文档内容
第二节 二项式定理
核心素养立意下的命题导向
1.结合二项式定理的推导，考查对二项式定理及通项公式的理解，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数
学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．二项式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项：
第k＋1项为T ＝Can－kbk.
k＋1
(3)二项式系数：
二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0,1,2，…，n)．
2．二项式系数的性质
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(特定项的系数) 10的展开式中x2的系数等于( )
A．45 B．20
C．－30 D．－90
解析：选A ∵展开式的通项为T
r＋1
＝(－1)rCx
2
r x－(10－r)＝(－1)rCx-10+3
2
r，
令－10＋r＝2，得r＝8，
∴展开式中x2的系数为(－1)8C＝45.
2．(二项展开式中常数项)二项式8的展开式的常数项是________．
8-r 8-4r
解析：该二项展开式的通项为T ＝Cx r＝rCx .令＝0，解得r＝2，所以所求常数项为
r＋1 3 3
C×2＝7.答案：7
3．(二项式系数的性质) 在二项式n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含
x2项的系数是______．
解析：第5项的二项式系数是C，因为二项式n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所
以n＝8，所以8的展开式中含x2项的系数是Cx53＝－56.
答案：－56
4．(二项式系数和)若n的展开式的所有二项式系数的和为128，则n＝________.
解析：由题意，可知2n＝128，解得n＝7.
答案：7
二、易错点练清
1．(混淆项的系数和与二项式系数)在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展
开式中各项系数的和为________．
解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.
答案：－1
2．(错用二项展开式的通项公式)(1＋2x)5的展开式中，x3的系数为________．
解析：(1＋2x)5＝x(1＋2x)5＋(1＋2x)5，
∵x(1＋2x)5的展开式中含x3的项为xC(2x)2＝40x3，
(1＋2x)5的展开式中含x3的项为C(2x)4＝80x3，
∴x3的系数为40＋80＝120.
答案：120
3．(易混淆二项式最大的项和二项式系数最大的项)(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的
项的系数是________．(用数字作答)
解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C23(－1)3＝－160.
答案：－160
考点一 二项展开式中特定项及系数问题
考法(一) 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例1] (1)(2020·北京高考)在(－2)5的展开式中，x2的系数为( )
A．－5 B．5
C．－10 D．10
(2)若二项式n的展开式中含有常数项，则n的值可以是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
[解析] (1)由二项式定理得(－2)5的展开式的通项T ＝C()5－r(－2)r＝ C(－2)rx
r＋15-r
，令＝2，得r＝1，所以T＝C(－2)x2＝－10x2，所以x2的系数为－10，故选C.
2 2
3 3（4n-5r）
(2)二项式n的通项公式为T ＝C(x6)n－r·(－1)r·(x )r＝C·(－1)r·x ，由题意可知含有
r＋1 2 2
常数项，所以只需4n－5r＝0，对照选项当n＝10时，r＝8，故选C.
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧] 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项
等)的步骤
考法(二) 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)展开式中与特定项相关的量
[例2] (2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析] 因为(x＋y)5的通项公式为Cx5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，所以r＝1时，Cx4y＝5x3y3；r＝3时，
xCx2y3＝10x3y3，所以x3y3的系数为5＋10＝15.
[答案] C
[方法技巧]
求形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋
d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－
x)2.
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
考法(三) 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例3] (2021·三明质检)在(2x2＋x－1)5的展开式中，x3的系数为________．
[解析] (2x2＋x－1)5＝[2x2＋(x－1)]5，
故T ＝C(2x2)5－r(x－1)r，
r＋1
因为要求x3的系数，
所以r＝4或5，
当r＝4时，x3的系数为C·2·C·(－1)3＝－40，
当r＝5时，x3的系数为C·C·(－1)2＝10，所以x3的系数为－40＋10＝－30.
[答案] －30
[方法技巧]
求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤
[针对训练]
1．(1－2x)3(2＋x)4展开式中x2的系数为( )
A．0 B．24
C．192 D．408
解析：选B 由于(1－2x)3的通项公式为T ＝C(－2x)r，(2＋x)4的通项公式为T ＝C24－kxk.
r＋1 k＋1
若(1－2x)3中提供常数项1，(2＋x)4的展开式中提供二次项，此时r＝0，k＝2，则系数为CC22
＝24；
若(1－2x)3中提供一次项，(2＋x)4的展开式中提供一次项，此时r＝1，k＝1，则系数为－
2CC23＝－192；
若(1－2x)3中提供二次项，(2＋x)4的展开式中提供常数项，此时r＝2，k＝0, 则系数为4CC24
＝192，
故展开式中x2的系数为24－192＋192＝24.故选B.
2．(多选)(2021·邯郸备考)已知4的展开式中各项系数之和为A，第二项的二项式系数为B，则
( )
A．A＝256 B．A＋B＝260
C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x2项的系数为54
解析：选ABD 令x＝1，得4的展开式中各项系数之和为44＝256，所以A＝256，选项A正确；
4的展开式中第二项的二项式系数为C＝4，所以B＝4，A＋B＝260，选项B正确；4的展开式
的通项公式为T ＝C(3x2)4－rr＝34－rCx8－3r，
r＋1
令8－3r＝0，则r＝，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；令8－3r＝2，则r＝2，所以展
开式中含x2项的系数为34－2C＝54，选项D正确．
3.4的展开式中x2项的系数为8，则a＝________.
解析：4的展开式中第r＋1项为T ＝Cx4－rr＝Carx4－2r，故当r＝1时，T＝Cax2，因为x2项的
r＋1 2
系数为8，所以Ca＝8，解得a＝2.
答案：2
4．(2020·全国卷Ⅲ)6的展开式中常数项是________(用数字作答)．解析：6的展开式的通项T ＝C(x2)6－r·r＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项是
r＋1
C24＝240.
答案：240
考点二 二项式系数的性质及各项系数和
[典例] 二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)各项系数绝对值之和．
[解] 设(2x－3y)9＝ax9＋ax8y＋ax7y2＋…＋ay9.
0 1 2 9
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a＋a＋a＋…＋a，
0 1 2 9
令x＝1，y＝1，得a＋a＋a＋…＋a＝(2－3)9＝－1.
0 1 2 9
(3)由(2)知a＋a＋a＋…＋a＝－1，①
0 1 2 9
令x＝1，y＝－1，得a－a＋a－…－a＝59，②
0 1 2 9
①＋②得a＋a＋a＋a＋a＝，此即为所有奇数项系数之和．
0 2 4 6 8
(4)|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|＝a－a＋a－…－a，
0 1 2 9 0 1 2 9
令x＝1，y＝－1，得|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|＝a－a＋a－…－a＝59，此即为各项系数绝对
0 1 2 9 0 1 2 9
值之和．
[方法技巧]
1．赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1
即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若f(x)＝a＋ax＋ax2＋…＋a xn，则f(x)的展开式中：
0 1 2 n
(1)各项系数之和为f(1)．
(2)奇数项系数之和为a＋a＋a＋…＝.
0 2 4
(3)偶数项系数之和为a＋a＋a＋…＝.
1 3 5
[提醒] 注意区分二项式系数与二项展开式的各项系数．
[针对训练]
1．(多选)若(1－2x)5＝a＋ax＋ax2＋ax3＋ax4＋ax5，则下列结论中正确的是( )
0 1 2 3 4 5
A．a＝1
0
B．a＋a＋a＋a＋a＝2
1 2 3 4 5
C．a－a＋a－a＋a－a＝35
0 1 2 3 4 5D．a－|a|＋a－|a|＋a－|a|＝－1
0 1 2 3 4 5
解析：选ACD 因为(1－2x)5＝a＋ax＋ax2＋ax3＋ax4＋ax5，令x＝0，则a＝15＝1，故A
0 1 2 3 4 5 0
正确；
令x＝1，得－1＝a＋a＋a＋a＋a＋a，所以a＋a＋a＋a＋a＝－1－a＝－2，故B错误；
0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0
令x＝－1，得35＝a－a＋a－a＋a－a，故C正确；
0 1 2 3 4 5
因为二项式(1－2x)5的展开式的第r＋1项为T ＝C(－2)rxr，
r＋1
所以当r为奇数时，C(－2)r为负数，即a<0(其中i为奇数)，
i
所以a－|a|＋a－|a|＋a－|a|＝a＋a＋a＋a＋a＋a＝－1，故D正确．
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
2．在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展
开式中常数项的值为________．
解析：令x＝1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n
3 3
＋2n＝72，解得n＝3.所以二项展开式的通项T ＝C()3－rr＝3rCx - r，显然当r＝1时，T
r＋1 2 2 r＋1
是常数项，值为3C＝9.
答案：9
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
巧用二项式系数的性质解题
题型(一) 对称性问题
[例1] 已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数
为________．
[解析] 根据题设，第4项与第8项的二项式系数相等，则C＝C.由组合数的性质得n＝10，
则展开式中第4项与第8项的系数为C＝C＝120.
[答案] 120
[名师微点]
利用二项展开式的特点与组合数的性质可得二项式系数的对称性，但要注意到二项式系数、
项的系数是两个不同的概念，二项式系数与二项展开式中某一项的系数也不一定相同，因此
二项展开式的字母系数不一定具有这一性质．
题型(二) 增减性与最大值问题
[例2] 若(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，只有x5的系数最大，则n＝________.
[解析] 根据题意，二项展开式中只有x5的系数最大，而x5是展开式的第6项，因此第6项为
展开式的中间项，则展开式共有11项，故n＝10.
[答案] 10
[名师微点]
“若二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；若二项式的幂指数是奇数，则
中间两项的二项式系数最大”，这是二项展开式中二项式系数的重要性质．题型(三) 系数之和问题
[例3] 已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n＝
________.
[解析] 展开式中各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，则2n＝64，解得n＝6.
[答案] 6
[名师微点]
赋值法是求二项展开式系数问题时常用的方法，但取值要有利于问题的解决，可以取一个值
或几个值，也可以取几组值，解题时注意避免漏项等情况．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．已知(x＋2)9＝a ＋ax＋ax2＋…＋ax9，则(a ＋3a ＋5a ＋7a ＋9a)2－(2a ＋4a ＋6a ＋
0 1 2 9 1 3 5 7 9 2 4 6
8a)2的值为( )
8
A．39 B．310
C．311 D．312
解析：选D 对(x＋2)9＝a ＋ax＋ax2＋…＋ax9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a ＋2ax＋
0 1 2 9 1 2
3ax2＋…＋8ax7＋9ax8，
3 8 9
令x＝1，得a＋2a＋3a＋…＋8a＋9a＝310，
1 2 3 8 9
令x＝－1，得a－2a＋3a－…－8a＋9a＝32.
1 2 3 8 9
所以(a ＋3a ＋5a ＋7a ＋9a)2－(2a ＋4a ＋6a ＋8a)2＝(a ＋2a ＋3a ＋…＋8a ＋9a)(a －
1 3 5 7 9 2 4 6 8 1 2 3 8 9 1
2a＋3a－…－8a＋9a)＝312，故选D.
2 3 8 9
2．(2021·辽宁大连第二十四中学高三期中)已知正项等比数列{a }中，a＝3aa，a＝，用{x}表
n 3 1 2 4
示实数x的小数部分，如{1.5}＝0.5，{2.4}＝0.4，记b ＝{a }，则数列{b }的前15项的和S 为
n n n 15
________．
解析：设等比数列{a }的公比为q(q>0)，由a＝3aa 得aq2＝3aq，易知a≠0，q≠0，所以q＝
n 3 1 2 1 1
3a，由a＝得＝，解得q＝4或q＝－4(舍去)，所以a＝，则a ＝aqn－1＝.
1 4 1 n 1
由＝＝(3n＋C3n－1＋…＋3C＋C)＝3n－1＋C3n－2＋…＋C＋，
所以b ＝，则S ＝15×＝5.
n 15
答案：5
3．已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋ax4＋ax3＋ax2＋ax＋a ，则 a ＝________，a ＝
1 2 3 4 5 4 5
________.
解析：由题意知 a 为展开式含 x的项的系数，根据二项式定理得 a ＝C×12×C×22＋
4 4
C×13×C×2＝16，a 是常数项，所以a＝C×13×C×22＝4.
5 5
答案：16 4
一、基础练——练手感熟练度
3
1.6的展开式中x 的系数为( )
2A．－12 B．12
C．－192 D．192
3r
解析：选A 二项式6的展开式的通项公式为 T ＝C·(－2)r·x3- ，令3－＝，求得r＝1，可
r＋1 2
3
得展开式中x 的系数为－12，故选A.
2
2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为( )
A．50 B．55
C．45 D．60
解析：选B (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C＋C＋C＝55.故选B.
3．已知(x＋1)n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x4的系数为( )
A．20 B．15
C．10 D．5
解析：选D 由题意知(x＋1)n的展开式的各项系数和为32，即(1＋1)n＝2n＝32，解得n＝5，
则二项式(x＋1)5的展开式中x4的项为Cx4＝5x4，所以x4的系数为5，故选D.
4．在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为( )
A．－5 B．－15
C．－25 D．25
解析：选B 因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C(－x)3＋…，所以在(1－x)5·(2x＋1)的展开式中，含
x4项的系数为5－2C＝－15.故选B.
5．(2020·天津高考)在5的展开式中，x2的系数是________．
解析：二项式5的展开式的通项为T ＝C·x5－r·r＝C·2r·x5－3r.令5－3r＝2得r＝1.因此，在5的
r＋1
展开式中，x2的系数是C·21＝10.
答案：10
6．已知m∈Z，二项式(m＋x)4的展开式中x2的系数比x3的系数大16，则m＝________.
解析：由Cm2－Cm＝16，得3m2－2m－8＝0，解得m＝2或m＝－，因为m∈Z，所以m＝2.
答案：2
二、综合练——练思维敏锐度
1．二项式8的展开式中x2的系数是－7，则a＝( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：选B 由题意，二项式8的展开式中的通项公式T ＝C(－a)rx8－2r，
r＋1
令8－2r＝2，解得r＝3，
所以含x2项的系数为C(－a)3＝－7，解得a＝.
2．若6展开式的常数项为60，则a值为( )
A．4 B．±4C．2 D．±2
k
解析：选D 因为6展开式的通项为T ＝Ca6－kx6－k(－1)kx ＝
k＋1 2
3
Ca6－k(－1)kx6- k，令6－k＝0，则k＝4，所以常数项为Ca6－4(－1)4＝60，即7a2＝60，所以a＝
2
±2.故选D.
3．(2021年1月新高考八省联考卷)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(
)
A．60 B．80
C．84 D．120
解析：选D (1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C
＋…＋C＝C＝120.故选D.
4．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( )
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
解析：选C ∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，8的展开式的通项为
3
T ＝(－1)kCx8- k (k＝0,1,2，…，8)，
k＋1 2
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶
数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6
项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.
5．若二项式7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为( )
A．560 B．－560
C．280 D．－280
解析：选A 取x＝1，得二项式7的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即 (1＋a)7＝－
1，解得a＝－2.二项式7的展开式的通项为T ＝C·(x2)7－r·r＝ C·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝
r＋1
2，得r＝4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为 C·(－2)4＝560，故选A.
6．(2021·海口调研)(＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为( )
A．1 B．20
C．21 D．31
5－k
解析：选C 因为(＋x)5展开式的通项为T ＝C()5－kxk＝C2 xk，因此，要使系数为有理数，
k＋1 3
只需为正整数，又因为0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，
因此系数为有理数的项为C()3x2，x5，
故所求系数之和为20＋1＝21.
7．(2021·辽宁八市重点高中联考)已知(2m＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和
为64，则m＝( )A. B.
C．4 D．7
解析：选B 设(2m＋x)(1＋x)4＝a＋ax＋ax2＋ax3＋ax4＋ax5，
0 1 2 3 4 5
令x＝1，得(2m＋1)×24＝a＋a＋a＋a＋a＋a.①
0 1 2 3 4 5
令x＝－1，得0＝a－a＋a－a＋a－a.②
0 1 2 3 4 5
①－②，得16(2m＋1)＝2(a＋a＋a)＝2×64，解得m＝，故选B.
1 3 5
8．设(2－x)5＝a＋ax＋ax2＋…＋ax5，则的值为( )
0 1 2 5
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C 由二项式定理，得a＝－C·24＝－80，a＝C·23＝80，a＝－C·22＝－40，a＝C·2
1 2 3 4
＝10，所以＝－，故选C.
9．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选B 5的展开式的通项
T ＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，
r＋1
令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，
展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝
10，故选B.
10．(多选)若n的展开式中最中间的一项是－x，则( )
A．a＝
B．展开式中所有项的二项式系数之和为64
C．展开式中的所有项的系数和为
D．展开式中的常数项为
解析：选BCD 因为n的展开式中存在最中间的一项，所以n必然为偶数，且最中间的一项
n
为 ＝ ＝－x，所以 ·(－)2 ＝－，＝，解得n＝6，a＝，故
A错误；展开式中所有项的二项式系数之和为2n＝26＝64，故B正确；n＝6，令x＝1，得展开式
3r
中所有项的系数和为6＝，故C正确；因为二项展开式的通项公式为T ＝Cx6－rr＝Crx6 ，
r＋1 2
令6－＝0，得r＝4，所以展开式中的常数项为T＝C×4＝，故D正确．故选BCD.
5
11
11．已知10的展开式中含有x 的系数是－120，则a＝________.
2
3r
解析：由二项式定理的展开式可得Cx10－rr＝Crx10 .
2
11 3r 11
因为x 的系数是－120，所以x10 ＝x .
2 2 2
解得r＝3.所以系数为C3＝－120.解得a＝1.
答案：1
12．若(1＋2 020x)2 020＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 020，则＋＋＋…＋＝__________.
0 1 2 2 020
解析：因为＝＝nC＝2 020C，
所以＋＋＋…＋
＝2 020(C＋C＋…＋C)＝2 020×
＝2 020×22 018.
答案：2 020×22 018
13．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a＋ax＋ax2＋…＋a xn(n∈N*)，若a＋a＋…＋a
0 1 2 n 0 1 n
＝62，则log 25等于________．
n
解析：令x＝1可得a＋a＋a＋…＋a ＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝62，解得n＝5，所
0 1 2 n
以log 25＝2.
n
答案：2
14．(2021·青岛模拟)已知(1＋x)n＝a＋ax＋ax2＋…＋a xn(n∈N*)，设S ＝a＋a＋a＋…＋
0 1 2 n n 0 1 2
a ，数列的前n项和为T ，当|T －1|≤时，n的最小整数值为________．
n n n
解析：因为(1＋x)n＝a＋ax＋ax2＋…＋a xn(n∈N*)，令x＝1，得S ＝a＋a＋a＋…＋a ＝
0 1 2 n n 0 1 2 n
2n，所以＝，所以T ＝＝1－，所以|T －1|≤即为≤，所以n≥11，即n的最小整数值为11.
n n
答案：11
15．已知(1－2x)7＝a＋ax＋ax2＋…＋ax7，求：
0 1 2 7
(1)a＋a＋…＋a；
1 2 7
(2)a＋a＋a＋a；
1 3 5 7
(3)a＋a＋a＋a；
0 2 4 6
(4)|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|.
0 1 2 7
解：令x＝1，则a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＋a＝－1.①
0 1 2 3 4 5 6 7
令x＝－1，则a－a＋a－a＋a－a＋a－a＝37.②
0 1 2 3 4 5 6 7
(1)∵a＝C＝1，
0
∴a＋a＋a＋…＋a＝－2.
1 2 3 7
(2)(①－②)÷2，得a＋a＋a＋a＝＝－1 094.
1 3 5 7
(3)(①＋②)÷2，得a＋a＋a＋a＝＝1 093.
0 2 4 6
(4)∵(1－2x)7展开式中a，a，a，a 大于零，而a，a，a，a 小于零，
0 2 4 6 1 3 5 7
∴|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|
0 1 2 7
＝(a＋a＋a＋a)－(a＋a＋a＋a)
0 2 4 6 1 3 5 7
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
16．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项．
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，
由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)．
3
(2)8的展开式的通项T ＝C()8－r·r＝2－rCx4- r(r＝0,1，…，8)，
r＋1 4
要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T＝x4，T＝x，T＝.
1 5 9
(3)设第r＋1项的系数a 最大，则a ＝2－rC，
r＋1 r＋1
则＝＝≥1，
＝＝≥1，解得2≤r≤3.
当r＝2时，a＝2－2C＝7，当r＝3时，a＝2－3C＝7，
3 4
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T＝7x5 ，T＝7x7 .
3 4
2 4
