文档内容
第三周
周一
1.(2024·南京、盐城模拟)已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.A∩(∁U B) B.A∪(∁U B)
C.B∩(∁U A) D.B∪(∁U A)
2.(2024·温州适应性考试)在(3-x)(1-x)5的展开式中，x的奇数次幂的项的系数和为( )
A.-64 B.64
C.-32 D.32
3.(多选)(2024·杭州质检)已知函数f(x)对任意实数x均满足2f(x)+f(x2-1)=1，则( )
A.f(-x)=f(x)
B.f(√2)=1
1
C.f(-1)=
3
D.函数f(x)在区间(√2，√3)上不单调
4.(2024·安庆模拟)由函数f(x)=ln x图象上一点P向圆C：x2+(y-2)2=4引两条切线，切点分别为点A，B，连
接AB，当直线AB在x轴上的截距最大时，直线AB的方程为 ，此时cos∠APB= .
5.(2024·河南TOP20名校联考)某公司拟从水平相当的普通程序员中筛选出若干高级程序员，方法如下：首
轮每位普通程序员被要求设计难度相同的甲、乙、丙、丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的
1
概率都为 ，其中四种设计全部合格直接晋升为高级程序员；至少有两种(包括两种)“不合格”的直接被
2
淘汰，否则被要求进行二轮设计.二轮设计是在A，B，C三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，
且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序员.已知每位普通程序员设计A，B，C合格的概率分别为1，
1 1
， ，同一普通程序员不同的设计相互不影响.
2 4
(1)已知A，B，C设计合格的得分分别为80，90，100，不合格得0分，若二轮设计中随机抽取到B，C的
得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率.答案精析
1.A 2.A 3.ACD
e2-7
4.ex-y-2=0
e2+1
解析 设点P(t，ln t)，圆C的圆心为C(0，2)，如图所示，
则以线段PC为直径的圆的方程为
x(x-t)+(y-2)(y-ln t)=0，
整理得x2+y2-tx-(2+ln t)y+2ln t=0，
与圆C：x2+(y-2)2=4相交，
两个圆相减得，
直线AB：tx+(ln t-2)y-2ln t=0，
2lnt
令y=0，则x= ，
t
2lnt
构造函数g(t)= ，t>0，
t
2(1-lnt)
对其求导得g'(t)= ，
t2
令g'(t)=0，则t=e，
于是函数g(t)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
2
故函数g(t)的最大值为g(e)= ，
e
此时直线AB的方程为ex-y-2=0，
且P(e，1)，|PC|=√e2+1，
|AC| 2
sin∠APC= = ，
|PC| √e2+1
于是cos∠APB=cos 2∠APC
e2-7
= 1-2sin2∠APC= .
e2+1
5.解 (1)X的可能取值为0，90，
100，190，
由题意知，P(X=0)( 1) ( 1) 3
= 1- × 1- = ，
2 4 8
1 ( 1) 3
P(X=90)= × 1- = ，
2 4 8
( 1) 1 1
P(X=100)= 1- × = ，
2 4 8
1 1 1
P(X=190)= × = ，
2 4 8
X的分布列为
X 0 90 100 190
3 3 1 1
P
8 8 8 8
3 1 1
E(X)=90× +100× +190× =70.
8 8 8
(2)因为同一普通程序员不同的设计相互不影响，所以每位普通程序员晋升为高级程序员的概率为
P= (1) 4 +C1× ( 1- 1) × (1) 3 × 1 × ( 1× 1 +1× 1 + 1 × 1)
2 4 2 2 3 2 4 2 4
13
= .
96
