文档内容
周二
1.(2024·温州适应性考试)在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则sin(A+C)等于( )
1 √2
A. B.
2 2
√3
C. D.1
2
答案 C
解析 因为A，B，C成等差数列，所以A+C=2B，又A+B+C=π，所以3B=π，
π 2π
即B= ，所以A+C=2B= ，
3 3
2π √3
所以sin(A+C)=sin = .
3 2
2.(2024·承德模拟)将5本不同的书(2本文学书、2本科学书和1本体育书)分给甲、乙、丙三人，每人至少
分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为( )
A.78 B.92
C.100 D.122
答案 C
C2·C2
解析
若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有C3 ·C1 ·A2
+
4 2 ·A2
4 1 2 A2 2
2
=14(种)；
当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有C2 ·A3
=36(种).
4 3
综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是14+36=50.
同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.
故不同的分配方法数是50+50=100.
√3
3.(多选)(2024·承德模拟)如图，点A，B，C是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y= 相邻的三个交点，
2
π ( π )
且|BC|-|AB|= ，f - =0，则( )
3 12
A.ω=4
(9π) 1
B.f =
8 2(π π)
C.函数f(x)在 ， 上单调递减
3 2
π
D.若将函数f(x)的图象沿x轴平移θ个单位长度，得到一个偶函数的图象，则|θ|的最小值为
24
答案 ACD
√3
解析 令f(x)=sin(ωx+φ)= ，得
2
π 2π
ωx+φ= +2kπ，k∈Z或ωx+φ= +2kπ，k∈Z，
3 3
π
由图可知ωx +φ= +2kπ，k∈Z，
A 3
π
ωx +φ= +2kπ+2π，k∈Z，
C 3
2π
ωx +φ= +2kπ，k∈Z，
B 3
1( π )
所以|BC|=x -x = - +2π ，
C B ω 3
1 π
|AB|=x -x = · ，
B A ω 3
π 1( 2π )
所以 =|BC|-|AB|= - +2π ，
3 ω 3
所以ω=4，故A正确；
所以f(x)=sin(4x+φ)，
( π ) ( π )
由f - =0得sin - +φ =0，
12 3
π
所以- +φ=π+2mπ，m∈Z，
3
4π
所以φ= +2mπ，m∈Z，
3
( 4π )
所以f(x)=sin 4x+ +2mπ
3
( 4π) ( π)
=sin 4x+ =-sin 4x+ ，
3 3
(9π) (9π π) 1
f =-sin + =- ，故B错误；
8 2 3 2
(π π)
当x∈ ， 时，
3 2π (5π 7π)
4x+ ∈ ， ，
3 3 3
(5π 7π) (π π)
因为y=-sin t在 ， 上单调递减，故f(x)在 ， 上单调递减，故C正确；
3 3 3 2
( π)
将函数f(x)的图象沿x轴平移θ个单位长度得g(x)=-sin 4x+4θ+ (θ<0时向右平移，θ>0时向左平移)的
3
图象，
π π
由g(x)为偶函数，得4θ+ = +nπ，n∈Z，
3 2
π nπ π
所以θ= + ，n∈Z，则|θ|的最小值为 ，故D正确.
24 4 24
4.(2024·济南模拟)在正四棱柱ABCD-A B C D 中，AB=4，AA =6，M，N分别是AB，AD的中点，则平面
1 1 1 1 1
MNC 截该四棱柱所得截面的周长为 .
1
答案 14√2
解析 延长NM，CB相交于点H，连接C H交BB 于点G，连接MG，
1 1
因为在正四棱柱ABCD-A B C D 中，AB=4，AA =6，M，N分别是AB，AD的中点，
1 1 1 1 1
所以MN=√AM2+AN2=2√2，BH=AN，CC =6，
1
GB BH 1
因为△HBG∽△HCC ，所以 = = ，
1 CC CH 3
1
故BG=2，GH=√BG2+BH2=2√2，
在DD 上取点Q，使DQ=BG，连接NQ，C Q，GQ，
1 1
则NQ=√DN2+DQ2=2√2，
同理可知GQ=NH，所以四边形GQNH为平行四边形，
故G，H，N，Q四点共面，
则平面MNC 截该四棱柱所得的截面为五边形NMGC Q，
1 1
MG=√MB2+BG2=2√2，C G=√C B2+B G2=√42+42=4√2，
1 1 1 1
同理C Q=4√2，
1
故截面周长为MN+MG+C G+C Q+NQ=2√2+2√2+4√2+4√2+2√2=14√2.
1 1
1
5.(2024·鞍山模拟)已知函数f(x)= ax2-(a+2)x+2ln x，a∈R.
2
(1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线与y轴垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性.
解 (1)依题意x>0，
1
f(x)= ax2-(a+2)x+2ln x，
2
2
则f'(x)=ax-(a+2)+
x
ax2-(a+2)x+2 (x-1)(ax-2)
= = ，
x x
因为曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线与y轴垂直，
所以f'(2)=a-1=0，解得a=1.
(x-1)(ax-2)
(2)由(1)知f'(x)= (x>0)，
x
当a≤0时，由f'(x)>0得01，
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间(1，+∞)；
当a>0时，分以下三种情况：
若a=2，则f'(x)≥0在定义域内恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；
2
若00得0 ，
a
2
令f'(x)<0得12，令f'(x)>0得01，令f'(x)<0得 2时，f(x)在 0， ，(1，+∞)上单调递增，在 ，1 上单调递减.
a a
