文档内容
第七节 直线与圆锥曲线的位置关系
核心素养立意下的命题导向
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养；
2．了解圆锥曲线的简单应用，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．
3．通过学习直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，
由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C
有两个公共点；
Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；
Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．
当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1 个或0 个．
当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1 个．
2．圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝|x－x|＝·
1 1 2 2 1 2
＝|y－y|＝·.
1 2
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(直线与圆锥曲线的位置关系)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这
样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x
轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.
2．(弦长公式)过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|
AB|＝________.
解析：依题意，设点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，
直线AB的方程为y＝x＋1，
即x＝(y－1)．由
消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y＋y＝，
1 2
|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y＋1)＋(y＋1)＝y＋y＋2＝.
1 2 1 2
答案：
二、易错点练清
1．(忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共
点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个
公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.
2．(忽略直线过定点)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与
椭圆相交．故选A.
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
[典例] (1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和
等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
(2)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
[解析] (1)设该抛物线焦点为F，A(x ，y )，B(x ，y )，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝x ＋＋x ＋＝x
A A B B A B A
＋x ＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．
B
(2)由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，解得
m≥1且m≠5.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧] 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方
代数法
程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标
几何法 即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数
[针对训练]
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点
个数为( )A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析：选B ∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝ ＞2，
∴m2＋n2＜4.∴＋＜＋＝1－m2＜1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与
椭圆＋＝1的交点有2个．
2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：选C 因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则由题意得>2，所以e＝＝ >＝.
考点二 弦长问题
[典例] 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．
[解] (1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，
∴＋＝1，∴a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
∵Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.
∴x＋x＝－2m，xx＝2m2－4.
1 2 1 2
则|AB|＝ × ＝.
点P到直线l的距离d＝＝.
∴S ＝d|AB|＝××＝≤＝2.
△PAB
当且仅当m2＝2，即m＝±时取得最大值．
[方法技巧]
求解弦长的4种方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得
到(x－x)2，(y－y)2，代入两点间的距离公式．
1 2 1 2
(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
[针对训练]
1．已知斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.C. D．
解析：选C 设A，B两点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得
1 1 2 2
5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x＋x＝－t，xx＝，
1 2 1 2
∴|AB|＝|x－x|＝·＝·＝，当t＝0时，
1 2
|AB| ＝.
max
2．设斜率为的直线过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C交于A，B两点，且|AB|＝，则p＝(
)
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C 因为斜率为的直线过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，所以直线方程为y＝，设
A(x，y)，B(x，y)，由得32＝2px，
1 1 2 2
整理得3x2－5px＋p2＝0，
所以x＋x＝，因此＝x＋x＋p＝，
1 2 1 2
又＝，所以＝，解得p＝2.
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，
则|AB|＝________.
解析：由题意得直线方程为y＝(x－1)，
联立得3x2－10x＋3＝0，∴x ＋x ＝，
A B
∴|AB|＝1＋x ＋1＋x ＝2＋＝.
A B
答案：
考点三 中点弦问题
[典例] 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C
在E上，且△ABC面积的最大值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证
明：直线OD平分线段MN.
[解] (1)由题意得解得
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：设M(x，y)，N(x，y)，D(－4，n)，
1 1 2 2
线段MN的中点P(x，y)，则2x＝x＋x 2y＝y＋y，由(1)可得F(－1,0)，
0 0 0 1 2, 0 1 2
则直线DF的斜率为k ＝＝－，
DF
当n＝0时，直线MN的斜率不存在，
根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.
当n≠0时，直线MN的斜率k ＝＝.
MN
∵点M，N在椭圆E上，∴
整理得：＋＝0，又2x＝x＋x 2y＝y＋y，
0 1 2, 0 1 2
∴＝－，直线OP的斜率为k ＝－，
OP
∵直线OD的斜率为k ＝－，
OD
∴直线OD平分线段MN.
[方法技巧]
1．“点差法”的4步骤
处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
2．“点差法”的常见结论
设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：k ·k ＝－；
AB OP
(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：k ·k ＝；
AB OP
(3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：k ＝(y 为中点P的纵坐标)．
AB 0
[针对训练]
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－
4,1)，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D．
解析：选C 设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x，y)，B(x，y)两点，因为AB的中点
1 1 2 2
M(－4,1)，所以x＋x＝－8，y＋y＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所
1 2 1 2
以＝ －·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝ ＝.故选C.
2．在椭圆＋＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为______________．
解析：设弦的两端点为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
代入椭圆方程得
两式相减得＋＝0，
所以＝－，
即－＝，
因为x＋x＝2，y＋y＝4，所以＝－，
1 2 1 2
故该直线方程为y－2＝－(x－1)，
即9x＋32y－73＝0.
答案：9x＋32y－73＝03．已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点P，且左焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，线段MN的中点记为A，且线段
MN的垂直平分线过定点G，求k的取值范围．
解：(1)设椭圆的左、右焦点分别为F ，F ，
1 2
∵抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1,0)，
∴椭圆的左焦点F 的坐标为(－1,0)，∴c＝1，
1
又∵椭圆过点P，
∴2a＝|PF |＋|PF |＝4，
1 2
∴a＝2，∴b＝.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，N(x，y)，A(x，y)．
1 1 2 2
则两式相减得＝－，
即＝－·，
∴k＝－·，
∴点A的坐标满足方程y＝－x.①
又∵AG⊥MN，且直线AG过点G，
∴线段MN的垂直平分线AG：y＝－.②
联立①②
解得A.
∵点A在椭圆内部，∴＋<1.
∴k2>，∴k>或k<－.
∴k的取值范围为∪.
创新思维角度——融会贯通学妙法
活用抛物线焦点弦的4个结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
结论1：x·x＝.
1 2
结论2：y·y＝－p2.
1 2
结论3：|AB|＝x＋x＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．
1 2
结论4：＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
应用(一) 利用结论3或4解决问题
[例1] 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|
等于( )
A．4 B.C．5 D．6
[解析] 法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图．
设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦
长公式|AB|＝＝.
法二：因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
[答案] B
应用(二) 利用结论3解决问题
[例2] 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为
坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由2p＝3，及|AB|＝，
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S ＝|AB|·d＝×12×＝.
△AOB
[答案] D
应用(三) 利用结论1或4解决问题
[例3] 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，
B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(
)
A．5 B．6
C. D．
[解析] 法一：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴交于点E，由于F为AC的中点，所以
EF为△ACD的中位线，所以p＝|AD|＝|AF|＝2.
设A(x，y)，B(x，y)，则|AF|＝x＋＝x＋1＝4，所以x＝3，又xx＝＝1，所以x＝，所以|AB|
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
＝x＋x＋p＝3＋＋2＝.
1 2
法二：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴的交点为E，由于F为AC的中点，所以EF为
△ACD的中位线，
所以p＝|AD|＝|AF|＝2.
因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
[答案] C一、综合练——练思维敏锐度
1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：选A 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，
则|AB|＝( )
A. B．
C．5 D．
解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x＋x.∵p＝2，∴|AB|＝2＋＝.
1 2
3．(2021·佛山模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只
有一个交点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．
C. D．
解析：选D ∵过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一
个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，∴＝1，由
e＝＝＝.
4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方
程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5
C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3
解析：选D 设A(x，y)，B(x，y)，则有①－②得y－y＝4(x－x)，由题可知x≠x.∴＝＝＝
1 1 2 2 1 2 1 2
2，即k ＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.
AB
5．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，
M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
解析：选BD 对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k ·k ＝－＝ －2≠
AB OM
－1，所以A项不正确；对于B项，根据k ·k ＝－2，所以k ＝－2，
AB OM AB
所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；
对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M，则k ·k ＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；
AB OM
对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x＝0，x＝－，所以|AB|＝＝，所以D项正确．
1 2
6.如图，过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C
于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若0，即－3b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|
OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3OC＝OF，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相
切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得a2＝
18.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的
斜率均存在．
设直线AB的方程为y＝kx－3.
联立消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
解得x＝0或x＝.
依题意，可得点B的坐标为.
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为，
所以点P的坐标为.
由3OC＝OF，得点C的坐标为(1,0)，
故直线CP的斜率为＝.
又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.
所以直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.
二、自选练——练高考区分度
1.(多选)如图，过点P(2,0)作两条直线x＝2和l：x＝my＋2(m>0)分别交
抛物线y2＝2x于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线AC，BD交于点Q.则下列说法正确的是( )
A．C，D两点的纵坐标之积为－4
B．点Q在定直线x＝－2上
C．点P与抛物线上各点的连线中，PA最短
D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP
解析：选AB 设点C(x，y)，D(x，y)，将直线l的方程x＝my＋2代入抛物线方程y2＝2x得：
1 1 2 2
y2－2my－4＝0.
则yy＝－4，故A正确；
1 2
由题得A(2,2)，B(2，－2)，
直线AC的方程为y－2＝(x－2)，
直线BD的方程为y＋2＝(x－2)，
消去y得x＝，
将yy＝－4代入上式得x＝－2，故点Q在直线x＝－2上，故B正确；
1 2
设抛物线y2＝2x的任一点M的坐标为，
则MP＝ ＝ .
当a2＝2时，MP取得最小值，又PA＝2>，故C错误；
因为PA＝PB，但QA≠QB，所以D错误．
2．过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点F作斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的
圆与准线l有公共点M，若|MF|＝，则|AB|＝________.
解析：不妨设A在x轴上方，根据抛物线的性质可得，以AB为直径的圆
与准线l有公共点M，∴MA⊥MB，
取AB中点C，连接MC，如图．
根据抛物线性质，
∴MC平行于x轴，且MF⊥AB，
∴|MF|2＝|AF|·|BF|，
∵直线AB过抛物线y2＝mx(m＞0)的焦点F且斜率为2，
根据抛物线的定义和直角梯形的性质可得|AF|＝2|BF|，
∵|MF|＝，∴()2＝2|BF|2，
∴|BF|＝1，|AF|＝2，∴|AB|＝3.
答案：3
3．(2020·北京高考)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(－4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，
求的值．
解：(1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为＋＝1，
又因为椭圆过点A(－2，－1)，所以有＋＝1，解得b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意知直线MN的斜率存在．
当直线MN的斜率为0时，不妨设M(－2，0)，N(2，0)，
则直线MA：y＝(x＋2)，
直线NA：y＝(x－2)，
则y ＝，y ＝－，＝1.
P Q
当直线MN的斜率不为0时，设直线MN：x＝my－4(m≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，
化简得(m2＋4)y2－8my＋8＝0，
Δ＝64m2－32(m2＋4)＝32(m2－4)>0，解得m2>4.
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则yy＝，y＋y＝.
1 2 1 2
直线MA的方程为y＋1＝(x＋2)，
则P，即P.
直线NA的方程为y＋1＝(x＋2)，
则Q，即Q.
所以＝＝
＝＝＝1.
综上，＝1.
