文档内容
第2课时 精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·全国卷Ⅰ·考查弦长问题)
已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9.
设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.
设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l.
因为(1－3)2＋22＜9，
所以点A(1,2)在圆C的内部，
则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小．
设此时圆心C到直线l的距离为d，
则d＝|AC|＝＝2，
所以|BD| ＝2＝2＝2，
min
即弦的长度的最小值为2，故选B.
2．(2020·全国卷Ⅲ·考查导数的几何意义、直线与圆相切的应用)
若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
解析：选D 设直线l在曲线y＝上的切点为(x，)，则x>0，函数y＝的导数为y′＝，则直线l
0 0
的斜率k＝ .
设直线l的方程为y－＝(x－x)，
0
即x－2y＋x＝0.
0
由于直线l与圆x2＋y2＝相切，则＝，
两边平方并整理得5x－4x－1＝0，
0
解得x＝1或x＝－(舍去)，
0 0
所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝x＋.
3．(2020·全国卷Ⅰ·考查直线与圆的位置关系)
已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切
线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
解析：选D 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，点M到直线l的距离为d＝＝＞2，所以直
线l与圆相离．由圆的知识可知，A，P，B，M四点共圆，且AB⊥MP，所以|MP|·|AB|＝4S ＝4××|PA|×|
△PAM
AM|＝4|PA|，而|PA|＝，
当直线MP⊥l时，|MP| ＝，|PA| ＝1，
min min
此时|MP|·|AB|最小．
易知直线MP的方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋.
由解得
所以以MP为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0，
两圆的方程相减可得：2x＋y＋1＝0，
即为直线AB的方程．故选D.
4．(2018·全国卷Ⅲ·考查距离问题、直线与圆的位置关系)
直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则
△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得d ＝2＋r＝3，d ＝2－r＝.
max min
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·d ＝6，
max
△ABP面积的最小值为|AB|·d ＝2.
min
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
[把脉考情]
1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题
常规
2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的
角度
弦长问题
创新 与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数
角度 交汇考查最值或范围问题
二、题型精细研究——提素养
题型一 求圆的方程
[典例] (1)(2021·海口模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直
线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1(2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的
方程为_______________________________________________________．
[解析] (1)到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立得方程组解得又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋
3)2＋(y＋1)2＝1，故选C.
(2)法一：几何法
∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，
∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，
∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，
∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法二：待定系数法
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
∴r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求圆与y轴相切，
∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法三：待定系数法
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，
半径r＝.
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①
圆心到直线y＝x的距离为
d＝，由已知得d2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
又圆心在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.③联立①②③，解得或
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
[答案] (1)C (2)x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
[方法技巧]
1．求圆的方程的2种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件
列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于
D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[针对训练]
1．(2021·福州模拟)已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于
A，B两点，若＝6，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝25 B．(x－1)2＋(y－2)2＝36
C．(x－1)2＋(y－2)2＝16 D．(x－1)2＋(y－2)2＝49
解析：选A 圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，设圆心(1,2)到直线
l的距离为d，则d＝＝4，又|AB|＝6，根据r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y
－2)2＝25.故选A.
2．(2021·唐山模拟)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋
(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________．
解析：由题意知圆心C(－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离d＝3，由两圆相外切可得R＋2＝d
＝3，∴R＝.∴圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
题型二 弦长问题
[典例] (1)(2021·河北七校联考)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝ 3asin A
＋3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为( )
A．4 B．2
C．6 D．5
(2)过点(1,1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程
为__________．
[解析] (1)因为＝＝.
故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)．圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0,0)，半径为r＝2，圆心O到直线l的距离d＝＝，所以直线l被
圆O所截得的弦长为2＝2＝6，故选C.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，但|AB|≠4，不符合题意．当直线l的斜率
存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)．
由|AB|＝4，得＝，解得k＝－，
所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
[答案] (1)C (2)x＋2y－3＝0
[方法技巧] 解决有关弦长问题的常用方法及结论
几何法
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的
距离为d，则有关系式：|AB|＝2
若斜率为k的直线与圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，则|AB|＝·＝ ·|y
A A B B A
－y |(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|x －x |；当斜率不存在时，|
B A B
代数法
AB|＝|y －y |，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，
A B
在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
[针对训练]
1．(2021·烟台模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝3及直线l：ax＋y－2a－2＝0，当直线l被圆
C截得的弦长最短时，直线l的方程为________．
解析：由l：ax＋y－2a－2＝0得a(x－2)＋y－2＝0，
∴不论a取何值，直线l恒过点P(2,2)．
∵12＋12＝2<3，
∴点P(2,2)在圆C内．
故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时k ＝－1，∴k＝1，故直线l的方
CP l
程为x－y＝0.
答案：x－y＝0
2．(2021·南通一模)函数f(x)＝xln x＋a的图象在x＝1处的切线被圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝
0截得的弦长为2，则实数a的值为________．
解析：∵f(x)＝xln x＋a，∴f′(x)＝1＋ln x，
则切线的斜率k＝f′(1)＝1，∵f(1)＝a，
∴切点坐标为(1，a)，
∴函数f(x)＝xln x＋a的图象在x＝1处的切线方程为y＝x＋a－1.又∵圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心坐标为(1，－2)，半径为3，
∴圆心到直线x－y＋a－1＝0的距离d＝，
∵切线被圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0截得的弦长为2，
则2＋12＝32，∴a＝－6或2.
答案：－6或2
题型三 切线问题
[典例] 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解] (1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.
因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．又k ＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝
PC
1.
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.
(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，
解得k＝.所以切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝＝，
所以过点M的圆C的切线长为＝＝1.
[方法技巧]
求过圆外一点(x，y)的圆的切线方程的方法
0 0
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y＝k(x－x)，即kx－y＋y－
0 0 0
几何法 kx＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线
0
方程，当斜率不存在时，要进行验证
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y＝k(x－x)，即y＝kx－kx＋
0 0 0
代数法 y，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切
0
线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证
[提醒] 设切线方程时一定要注意斜率不存在的情况．
[针对训练]1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：选A 设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋m＝0(m≠1)，因为直线2x＋y
＋m＝0与圆x2＋y2＝5相切，即点(0,0)到直线2x＋y＋m＝0的距离为，所以＝，|m|＝5.故所
求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
2．直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到
直线l的距离的最小值等于( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选D 圆x2＋y2＝4在点(－1，)处的切线为l：－x＋y＝4，即l：x－y＋4＝0，点P是圆(x
－2)2＋y2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝＝3，∴点P到直线l的距
离的最小值等于d－1＝3－1＝2.故选D.
一、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·江苏部分学校调研)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：选D 设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解
得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.
2．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0
解析：选A ∵过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过
圆心，
∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线，
∴其方程为：＝，
整理，得3x－y－5＝0.故选A.
3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方
程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
解析：选B 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝－.
此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
4．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边
三角形，则a的值为( )
A．1 B．±1
C. D．±
解析：选D 根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r＝，
直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C
到直线y＝ax的距离d＝，则有＝，解得a＝±.
5．已知圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝x＋b的最短距离为，则b的值为( )
A．－2或2 B．2或4＋2
C．－2或4＋2 D．－4－2或2
解析：选D 由圆(x－2)2＋y2＝1，
可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝1，
设圆心(2,0)到直线y＝x＋b的距离为d，
则d＝，因为圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝x＋b的最短距离为，所以d－r＝，即－1＝，
解得b＝2或b＝－4－2，故选D.
6．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝
3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选AC 由题意知C(－2,1)，圆C的半径为，
则＝，解得k＝±1，
则直线l的方程为y＝±x＋1.
D(2,0)，圆D的半径为r＝，
k＝1时，D到直线l的距离为＝>，相离；
k＝－1时，D到直线l的距离为＝<，相交，故选A、C.
7．已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且
∠MPN＝，则实数a的值等于( )
A．2或10 B．4或8
C．6±2 D．6±2
解析：选B 由∠MPN＝可得∠MCN＝2∠MPN＝.在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝，
可得点C到直线MN，即直线l：x－y－a＝0的距离为2sin＝1.所以＝1，解得a＝4或8.故选
B.
8．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－
1)，则m＝________，r＝________.
解析：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝r，又r＝|AC|＝，所以＝，解
得m＝－2，所以r＝.
答案：－2
9．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋6＝0，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点为A，
B，连接AB，则直线AB一定过定点________．
解析：设点P(x，y)，则x－y＋6＝0.
0 0 0 0
以CP为直径的圆的方程为x(x－x)＋y(y－y)＝0，
0 0
又圆C：x2＋y2＝4，作差可得直线AB的方程为xx＋yy＝4，将y＝x＋6，代入可得(x＋y)x
0 0 0 0 0
＋6y－4＝0，
满足⇒
故直线AB过定点.
答案：
10．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点
M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.
解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x
＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所
以|MC|2＝13，|MP|＝＝3.
答案：3
11．已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．
(1)写出圆C的标准方程；
(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．
解：(1)由题意知，圆C的半径r＝＝，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.
(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－
1＝0，则＝，
所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求切线的方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.
12．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的
圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解：(1)证明：设A(x，y)，B(x，y)，l：x＝my＋2.
1 1 2 2
由可得y2－2my－4＝0，则yy＝－4.
1 2
又x＝，x＝，故xx＝＝4.
1 2 1 2
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y＋y＝2m，x＋x＝m(y＋y)＋4＝2m2＋4.
1 2 1 2 1 2
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP=0，
故(x－4)(x－4)＋(y＋2)(y＋2)＝0，
1 2 1 2
即xx－4(x＋x)＋yy＋2(y＋y)＋20＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2
由(1)知yy＝－4，xx＝4.
1 2 1 2
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方
程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为
2＋2＝.
二、自选练——练高考区分度
1．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正
确的为( )
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为
D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为＋3
解析：选AD 对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；
对于B，因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－4，即
y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；
对于C，圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，
则圆心到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝，故C错误；
对于D，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2,1)，半径为1，
所以|EF| ＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正确．
max
2．设过点P的直线l与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8PA＝5AB，则＝(
)
A. B.C. D.
解析：选A 由题意，设A(x，y)，B(x，y)，直线AB的方程为x＝my－2，由
1 1 2 2
得y2－y＋13＝0，
则y＋y＝，yy＝，又8PA＝5AB，
1 2 1 2
所以8(x＋2，y)＝5(x－x，y－y)，
1 1 2 1 2 1
故8y＝5(y－y)，即y＝y，代入yy＝得：
1 2 1 2 1 1 2
y＝，故y＝×，
又(y＋y)2＝2，
1 2
即y＋y＋2yy＝×＋＝2，
1 2
整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38，
又|AB|＝ ＝
2 ，
当m＝2时，|AB|＝；
当m＝38时，|AB|＝.
综上|AB|＝.故选A.
3.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左
侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接
AN，BN，求证：k ＋k 为定值．
AN BN
解：(1)因为圆 C与y轴相切于点 T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)
(m>0)，则圆C的半径为m，
又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，
解得m＝，
所以圆C的方程为2＋(y－2)2＝.
(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知k ＝k ＝0，即k ＋k ＝0.
AN BN AN BN
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得
(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，所以
1 1 2 2
则k ＋k ＝＋＝＋
AN BN
＝＝＝0.
综上可知，k ＋k 为定值．
AN BN
