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第2课时 定点、定值、范围、最值问题
一、选择题
1.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点
则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B.[－2，2]
C.[－1，1] D.[－4，4]
解析 Q(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理
得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－
1≤k≤1.
答案 C
2.(2017·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足|OM|＝1，且
OM·PM＝0，则当|PM|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( )
A. B. C.4 D.5
解析 由OM·PM＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化
为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，
而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.
答案 B
3.已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x
轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A.2 B.2 C.8 D.2
解析 根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，
∴＋＝1，可得m＝2.
答案 B
4.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲
线的离心率的取值范围是( )
A.[3，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(1，3] D.(1，3)
解析 依题意可知双曲线渐近线方程为 y＝±x，与抛物线方程联立消去 y得
x2±x＋2＝0.
∵渐近线与抛物线有交点，
∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，
∴c＝≥3a，∴e＝≥3.答案 A
5.(2016·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的
最大值为( )
A.2 B. C. D.
解析 设A，B两点的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，
1 1 2 2
直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，
得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x ＋x ＝－t，x x ＝.
1 2 1 2
∴|AB|＝|x －x |
1 2
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB| ＝.
max
答案 C
二、填空题
6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛
物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________.
解析 由条件知双曲线的焦点为(4，0)，
所以解得a＝2，b＝2，
故双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
7.已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，|AM|＝1，且PM·AM＝
0，则|PM|的最小值是________.
解析 ∵PM·AM＝0，∴AM⊥PM.
∴|PM|2＝|AP|2－|AM|2＝|AP|2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故|AP| ＝2，∴|PM| ＝.
min min
答案
8.(2017·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1
至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
解析 双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，
∵e＞1，∴1＜e≤2.答案 (1，2]
三、解答题
9.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴
CD上，且PC·PD＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.
是否存在常数λ，使得OA·OB＋λPA·PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，
请说明理由.
解 (1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b).
又点P的坐标为(0，1)，且PC·PD＝－1，
于是解得a＝2，b＝.
所以椭圆E方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝kx＋1，
A，B的坐标分别为(x ，y )，(x ，y ).
1 1 2 2
联立
得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以，x ＋x ＝－，x x ＝－.
1 2 1 2
从而，OA·OB＋λPA·PB＝x x ＋y y
1 2 1 2
＋λ[x x ＋(y －1)(y －1)]
1 2 1 2
＝(1＋λ)(1＋k2)x x ＋k(x ＋x )＋1
1 2 1 2
＝＝－－λ－2.
所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时，OA·OB＋λPA·PB＝－3为定值.
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时OA·OB＋λPA·PB＝OC·OD＋PC·PD＝－2－1＝－3，
故存在常数λ＝1，使得OA·OB＋λPA·PB为定值－3.
10.(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取
值范围.
解 (1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0.
故x ＝0，x ＝－，
1 2
因此|AM|＝|x －x |＝·.
1 2
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同
的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k ，k ，且k ，k ＞0，k ≠k .
1 2 1 2 1 2
由(1)知|AP|＝，|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由于k ≠k ，k ，k ＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
1 2 1 2
因此＝1＋a2(a2－2)，①
因为①式关于k ，k 的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
1 2
因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜
a≤，
由e＝＝得，所求离心率的取值范围是.
11.(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛
物线y2＝x的一个交点的横坐标为x ，若x ＞1，则双曲线C的离心率e的取值
0 0
范围是( )
A. B.(，＋∞)
C.(1，) D.
解析 不妨联立y＝x与y2＝x的方程，消去y得x2＝x，由x ＞1知＜1，即＜1，
0
故e2＜2，又e＞1，所以1＜e＜，故选C.
答案 C
12.(2017·河南省八市质检)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，它的两
条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若
△AOB的面积为，则抛物线的准线方程为( )
A.x＝－2 B.x＝2
C.x＝1 D.x＝－1
解析 因为e＝＝2，所以c＝2a，b＝a，双曲线的渐近线方程为y＝±x，又抛物
线的准线方程为x＝－，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A，B，在△AOB中，|AB|＝p，点O到AB的距离为，所以·p·＝，所以p＝2，所以抛
物线的准线方程为x＝－1，故选D.
答案 D
13.(2017·绵阳诊断)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭
圆上的任一点，则OP·FP的最小值为________.
解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依
题意得左焦点F(－1，0)，∴OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2
＝x2＋x＋＝＋.
∵－3≤x≤3，
∴≤x＋≤，∴≤≤，
∴≤≤，∴6≤＋≤12，即6≤OP·FP≤12，故最小值为6.
答案 6
14.(2017·衡水中学高三联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)短轴的两个顶点与右
焦点的连线构成等边三角形，直线3x＋4y＋6＝0与圆x2＋(y－b)2＝a2相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l ，l 分别交椭圆C于M，N两点，且
1 2
l ⊥l ，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；
1 2
(3)在(2)的条件下求△AMN面积的最大值.
解 (1)由题意，得∴
即C：＋y2＝1.
(2)由题意得直线l ，l 的斜率存在且不为0.
1 2
∵A(－2，0)，设l ：x＝my－2，l ：x＝－y－2，
1 2
由得(m2＋4)y2－4my＝0，
∴M.同理，N.
①m≠±1时，k ＝，
MN
l ：y＝.此时过定点.
MN
②m＝±1时，l ：x＝－，过点.
MN
∴l 恒过定点.
MN
(3)由(2)知S ＝×|y －y |
△AMN M N
＝＝8
＝＝.
令t＝≥2，当且仅当m＝±1时取等号，∴S ≤，且当m＝±1时取等号.
△AMN
∴(S ) ＝.
△AMN max
