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第五节 二项分布与正态分布
核心素养立意下的命题导向
1.结合古典概型，考查条件概率、独立事件的概率的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．结合n次独立重复试验的概念，考查随机变量的二项分布，凸显数学抽象的核心素养．
3．结合频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点、3σ原则的应用，凸显直观想象的核心素
养．
[理清主干知识]
1．条件概率
(1)条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在 事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的条件
概率．
(2)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.
②如果B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝ P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) ．
2．相互独立事件的概率
(1)相互独立事件的定义及性质
①定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝ P ( A )· P ( B ) ，则称事件A与事件B相互独立．
②性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
(2)独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用A(i＝1,2，…，n)表示第i次试
i
验结果，则P(A A A …A )＝ P ( A ) P ( A ) … P ( A ) ．
1 2 3 n 1 2 n
(3)二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则
P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) ，
并称p为成功概率．
3．正态分布
(1)正态曲线的定义
(x－μ)2
函数φ (x)＝e ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φ (x)的图象为正
μ，σ 22 μ，σ
态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φ (x)dx，则称随机变量X服
μ，σ
从正态分布，记作N(μ，σ2)．
(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称．
③曲线在 x ＝ μ 处达到峰值.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着 x 轴 平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越
大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(4)正态分布中的3σ原则
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6.
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4.
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(条件概率)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的
比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝
0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选C P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.
2．(正态分布)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(
)
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析：选C ∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
3．(二项分布)设随机变量X～B，则P(X＝3)等于________．
解析：∵X～B，∴P(X＝3)＝C3×3＝.
答案：
4．(相互独立事件)甲、乙、丙三人将参加某项测试．他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三
人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．
解析：每个人是否达标是相互独立的，
“三人中至少有一人达标”的对立事件为“三人均未达标”，
设三人都达标为事件A，三人中至少有一人达标为事件B，
则P(A)＝0.8×0.6×0.5＝0.24，
P(B)＝1－0.2×0.4×0.5＝0.96.
答案：0.24 0.96
二、易错点练清1．(条件概率公式使用错误)由0,1组成的三位数编号中，若事件A表示“第二位数字为0”，
事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)＝________.
解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝，第一位数字为0且第
二位数字也为0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝.
答案：
2．(恰有一个发生理解错误)计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记
“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、
乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有
考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合
格证书”的概率为________．
解析：甲获得“合格证书”的概率为×＝，乙获得“合格证书”的概率是×＝，两人中恰有
一个人获得“合格证书”的概率是×＋×＝.
答案：
考点一 事件的相互独立性及条件概率
考法(一) 条件概率
[例1] (1)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次
抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)2020年疫情的到来给人们生活学习等各方面带来种种困难．为了顺利迎接高考，某省制定
了周密的毕业年级复学计划．为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛
查．学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测．已知随机
抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，假设该疾病患病率
为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率为(
)
A．0.99% B．99%
C．49.5% D．36.5%
[解析] (1)法一：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则P(B|A)＝＝
＝.故选C.
法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题
的条件下，第2次抽到理科题的概率为.故选C.
(2)设A为“某人检验呈阳性”，B为“此人患病”，则“某人检验呈阳性时他确实患病”为B|
A，由题意知P(B|A)＝＝＝49.5%，故选C.
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧] 条件概率的3种求法定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含
事件法 的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概
缩样法
型求解，它能化繁为简
考法(二) 事件的相互独立性
[例2] (2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每
球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设
甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局
双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
[解] (1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均
由甲得分，或者均由乙得分．
因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球
的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
[方法技巧]
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
[针对训练]
1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到
的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.
2．(2021年1月新高考八省联考卷)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件
1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．解：(1)设部件1,2,3需要调整分别为事件A，B，C，
由题知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，各部件的状态相互独立，
所以部件1,2都不需要调整的概率P(·)＝P()·P()＝0.9×0.8＝0.72，
故部件1,2中至少有1个需要调整的概率为1－P(·)＝0.28.
(2)X可取0,1,2,3，
P(X＝0)＝P(··)＝P()·P()·P()＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P(X＝1)＝P(A··)＋P(·B·)＋P(··C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝3)＝P(A·B·C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0.092，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0.6.
考点二 独立重复试验与二项分布
[典例] (2021·合肥模拟)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景
观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好
地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分
为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学
生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游
学校数 40 40 20
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计
的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，
且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有
学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
[解] (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，
∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学
校选择的概率为
P＝C2＋C2＝.
(2)X可能取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C2＝，
P(X＝2)＝C2＝，P(X＝3)＝C3＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[方法技巧]
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公
式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这
时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋
b).
[针对训练]
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50
个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期
望．
解：(1)设A 表示事件“日销售量不低于100个”，A 表示事件“日销售量低于50个”，B表示
1 2
事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于
50个”，因此
P(A )＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
1
P(A )＝0.003×50＝0.15，
2
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X～B(3,0.6)，X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
故X的分布列为X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
E(X)＝3×0.6＝1.8.
考点三 正态分布
[典例] 为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民
乘车候车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准
点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响，在公交车准点率正常、交通拥堵情况正
常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正
常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图
频率分布直方图．
(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，σ2的值；
(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次
试验中，小概率事件是不可能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该
站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车
准点率是否正常，并说明理由．
参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.841 357≈0.298 4,0.841 356≈ 0.354 7,0.158 653≈0.004
0，0.158 654≈0.000 6，
P(μ－σ14.38)＝＝0.158 65，
所以P(A)＝C(0.158 65)3(0.841 35)7≈0.143>0.003，
即准点率正常．
[方法技巧]
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，
确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直
线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用：
①对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
②P(X＜x)＝1－P(X≥x)；
0 0
③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
[针对训练]
(2021·潍坊模拟)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线
上随机抽取10 000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正
常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ，σ2)．如果加工的零件内径小于μ－3σ或大
于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．
(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数；
(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品
亏损．已知每件产品的利润L(单位：元)与零件的内径X有如下关系：
L＝
求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有P(μ－σμ＋3σ)＝0.001 35，
故随机抽取10 000个零件的平均利润为：
10 000L＝10 000(－5×0.001 35＋4×0.157 3＋6×0.840 0－5×0.001 35)＝56 557元．
一、创新命题视角——学通学活巧迁移
二项分布与超几何分布的辨别方法
[典例] 写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几
何分布的是哪些？
(1)X 表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．
1
(2)X 表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．
2
(3)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，
抽出的次品件数为X .
3(4)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为
X (N－M>n>0)．
4
[解] (1)X 的分布列为
1
X 0 1 2 … n
1
P C0·n C1·n－1 C2·n－2 … Cn
X 服从二项分布，即X ～B.
1 1
(2)X 的分布列为
2
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
P
(3)X 的分布列为
3
X 0 1 2 … n
3
P C·
n C·
n－1 C2·
n－2 … C·
n
X 服从二项分布，即X ～B.
3 3
(4)X 的分布列为
4
X 0 1 … k … n
4
P … …
X 服从超几何分布．
4
[名师微点] 二项分布与超几何分布的辨别方法
二项分布 超几何分布
在n次独立重复试验中，设事
件A发生的次数为X，在每次 在含有M件次品的N件产品中，任取
特点
试验中事件A发生的概率为 n件，其中恰有X件次品
pP(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m(m＝
概率 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝
min{n，M}，且n≤N，M≤N，n，M，
公式 0,1,2，…，n
N∈N*)
期望、方差
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) E(X)＝，D(X)＝
公式
当N→＋∞时，超几何分布近似为二项分布
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回
到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组
织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性
个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外
浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )
A．0.05 B．0.007 5
C. D．
解析：选C 设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性
个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，∴P(B|A)＝＝＝.故选C.
2．(多选)(2021·泰安模拟)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与
推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交
稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻
种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)
＝e
（x-100）2
，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是( )
200
A．该地水稻的平均株高为100 cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大
解析：选AC f(x)＝e
（x-100）2
，故μ＝100，σ2＝100，故A正确，B错误；P(x＞120)＝P(x＜80)
200
＞P(x＜70)，故C正确；根据正态分布的对称性知：P(100＜x＜110)＝P(90＜x＜100)＞P(80＜
x＜90)，故D错误．故选A、C.[课时跟踪检测]
1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否
被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
解析：选D 因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均
未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝1－0.12＝
0.88.
2．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该
电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于的概率为P＝1－＝，则用
该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于的概率为3＝.故选C.
3．(多选)(2021·济南模拟)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 X服从正态分布
N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是( )
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)
＝0.954 5，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.997 3.
A．该市学生数学成绩的期望为100
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.8
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
解析：选AC 数学成绩X服从正态分布N(100,100)，则数学成绩的期望为100，数学成绩的
标准差为10，故A正确，B错误；及格率为p＝1－＝ 0.841 35，C正确；不及格概率为p＝
1 2
0.158 65，优秀概率p＝＝0.022 75，D错误．故选A、C.
3
4．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该
群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
解析：选B 由题知X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X
＝4)＜P(X＝6)，即Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4⇒(1－p)2＜p2⇒p＞0.5，
∴p＝0.6，故选B.
5．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，
两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现
红灯的概率为( )
A. B．C. D．
解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事
件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现
红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C.
6．一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，加工
零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 假设总时间为1，则在1时间内，加工零件A停机的概率是×＝，加工零件B停
机的概率是×＝，所以这台机床停机的概率是＋＝.
7．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；
若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A. B．3×
C.× D．C×3×
解析：选B 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球
是白球的情况，此事件发生的概率为3×.
8．(2021·南昌月考)已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现
随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的
概率是________．
解析：设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.
由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
所以两次都取到红球的概率为.
答案：
9．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影
响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
________．
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝；甲、乙两球都不落入盒子的概率为×
＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
答案：
10．(2021年1月新高考八省联考卷)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为
该物理量的最后结果．已知最后结果的误差ε ～N，为使误差ε 在(－0.5,0.5)的概率不小于
n n
0.954 5，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5)．
解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差ε 在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，则(μ－2σ，μ
n
＋2σ)⊂(－0.5，0.5)且μ＝0，σ＝ ，∴0.5≥2 ⇒n≥32.
答案：3211．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．
已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了
此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差D(X)＝2.1，P(X＝3)，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．
14．从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测
结果得如图所示的频率分布直方图：
(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中
点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(175.6
