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第七节 函数与方程
核心素养立意下的命题导向
1.通过判断具体函数零点的个数或零点所在区间，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．通过函数零点或方程根的存在情况求参数的取值范围，凸显直观想象、逻辑推理和数学运
算的核心素养．
[理清主干知识]
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b )<0 ，那么函数
y＝f(x)在区间 ( a ， b ) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x 0)，(x 0) ( x 0) 无
1, 2, 1,
零点个数 _2_ _1_ _0_
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(判断零点所在区间)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(4，＋∞)
答案：B
2．(求函数零点个数)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
3．(求函数零点)函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．
答案：－，，1,2
二、易错点练清1．(忽视零点的概念与性质)给出下列命题：
①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；
②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；
④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．
其中正确的是________(填序号)．
答案：③④
2．(忽视区间端点值)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．
答案：
考点一 函数零点所在区间的判断
[典例] 函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] 法一：利用零点存在性定理
因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)
的零点位于区间(2,3)内，故选C.
法二：数形结合
函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋
3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．
[答案] C
[方法技巧]
判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
解方程法 当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上
定理法 利用零点存在性定理进行判断
画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，
数形结合法
或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断
[针对训练]
1
1．方程x＝x 的解所在的区间是( )
2
A. B.
C. D．
1
解析：选B 令函数f(x)＝x－x ，
2
易知函数f(x)为[0，＋∞)上的减函数．
1 1 1 1
又f(0)＝1>0，f＝ － >0，f＝ － <0，
3 2 2 21
由函数零点的存在性定理可知函数f(x)＝x－x 的零点所在的区间是.
2
1
即方程x＝x 的解所在的区间是.故选B.
2
2．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在(k∈Z)内，那么k＝________.
解析：∵f′(x)＝＋2>0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝ln －1<0，f(3)＝ln
3>0，∴f(x)的零点在内，则整数k＝5.
答案：5
考点二 函数零点个数的判断
[典题例析]
(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] (1)令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，
即2sin x－2sin xcos x＝0，
∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0,2π]，
∴由sin x＝0，得x＝0，π或2π，
由cos x＝1，得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．
(2)依题意，当x>0时，作出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，
可知两个函数的图象有两个交点；当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x
轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D.
(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．
当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex
和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数
f(x)有1个零点．
根据对称性知，当x<0时，函数f(x)也有1个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
[答案] (1)B (2)D (3)C
[方法技巧] 判断函数零点个数的方法直接法 直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲
定理法 线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确
定函数有多少个零点
利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个
数就是函数f(x)的零点个数；或将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根
图象法
据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的
图象的交点个数
利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的
性质法
函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
[针对训练]
1．函数f(x)＝2x|log x|－1的零点个数为( )
0.5
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 令f(x)＝2x|log x|－1＝0，
0.5
可得|log x|＝x.
0.5
设g(x)＝|log x|，h(x)＝x.
0.5
在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数
图象一定有2个交点．因此函数f(x)有2个零点．故选B.
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析： 选B 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在(0，＋∞)上单调
递增，f·f(2)<0，所以当x>0时函数f(x)有1个零点．根据奇函数的对称性可知，当x<0时，函
数f(x)也有1个零点．因此函数f(x)一共有3个零点．故选B.
考点三 函数零点的应用问题
考法(一) 根据函数零点个数求参数
[例1] (2020·天津高考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则
k的取值范围是( )
A.∪(2，＋∞)
B. ∪(0,2)
C．(－∞，0)∪(0,2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
[解析] 令h(x)＝|kx2－2x|，函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，即y＝f(x)与y＝h(x)的图象恰有4个不同交点．
当k＝－时，h(x)＝＝，在同一直角坐标系中作出y＝f(x)，y＝h(x)的图象如图1.
由图可知y＝f(x)与y＝h(x)的图象恰有4个不同交点，即函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|恰有4个
零点，排除A、B；
当k＝1时，h(x)＝|x2－2x|，作出y＝h(x)与y＝f(x)的图象如图2.
此时，函数y＝f(x)与y＝h(x)的图象仅有2个交点，不合题意，排除C，故选D.
[答案] D
考法(二) 根据函数零点存在情况求参数
[例 2] 已知函数 f(x)＝则使函数 g(x)＝f(x)＋x－m 有零点的实数 m 的取值范围是
______________．
[解析] 函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝的大
致图象(图略)．
观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零
点．
[答案] (－∞，0]∪(1，＋∞)
考法(三) 根据零点的范围求参数
[例3] 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，
则m的取值范围是________．
[解析] 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足
即
解得0时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；x∈，f′(x)<0；x∈（，＋∞），f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，
0)和（，＋∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合
题意．
当a<0时，x∈（－∞，），f′(x)<0；x∈（，0），f′(x)>0；x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在
（－∞，）和(0，＋∞)上单调递减，在（，0）上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x 且x>0，
0 0
只需f（）>0，即a2>4，解得a<－2.
法二 数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解
由ax3－3x2＋1＝0可知x≠0，可得ax＝3－，作出y＝3－的图象如图所
示，转动直线y＝ax，显然a>0时不成立；当a<0，直线y＝ax与左边的曲
线相切时，设切点为（t,3－），其中t<0，则切线方程为y－ （3－）＝
(x－t)．又切线过原点，则有0－（3－）＝(0－t)，解得t＝－1(t＝1舍去)，此时切线的斜率为－
2，由图象可知a<－2符合题意．
法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解
令f(x)＝0，得ax3＝3x2－1.问题转化为g(x)＝ax3的图象与h(x)＝3x2－1的图象存在唯一的交
点，且交点横坐标大于零．
当a＝0时，函数g(x)的图象与h(x)的图象存在两个交点；
当a>0时，如图(1)所示，不合题意；
当a<0时，由图(2)知，可先求出函数g(x)＝ax3与h(x)＝3x2－1的图象有公切线时a的值．由
g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝－2.由图形可知当a<－2时，满足题意．法四 分离参数法：参变分离，演绎高效
易知x≠0，令f(x)＝0，则a＝－，记g(x)＝－，g′(x)＝－＋＝，可知g(x)
在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且
g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可
知a<－2.
法五 特例法：巧取特例求解
取a＝3，则f(x)＝3x3－3x2＋1.由于f(0)＝1，f(－1)<0，从而f(x)在(－∞，0)上存在零点，排除
A、C.
取a＝－，则f(x)＝－x3－3x2＋1.由于f(0)＝1，f<0，从而f(x)在(－∞，0)上存在零点，排除D，
故选B.
[答案] B
[名师微点]
函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知
识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较好地体现试
卷的区分度．
由本题的五种方法，可知破解含参零点问题常有“三招”.
当我们无法通过等价转化的思想将原问题转化为相对容易的问
题时，我们要根据题设要求直接研究函数的性质．由于函数含有
第一招 带参讨论
参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．(如
本例法一)
由两个基本初等函数组合而得的超越函数f(x)＝g(x)－h(x)的零
点个数，等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)
第二招 数形结合
的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象
的交点个数．(如本例法二和法三)
通过将原函数中的参数进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数
第三招 分离参数 的零点问题化归为与x轴平行的直线y＝l(a)和函数g(x)的图象
的交点问题．(如本例法四)
一、综合练——练思维敏锐度
1．求下列函数的零点，可以用二分法的是( )
A．f(x)＝x4B．f(x)＝tan x＋2
C．f(x)＝cos x－1
D．f(x)＝|2x－3|
解析：选B ∵二分法只适用于求“变号零点”，∴选B.
1
2．函数f(x)＝x －x的零点个数为( )
2
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 法一：定理法
∵f(0)＝－1，f(1)＝，
∴f(0)f(1)<0，故函数f(x)在(0,1)上至少存在一个零点，又∵f(x)为增函数，∴f(x)的零点个数为
1.
法二：图象法
1 1
令f(x)＝0，得x ＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x 与y＝x的图象(图略)，可得交
2 2
点只有一个，∴函数f(x)的零点只有1个，故选B.
3．设函数y＝log x－1与y＝22－x的图象的交点为(x，y)，则x 所在的区间是( )
2 0 0 0
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C 令函数f(x)＝log x－1－22－x，则f(2)＝－1，f(3)＝log 3－＝log 3－log ()>0，因为
2 2 2 2
f(2)f(3)<0，所以函数f(x)在(2,3)上必有零点．又易知函数f(x)为增函数，所以f(x)在(2,3)上有
且只有一个零点，所以x∈(2,3)，故选C.
0
4．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x，x，x，则( )
1 2 3
A．x0，所以函数f(x)在
(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；
由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确．故选A、C.
6．(多选)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则
下列说法正确的有( )
A．方程f(g(x))＝0有两正数解和一负数解
B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解
C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解
D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解
解析：选ABCD 设f(x)的零点分别为x，x，x，则x＜x＜0＜x，设g(x)的零点为x，x＞
1 2 3 1 2 3 4 4
0.f(g(x))＝0，即g(x)＝x，有一个解为正数，g(x)＝x，有一个解为正数，g(x)＝x，有一个解为
1 2 3
负数，故A正确；g(f(x))＝0，则f(x)＝x，根据图象知：函数最多有三个交点，故B正确；f(f(x))
4
＝0，即f(x)＝x，可能为一个解，f(x)＝x，可能为三个解，f(x)＝x，可能为一个解，故C正确；
1 2 3
g(g(x))＝0，故g(x)＝x，方程有且仅有一个解，故D正确．
4
7．对于实数a，b定义运算“D○×”：aD○×b＝设f(x)＝(2x－3)D○×(x－3)，且关于x的
方程f(x)＝k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x，x，x，则xxx 的取值范围为( )
1 2 3 1 2 3
A．(0,3) B．(－1,0)
C．(－∞，0) D．(－3,0)
解析：选D ∵aD○×b＝
∴f(x)＝(2x－3)D○×(x－3)＝
其图象如图所示．
不妨设x0 的解集是
____________________．
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3，
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根．由根与系数的关系知∴
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，
解集为.
答案：
10．函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的零点个数为________；所有零点之和为________．
解析：可转化为两个函数y＝|x－1|与y＝－2cos πx在[－4,6]上的交点的个数，因为两个函数均
关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分
别画出两个函数的图象(如图)，易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，共10个交点，所
有零点之和为5×2＝10.
答案：10 10
11．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t(t<1)，则原方程化为g(t)＝a有4个不同的实数根，易知方
程f(x)＝t在(－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的
实数根等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，如图，
画出函数g(t)的图象，结合图象可知，1≤a<，即a的取值范围是.
12．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m 的图象有且只有一个交点，求正
实数m的取值范围．
解：在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．分两
种情形：
(1)当01时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，
即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．二、自选练——练高考区分度
1．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－
log |x|的零点有( )
3
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选B 因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故
当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log |x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数
3
y＝log |x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log |x|的
3 3
图象，如图所示．
显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log |x|的图象有4个交点，故选B.
3
2．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称
f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零
点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2,4] B．
C. D．[2,3]
解析：选D 易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，
设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，
根据定义，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2，作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，
因为g(－1)＝4，要使函数g(x)的零点在区间[0,2]内，则即解得2≤a≤3.
3．已知f(x)＝有且只有1个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当a>0时，函数f(x)＝ax－3(x>0)必有一个零点，又因为－<0，故a2＋2＋a>0，解得
a>1；当a＝0时，f(x)＝恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f(x)＝ax－3<0，若x≤0，则f(x)＝
ax2＋2x＋a，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x)无零点．
答案：{0}∪(1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝(2－a)·(x－1)－2ln x．若函数f(x)在上无零点，求a的最小值．
解：法一：∵f(x)<0在上不可能恒成立，要使函数f(x)在上无零点，只要对任意的x∈，f(x)>0
恒成立，即对任意的x∈，a>2－恒成立．
令l(x)＝2－，x∈，则l′(x)＝，
令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，则m′(x)＝－＋＝<0，故m(x)在上为减函数，于是m(x)>m＝2－
2ln 2>0，从而l′(x)>0，于是l(x)在上为增函数，∴l(x)2－恒成立，只要a∈[2－4ln 2，＋∞)．
则a的最小值为2－4ln 2.
法二：令g(x)＝(2－a)(x－1)，h(x)＝2ln x，∵f(x)＝g(x)－h(x)在上无零点，
∴g(x)与h(x)的图象在上无交点．
显然，g(x)，h(x)的图象都过A(1,0)，
如图，直线AB的斜率k＝＝4ln 2.
∴当g(x)的斜率2－a≤4ln 2时无交点，
∴a≥2－4ln 2.
∴a的最小值为2－4ln 2.
