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第五节 三角恒等变换
核心素养立意下的命题导向
1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查
三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
(α－β)
C cos(α＋β)＝cos_ α cos _ β － sin _ α sin _β
(α＋β)
S sin(α－β)＝sin_ α cos _ β － cos _ α sin _β
(α－β)
S sin(α＋β)＝sin_ α cos _ β ＋ cos _ α sin _β
(α＋β)
tan(α－β)＝；
T
(α－β)
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
tan(α＋β)＝；
T
(α＋β)
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
[提醒] 在公式T 中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有
(α±β)
意义．
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin_ α cos _α；
S 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
2α
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α ；
C
2α
变形：cos2α＝，sin2α＝
T tan 2α＝
2α
3．辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ) .
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(正用二倍角公式)若sin α＝，则cos 2α＝( )A. B．
C．－ D．－
答案：B
2．(正用两角差的正切公式)已知tan α＝2，则tan＝________.
答案：
3．(逆用两角差的正弦公式)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．
答案：
4．(辅助角公式)cos 15°－4sin215°cos 15°＝________.
解析：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°
＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.
答案：
二、易错点练清
1．(忽视角的范围)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A. B．
C. D．或
解析：选B 因为α，β为锐角，且sin α＝<，cos β＝>，则cos α＝，且α∈，sin β＝且β∈，
所以sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝×＋×＝.
又α＋β∈，所以α＋β＝.
2．(不会逆用公式致错)化简：＝________.
解析：原式＝＝＝＝.
答案：
考点一 三角函数式的化简求值
[典例] 化简：＝________.
[解析] 法一：原式
＝
＝
＝
＝1.
法二：原式＝
＝
＝
＝
＝1.
[答案] 1[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
[提醒] 化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
[针对训练]
已知α∈(0，π)，化简：
.
解：原式＝.
因为α∈(0，π)，所以cos >0，
所以原式＝＝·＝cos2－sin2
＝cos α.
考点二 三角函数的求值
考法(一) 给值(角)求值
[例1] (1)＝( )
A．－ B．－
C. D．
(2)若α，β均为锐角且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] (1)
＝
＝
＝sin 30°＝.
(2)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
∴sin＝－cos 2β＝1－2cos2β＝.故选B.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
考法(二) 给值求角
[例2] 已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝( )
A. B．
C. D．
[解析] 因为sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，解得sin A＝.
因为A为钝角，
所以cos A＝－＝－ ＝－.
由sin B＝，且B为钝角，
可得cos B＝－＝－ ＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又A，B都为钝角，即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝.故选C.
[答案] C
[方法技巧]
给值求角问题的解题策略
(1)讨论所求角的范围．
(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围
是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．
(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．
[针对训练]
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( )
A. B．
C. D.
解析：选A ∵3cos 2α－8cos α＝5，
∴3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故选A.
2．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝( )A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选D 由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.
3．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A. B．或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选C 由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，故cos(α＋β)＝cos
αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝.
4.的值是________．
解析：原式＝＝＝＝2.
答案：2
考点三 三角恒等变换的综合问题
[典例] (2021·郑州五校联考)已知函数f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a的最大值为1.
(1)求实数a的值；
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和
最小值．
[解] (1)f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a＝sin＋sin 2x＋a＝ cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a，
易知2＋a＝1，则a＝－1.
(2)∵将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝f＝2sin－1
＝2sin－1，
∵x∈，∴2x＋π∈.
∴当2x＋π＝π，即sin＝时，g(x)取最大值－1；
当2x＋π＝π，即sin＝－1时，g(x)取最小值－3.
[方法技巧]
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋t 或 y＝
Acos(ωx＋φ)＋t的形式；
(2)利用公式T＝(ω>0)求周期；
(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另
外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t
的单调区间．
[针对训练]
设函数f(x)＝coscos x－sin2(π－x)－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若f(α)＝－1，且α∈，求f的值．
解：(1)∵f(x)＝sin xcos x－sin2x－＝(sin 2x＋cos 2x)－1＝sin－1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)∵f(α)＝sin－1＝－1，
∴sin＝.
由α∈知2α＋∈，
∴cos＝－.
∴f＝sin－1
＝sin－1
＝－1
＝×－1＝－.
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
三角中的“拆角”“配角”技巧
三角函数的计算是高考一个重要的考点，对于一些角的计算问题除了掌握两角和与差的三
角函数公式及倍角公式之外，还要掌握一些必要的“拆角”“配角”的技巧，抓住题设与结
论中角的差异，利用公式，变不同的角为同角，实现角的转换，这样可以简化运算．“拆角”
“配角”是连接题设条件与待求结论的纽带，是三角函数求值的一种常用方法．下面就三角
函数求值中的“拆角”“配角”技巧作一些总结．
技巧(一) 利用特殊角进行“拆角”
[例1] 化简求值：.
[解] 原式＝
＝
＝＝－.
[名师微点]
利用特殊角，达到角的转换，从而巧妙化简求值．将80°拆成60°＋20°，看起来好像将问题复
杂化了，但由于60°是特殊角，事实上问题变得简单了．
技巧(二) 直接利用所求角与已知角的关系进行“拆角”“配角”
[例2] 已知α为锐角，且cos＝，求cos α的值．
[解] ∵0<α<，∴<α＋<，
∴sin＝，
∴cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝.[名师微点]
此类问题不宜对已知角的三角函数用和(差)角公式展开，一般是根据已知角和所求角的关系
进行“拆角”，将所求角用已知角表示，灵活处理已知、未知的关系．同时要注意角的范围，适
时地将角的范围尽可能地缩小．
技巧(三) 利用所求角与已知角的关系，借助于诱导公式变形“拆、配”
[例3] 已知cos＝，≤α<，求cos的值．
[解] ∵≤α<，∴≤α＋<，
∵cos＝>0，∴α＋是第四象限角，
∴sin＝－，
∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝＝－.
同理，cos α＝－，
∴cos＝cos＝coscos α－sinsin α＝×－×＝－.
[名师微点]
对于这类问题，主要是寻找已知和未知间的联系，这个联系就是解题的着手点，审题时要仔
细分析条件与结论的关系，善于运用整体思想解题．本题将α＋看成一个整体，则2α＋可转
化为＋α.那么，只需由条件求sin，sin α及cos α的值即可．而求 sin α时，再将α转化为－
即可．
总之，在利用两角和(差)的余弦、正弦和正切公式时，不能机械地从表面上去套公式，而要变
通地从本质上使用公式，分析已知条件和结论中角之间的相互关系，把所求的角拆分、配成
某两个角(已知的两个角或者可以从已知的角简单变形就能得到的两个角)的和或差，并且这
两个角的正、余弦函数值和正切函数值是已知的或可求的．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．定义：＝ad－bc，如＝1×4－2×3＝－2，则＝( )
A．0 B．
C．－ D．1
解析：选C 由题意得＝cos 45°cos 105°－sin 75°sin 135°＝ －cos 45°cos 75°－sin
75°sin 45°＝－cos(75°－45°)＝－cos 30°＝－.
2．(多选)(2021·湘中名校联考《) 九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，
书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭
赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝
10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧
与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，则下列四个结论
中正确的是( )
A．水深为12尺 B．芦苇长为15尺
C．tan＝ D．tan＝－解析：选ACD 设BC＝x，则AC＝x＋1，∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，即水深为12
尺，故芦苇长为13尺．
∴tan θ＝.由tan θ＝，
解得tan＝(负值已舍去)．
∵tan θ＝，∴tan＝＝－.
故正确的结论为A、C、D.
3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正
方形(如图)，若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角
为θ，则cos 2θ等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小
正方形的边长为1，所以5sin θ－5cos θ＝1，即sin θ－cos θ＝，两边平方得1－ sin 2θ＝，
即sin 2θ＝.因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以<θ<，所以<2θ<π，所以cos 2θ＝－＝－.
故选B.
4.如图，图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧
所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且三个圆半径相等，设第i段
弧所对的圆心角为α(i＝1,2,3)，则coscos－sinsin＝________.
i
解析：设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，
则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α＋α＋α＝4π，
1 2 3
所以coscos－sinsin＝cos＝cos＝－.
答案：－
一、基础练——练手感熟练度
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )
A．1 B．
C. D．－
解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°
－15°)＝sin 30°＝.
2．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.
∵α∈，∴cos α≠0，sin α>0，
∴2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝.故选B.3．(2021·苏州模拟)若cos＝－，则cos＋cos α＝( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝ cos＝－1.
4．tan 18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝( )
A. B．
C. D．
解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝＝，∴tan 18°＋tan 12°＝(1－tan 18°tan 12°)，∴原
式＝.
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C 由3cos 2α＝sin，可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈，可知cos α－sin
α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.
6．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．
解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
答案：－
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知sin＝cos，则tan α＝( )
A．1 B．－1
C. D．0
解析：选B ∵sin＝cos，
∴cos α－sin α＝cos α－sin α，
即sin α＝cos α，
∴tan α＝＝－1.
2．(多选)下列各式中，值为的是( )
A. B．tan 15°cos215°
C.cos2－sin2 D．
解析：选ACD ∵＝tan 45°＝，
tan 15°·cos215°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，
cos2－sin2＝cos ＝，
＝sin 30°＝，∴选A、C、D.
3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为( )
A．5 B．－1
C．6 D．解析：选A 由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，
所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，即＝5.故选A.
4．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B ∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝.故选B.
5．(2021·辽宁八校联考)已知cos＝3sin，则tan＝( )
A．4－2 B．2－4
C．4－4 D．4－4
解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin，即sin＝3sin，sinα＋·cos －cossin ＝3sincos ＋
3cossin ，整理可得tan＝－2tan ＝－2tan＝ －2×＝2－4.故选B.
6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件
宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的
话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰
之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角
为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星
由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些
信息，可得sin 234°＝( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选C 由图可知，∠ACB＝72°，
且cos 72°＝＝，
∴cos 144°＝2cos272°－1＝－.
则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－.
7．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选C 利用辅助角公式可得f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.当函
数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值时，θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)，则cos θ＝
cos＝－sin φ＝－(k∈Z)．故选C.
8．设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选B 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以
180°<75°＋2α<255°，角 75°＋2α为第三象限角，所以 cos(75°＋2α)＝－.所以 sin(15°＋
α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝×－×＋×＝.故选B.
9．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B．
C.或 D．或
解析：选A ∵α∈，∴2α∈，
∵sin 2α＝>0，∴2α∈，
∴α∈且cos 2α＝－.
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又∵α＋β∈，∴α＋β＝.
10．化简：－＝________.
解析：－＝
＝＝＝4.
答案：4
11．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.
解析：∵α∈，∴－α∈，
又cos＝，∴sin＝－.
∵sin＝－，∴sin＝.
又∵β∈，∴＋β∈，
∴cos＝，
∴cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×－×＝－.
答案：－
12．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝
________.
解析：依题意有
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
又
∴tan α<0且tan β<0，
∴－<α<0且－<β<0，
即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－.答案：－
13．已知A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，则cos＝________.
解析：因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，所以
