x≤1，则綈p：存在x∈R，使得cos x>1
0 0
C．命题“∀x∈(0，π)，sin x>cos x”为真命题
D．若数列{a }是等比数列，m，n，p∈N*，则“a ·a ＝a”是“m＋n＝2p”的必要不充分条件
n m n
解析：选BD 对于A选项，由＋sin x＝2，得sin2x－2sin x＋2＝0，其判别式Δ＝4－8＝－
4<0，此方程无解，故A选项错误．对于B选项，全称命题的否定是特称命题，前提中“任
意”改为“存在”，结论为补集形式，故B选项正确．对于C选项，当x∈时，sin x≤cos x，故
C选项错误．对于D选项，在等比数列{a }中，a ＝1，则a·a＝a，但1＋2≠2×3；另一方面，
n n 1 2
根据等比数列的性质，若m＋n＝2p，则a ·a ＝a.所以“a ·a ＝a”是“m＋n＝2p”的必要
m n m n
不充分条件．故选B、D.
13．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为________________________．
解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
答案：∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1
0 0
14．若“∀x∈，m≥2tan x”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：当x∈时，2tan x的最大值为2tan ＝2，∴m≥2，实数m的最小值为2.
答案：2
