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第三节 等比数列及其前n项和
核心素养立意下的命题导向
1.与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合具体问题的计算，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素
养．
3．与实际应用问题相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列
叫做等比数列．
数学语言表达式：＝(n≥2，q为非零常数)．
(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a }的首项为a，公比是q，则其通项公式为a ＝a q n － 1 ；
n 1 n 1
通项公式的推广：a ＝a qn－m.
n m
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S ＝na ；当q≠1时，S ＝＝.
n 1 n
3．等比数列的性质
已知{a }是等比数列，S 是数列{a }的前n项和．
n n n
(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a，a ，a ，…仍是等比数列，公比为.
k k＋m k＋2m
(2)若{a }，{b }是等比数列，则{λa }(λ≠0)，，{a}，{a ·b }，仍是等比数列．
n n n n n
(3)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有a·a＝a · a .
k l m n
(4)当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，S ，S －S ，S －S ，…仍成等比数列，其公比为.
n 2n n 3n 2n
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求公比)已知{a }是等比数列，a＝2，a＝，则公比q等于( )
n 2 5
A．－ B．－2
C．2 D.
解析：选D 由题意知q3＝＝，即q＝.
2．(项的性质的应用)已知S 是各项均为正数的等比数列{a }的前n项和，若a·a＝16，S＝
n n 2 4 3
7，则a＝( )
8
A．32 B．64
C．128 D．256
解析：选C ∵a·a＝a＝16，∴a＝4(负值舍去)，①
2 4 3又S＝a＋a＋a＝＋＋a＝7，②
3 1 2 3 3
联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，
∵a >0，∴q＝2，∴a＝a·q5＝27＝128.
n 8 3
3．(前n项和性质的应用)设等比数列{a }的前n项和为S .若S＝3，S＝15，则S＝( )
n n 2 4 6
A．31 B．32
C．63 D．64
解析：选C 由等比数列的性质，得(S－S)2＝S·(S－S)，即122＝3×(S－15)，解得S＝63.
4 2 2 6 4 6 6
二、易错点练清
1．(忽视判断项的符号)在等比数列{a }中，若a，a 是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a 的值是
n 3 7 5
( )
A．－2 B．－
C．± D.
解析：选B 根据根与系数之间的关系得a＋a＝－4，
3 7
aa＝2，由a＋a＝－4<0，aa>0，
3 7 3 7 3 7
得a<0，a<0，即a<0，
3 7 5
由aa＝a，得a＝－＝－.
3 7 5
2．(忽视等比数列的项不为0)已知x,2x＋2,3x＋3是等比数列的前三项，则x的值为________．
解析：由题意，得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，
x,2x＋2,3x＋3分别为－1,0,0，不构成一个等比数列，故x≠－1；当x＝－4时，x,2x＋2,3x＋3
分别为－4，－6，－9，能构成一个等比数列，所以x的值为－4.
答案：－4
3．(多个结果不注意验证)已知{a }是等比数列，前n项和为S (n∈N*)，且－＝，S＝63，则{a }
n n 6 n
的通项公式为a ＝________.
n
解析：设等比数列{a }的公比为q.由已知，有－＝，即1－＝，解得q＝2或q＝－1.若q＝－1，
n
则S＝0，与S＝63矛盾，不符合题意，∴q＝2，∴S＝＝63，得a＝1，∴a ＝2n－1.
6 6 6 1 n
答案：2n－1
4．(忽视对公比的讨论)设a∈R，n∈N*，则1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝________.
解析：当a＝1时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝n＋1；当a≠0且a≠1时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an
＝；当a＝0时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝1满足上式．所以1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝
答案：
考点一 等比数列的基本运算
[典例] (1)(2020·全国卷Ⅱ)记S 为等比数列{a }的前n项和．若a－a＝12，a－a＝24，则
n n 5 3 6 4
＝( )
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1(2)(2020·全国卷Ⅱ)数列{a }中，a＝2，a ＝a a .若a ＋a ＋…＋a ＝215－25，则k＝(
n 1 m＋n m n k＋1 k＋2 k＋10
)
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] (1)法一：设等比数列{a }的公比为q，
n
则由解得
所以S ＝＝2n－1，a ＝aqn－1＝2n－1，
n n 1
所以＝＝2－21－n，故选B.
法二：设等比数列{a }的公比为q，
n
因为＝＝＝＝2，所以q＝2，
所以＝＝＝2－21－n，故选B.
(2)令m＝1，则由a ＝a a ，得a ＝aa ，即＝a＝2，所以数列{a }是首项为2，公比为2的
m＋n m n n＋1 1 n 1 n
等比数列，所以a ＝2n，所以a ＋a ＋…＋a ＝a(a＋a＋…＋a )＝2k×＝2k＋1×(210－
n k＋1 k＋2 k＋10 k 1 2 10
1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
(1)等比数列中有五个量a，n，q，a ，S ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
1 n n
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a }的前n项和S ＝na ；
n n 1
当q≠1时，{a }的前n项和S ＝＝.
n n
[针对训练]
1．(2021·湖北八校联考)已知数列{a }为等比数列，且aa ＝4a，S 为等差数列{b }的前n项
n 2 10 6 n n
和，且S＝S ，a＝b，则b＝( )
6 10 6 7 9
A. B．－
C．－ D．－4
解析：选B ∵{a }为等比数列，且aa ＝4a，∴a＝4a，解得a＝4.
n 2 10 6 6 6
设等差数列{b }的公差为d，∵S＝S ，
n 6 10
∴b＋b＋b＋b ＝0，则b＋b ＝0.
7 8 9 10 7 10
∵a＝b＝4，∴b ＝－4，∴3d＝b －b＝－4－4＝－8，∴d＝－，
6 7 10 10 7
∴b＝b＋2d＝4＋2×＝－.故选B.
9 7
2．(多选)已知正项等比数列{a }满足a＝2，a＝2a＋a，若设其公比为q，前n项和为S ，则(
n 1 4 2 3 n
)
A．q＝2 B．a ＝2n
n
C．S ＝2 047 D．a ＋a 3a ，选项D正确．
n n＋1 n n＋2 n n
3．等比数列{a }的前n项和为S .若4a 2a，a 成等差数列，a＝1，则S＝________.
n n 1, 2 3 1 7
解析：设等比数列{a }的公比为q，因为4a 2a，a 成等差数列，a＝1，所以4a＝4a＋a，即
n 1, 2 3 1 2 1 3
4q＝4＋q2，解得q＝2.因此，S＝＝＝127.
7
答案：127
考点二 等比数列的判定与证明
[典例] (2021年1月新高考八省联考卷)已知各项都为正数的数列{a }满足a ＝2a ＋
n n＋2 n＋1
3a .
n
(1)证明：数列{a ＋a }为等比数列；
n n＋1
(2)若a＝，a＝，求数列{a }的通项公式．
1 2 n
[解] (1)证明：由a ＝2a ＋3a ，得a ＋a ＝3(a ＋a )，
n＋2 n＋1 n n＋2 n＋1 n＋1 n
所以数列{a ＋a }是公比为3的等比数列．
n n＋1
(2)因为a＝，a＝，所以a＋a＝2.
1 2 2 1
又由(1)知数列{a ＋a }是公比为3的等比数列，
n n＋1
所以a ＋a ＝(a＋a)·3n－1＝2·3n－1.
n＋1 n 2 1
于是a －×3n＝－a ＋×3n－1，又a－＝0，
n＋1 n 2
所以a －＝0，即a ＝，而a＝也符合．
n n 1
于是a ＝×3n－1为所求．
n
[方法技巧] 等比数列的4种常用判定方法
方法 解读 适用题型
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且 n≥2，
定义法
n∈N*)，则{a n }是等比数列 大题
中项 证明
若数列{a }中，a ≠0且a＝a ·a (n∈N*)，则{a }是等比数列
n n n n＋2 n
公式法
通项 若数列{a }的通项公式可写成a ＝c·qn－1(c，q均是不为0的常
n n
公式法 数，n∈N*)，则{a n }是等比数列 选择
前n项和 若数列{a }的前n项和S ＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)， 填空
n n
公式法 则{a }是等比数列
n
[提醒] (1)若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(2)利用递推关系时，要注意对n＝1时的情况进行验证．
[针对训练]
已知数列{a }的前n项和S ＝1＋λa ，其中λ≠0.
n n n
(1)证明：{a }是等比数列，并求其通项公式；
n
(2)若S＝，求λ.
5
解：(1)证明：由题意得a＝S＝1＋λa，
1 1 1故λ≠1，a＝，a≠0.
1 1
由S ＝1＋λa ，S ＝1＋λa 得a ＝λa －λa ，
n n n＋1 n＋1 n＋1 n＋1 n
即a (λ－1)＝λa .
n＋1 n
由a≠0，λ≠0得a ≠0，所以＝.
1 n
因此{a }是首项为，公比为的等比数列，于是a ＝n－1.
n n
(2)由(1)得S ＝1－n.
n
由S＝得1－5＝，即5＝.
5
解得λ＝－1.
考点三 等比数列的性质及应用
[典例] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设{a }是等比数列，且a＋a＋a＝1，a＋a＋a＝2，则a＋a＋
n 1 2 3 2 3 4 6 7
a＝( )
8
A．12 B．24
C．30 D．32
(2)已知正项等比数列{a }的前n项和为S ，S＝，S＝，则aa…a 的最小值为( )
n n 2 3 1 2 n
A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] (1)法一：设等比数列{a }的公比为q，
n
所以＝＝q＝2.
由a＋a＋a＝a(1＋q＋q2)＝a(1＋2＋22)＝1，
1 2 3 1 1
解得a＝，所以a＋a＋a＝a(q5＋q6＋q7)＝
1 6 7 8 1
×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D.
法二：令b ＝a ＋a ＋a (n∈N*)，
n n n＋1 n＋2
则b ＝a ＋a ＋a .
n＋1 n＋1 n＋2 n＋3
设数列{a }的公比为q，
n
则＝＝＝q，
所以数列{b }为等比数列，由题意知b＝1，b＝2，
n 1 2
所以等比数列{b }的公比q＝2，所以b ＝2n－1，
n n
所以b＝a＋a＋a＝25＝32，故选D.
6 6 7 8
(2)设等比数列{a }的公比为q，则q>0，
n
由题意得a＝S－S＝，则有
3 3 2
解得所以a ＝.
n
当1≤n≤5时，a <1；当n≥6时，a >1，
n n
则aa…a 的最小值为aaaaa＝5＝5.
1 2 n 1 2 3 4 5
[答案] (1)D (2)D
[方法技巧]
1．等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n
项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破
口．
2．应用等比数列性质解题时的2个注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝
p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a ·a ＝a·a”，可以减少运算量，提高解题速度．
m n p q
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题
时注意设而不求思想的运用．
[针对训练]
1．(2021·湖南名校联盟检测)已知正数组成的等比数列{a }的前8项的积是81，那么a＋a 的
n 1 8
最小值是( )
A．2 B．2
C．8 D．6
解析：选A ∵正数组成的等比数列{a }的前8项的积是81，∴aa…a＝(aa)4＝81，解得
n 1 2 8 1 8
aa＝3.那么a＋a≥2＝2，当且仅当a＝a＝时取等号．故选A.
1 8 1 8 1 8
2．在等比数列{a }中，若a＋a＋a＋a＝，aa＝－，则＋＋＋等于( )
n 1 2 3 4 2 3
A. B.
C．－ D．－
解析：选D ＋＋＋＝＋.
∵在等比数列{a }中，a·a＝a·a，
n 1 4 2 3
∴原式＝＝×＝－.故选D.
3．已知正项等比数列{a }的前n项和为S ，且S－2S＝5，则a＋a ＋a ＋a 的最小值为(
n n 8 4 9 10 11 12
)
A．25 B．20
C．15 D．10
解析：选B 在正项等比数列{a }中，S >0.
n n
因为S－2S＝5，所以S－S＝5＋S，
8 4 8 4 4
易知S，S－S，S －S 成等比数列，
4 8 4 12 8
所以(S－S)2＝S·(S －S)，
8 4 4 12 8
所以S －S＝＝＋S＋10≥2＋10＝20(当且仅当S＝5时取等号)．
12 8 4 4
因为S －S＝a＋a ＋a ＋a ，
12 8 9 10 11 12
所以a＋a ＋a ＋a 的最小值为20.
9 10 11 12
创新考查方式——领悟高考新动向
1．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五
斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．” 今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊
所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比
例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下
列判断正确的是( )
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且c＝
解析：选D 由题意可知b＝a，c＝b，
∴＝，＝.
∴a，b，c成等比数列且公比为.
∵1斗＝10升，
∴5斗＝50升，
∴a＋b＋c＝50，
又易知a＝4c，b＝2c，∴4c＋2c＋c＝50，
∴7c＝50，∴c＝，故选D.
2．(2021·湖北省部分重点期中联考)我国明代著名乐律学家朱载堉
在《律学新说》中提出的十二平均律，即现代在钢琴的键盘上，一个
八度音程从一个c1键到下一个c2键的8个白键与5个黑键(如图)的
音频恰好构成一个等比数列的原理，c2的频率正好是c1的2倍．已知
标准音a1的频率为440 Hz，那么频率为220 Hz的音名是( )
A．d1 B．f1
C．e1 D. d1
解析：选D 一个八度音程从一个c1键到下一个c2键的8个白键与5个黑键的音频恰好构成
一个等比数列，记为数列{m },1≤n≤13，设其公比为q.
n
又c2的频率正好是c1的2倍，所以2m＝mq12，
1 1
1
解得q＝2 .
12
1
故从 g1起向左，每一个单音的频率与它右边相邻的单音的频率的比为＝2 .
12
记a1， g1，g1，…，c1的频率构成等比数列{a}，
p
由220＝440×p－1，得p＝7，故频率为220 Hz的音名是 d1，故选D.
3．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托尔三分集”是数学
理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去
掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间
的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区
间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托尔三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数
n的最小值为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C 第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；……第n次操作去掉2n－1个长度为的区间，
长度和为，
于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为S ＝＋＋…＋＝1－n，
n
由题意，1－n≥，即nlg≤lg＝－1，即n(lg 3－lg 2)≥1，解得：n≥＝≈5.679，
又n为整数，所以n的最小值为6.故选C.
4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、
云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处浮雕共7层，每上层的数量是
下层的2倍，总共有1 016个浮雕，这些浮雕构成一幅优美的图案，若从最下层往上，浮雕的
数量构成一个数列{a }，则log (aa)的值为( )
n 2 3 5
A．8 B．10
C．12 D．16
解析：选C 依题意得，数列{a }是以2为公比的等比数列，因为最下层的浮雕的数量为a，
n 1
所以S＝＝1 016，解得a＝8，所以a ＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，所以a＝25，a＝27，
7 1 n 3 5
从而a×a＝25×27＝212，所以log (aa)＝log 212＝12，故选C.
3 5 2 3 5 2
5．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直
角边上再连接正方形，…，如此继续下去，若共得到1 023个正方形，设
初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________．
解析：由题意知，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，
现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，
∴最小正方形的边长为×9＝.
答案：
6．是否存在一个等比数列{a }同时满足下列三个条件：①a＋a＝11且aa＝； ②a
n 1 6 1 6 n＋
>a (n∈N*)；③至少存在一个m(m∈N*且m>4)，使得a ，a，a ＋依次构成等差数列？
1 n m－1 m＋1
解：假设存在满足条件的等比数列{a }．
n
由①可知
由②可知数列{a }是递增的，所以a>a，
n 6 1
则⇒q＝2.此时a ＝×2n－1.
n
由③可知2a＝a ＋⇔22＝××2m－2＋，
m－1
解得m＝3，与已知m>4矛盾，故这样的数列{a }不存在．
n一、基础练——练手感熟练度
1．已知各项均为正数的等比数列{a }满足aa＝16，a＝2，则公比q＝( )
n 1 5 2
A．4 B.
C．2 D.
解析：选C 由题意，得解得或(舍去)，故选C.
2．公比不为1的等比数列{a }满足aa＋aa＝18，若aa ＝9，则m的值为( )
n 5 6 4 7 1 m
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C 由题意得，2aa＝18，∴aa＝9，∵aa ＝aa＝9，∴m＝10.
5 6 5 6 1 m 5 6
3．已知公比q≠1的等比数列{a }的前n项和为S ，a＝1，S＝3a，则S＝( )
n n 1 3 3 5
A．1 B．5
C. D.
解析：选D 由题意得＝3aq2，解得q＝－或q＝1(舍)，所以S＝＝＝.
1 5
4．已知{a }是公差为3的等差数列，若a，a，a 成等比数列，则{a }的前10项和S ＝( )
n 1 2 4 n 10
A．165 B．138
C．60 D．30
解析：选A 由a，a，a 成等比数列得a＝aa，即(a＋3)2＝a·(a＋9)，解得a＝3，则S ＝
1 2 4 1 4 1 1 1 1 10
10a＋d＝10×3＋45×3＝165.故选A.
1
5．已知等比数列{a }的各项均为正数，S 为其前n项和，且满足：a＋3a＝，S＝，则a＝(
n n 1 3 3 4
)
A. B.
C．4 D．8
解析：选A 设等比数列{a }的公比为q，则q>0.
n
∵a＋3a＝，S＝，∴a＋3aq2＝，a(1＋q＋q2)＝，联立解得a＝2，q＝.
1 3 3 1 1 1 1
则a＝2×3＝.故选A.
4
二、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·福州模拟)已知等比数列{a }各项均为正数，满足a＋a＝3，a＋a＝6，则aa＋aa
n 1 3 3 5 1 3 2 4
＋aa＋aa＋aa＝( )
3 5 4 6 5 7
A．62 B．62
C．61 D．61
解析：选A 设正项等比数列{a }的公比为q(q>0)，
n
∵a＋a＝3，a＋a＝6，
1 3 3 5
∴a(1＋q2)＝3，a(q2＋q4)＝6，联立解得a＝1，q2＝2.
1 1 1
∵＝q2＝2，aa＝1×(1×2)＝2，∴{a a }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴aa＋aa
1 3 n n＋2 1 3 2 4＋aa＋aa＋aa＝＝62.故选A.
3 5 4 6 5 7
2．已知各项均为正数的等比数列{a }中，a 与a 的等比中项为，则a＋a的最小值是( )
n 2 8
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C ∵等比数列{a }中，a 与a 的等比中项为，∴aa＝aa＝2.
n 2 8 4 6 2 8
则a＋a≥2aa＝4，当且仅当a＝a＝时取等号．故选C.
4 6 4 6
3．已知数列{a }，{b }满足a＝b＝1，a －a ＝＝3，n∈N*，则数列{b }的前10项和为( )
n n 1 1 n＋1 n an
A.(310－1) B.(910－1)
C.(279－1) D.(2710－1)
解析：选D 由a －a ＝3，知数列{a }为公差为3的等差数列，则a ＝1＋(n－1)×3＝3n－
n＋1 n n n
2；由＝3，知数列{b }为公比为3的等比数列，则b ＝3n－1.所以b ＝33n－3＝ 27n－1，则数
n n an
列{ b }为首项为1，公比为27的等比数列，则数列{ b }的前10项和为＝(2710－1)．故选D.
an an
4．(2021·邵阳模拟)设S 是等比数列{a }的前n项和，若＝3，则＝( )
n n
A．2 B.
C. D．1或2
解析：选B 设S＝k(k≠0)，S＝3k，∵数列{a }为等比数列，∴S，S－S，S－S 也为等比数
2 4 n 2 4 2 6 4
列，又S＝k，S－S＝2k，∴S－S＝4k，∴S＝7k，∴＝＝，故选B.
2 4 2 6 4 6
5．(多选)在公比为q的等比数列{a }中，S 是数列{a }的前n项和，若a＝1，a＝27a，则下列
n n n 1 5 2
说法正确的是( )
A．q＝3 B．数列{S ＋2}是等比数列
n
C．S＝121 D．2lg a ＝lg a ＋lg a (n≥3)
5 n n－2 n＋2
解析：选ACD 因为a＝1，a＝27a，所以有a·q4＝27a·q⇒q3＝27⇒q＝3，因此选项A正确；
1 5 2 1 1
因为S ＝＝(3n－1)，所以S ＋2＝(3n＋3)，
n n
因为＝＝1＋≠常数，所以数列{S ＋2}不是等比数列，故选项B不正确；
n
因为S＝(35－1)＝121，所以选项C正确；
5
a ＝a·qn－1＝3n－1>0，
n 1
因为当n≥3时，lg a ＋lg a ＝lg(a ·a )
n－2 n＋2 n－2 n＋2
＝lg a＝2lg a ，所以选项D正确．
n
6．已知正项等比数列{a }满足：aa＝16a，a＋a＝20，若存在两项a ，a 使得＝32，则＋的
n 2 8 5 3 5 m n
最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设公比为q，q>0.
∵数列{a }是正项等比数列，∴aa＝a＝16a，
n 2 8 5
∴a＝16，又a＋a＝20，∴a＝4，
5 3 5 3
∴q＝2，∴a＝1，∴a ＝aqn－1＝2n－1.
1 n 1∵＝32，∴2m－12n－1＝210，即m＋n＝12，
∴＋＝(m＋n)＝≥＝(m，n∈N*)，
当且仅当n＝2m，即m＝4，n＝8时“＝”成立，
∴＋的最小值为，故选A.
7．设等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝2n＋1＋λ，则λ＝( )
n n n
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A 法一：依题意，a＝S＝4＋λ，a＝S－S＝4，a＝S－S＝8，
1 1 2 2 1 3 3 2
因为{a }是等比数列，所以a＝a·a，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.
n 1 3
法二：S ＝2n＋1＋λ＝2×2n＋λ，易知q≠1，因为{a }是等比数列，
n n
所以S ＝－qn，据此可得λ＝－2.故选A.
n
8．设数列{(n2＋n)a }是等比数列，且a＝，a＝，则数列{3na }的前15项和为( )
n 1 2 n
A. B.
C. D.
解析：选B 等比数列{(n2＋n)a }的首项为2a＝，第二项为6a＝，故公比为，所以(n2＋n)a
n 1 2 n
＝·n－1＝，所以a ＝，则3na ＝＝－，其前n项和为1－，当n＝15时，前15项和为1－＝.
n n
9．各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝2，S ＝14，则S 等于( )
n n n 3n 4n
A．80 B．30
C．26 D．16
解析：选B 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S ，S －S ，S －S ，S －S ，…仍为
n 2n n 3n 2n 4n 3n
等比数列．
设S ＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
2n
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴S ，S －S ，S －S ，S －S ，…是首项为2，公比为2的等比数列．
n 2n n 3n 2n 4n 3n
又∵S ＝14，∴S ＝14＋2×23＝30.
3n 4n
10．已知等比数列{a }的前n项积为T ，若a＝－24，a＝－，则当T 取得最大值时，n的值为
n n 1 4 n
( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C 设等比数列{a }的公比为q，则a＝－24q3＝－，所以q3＝，q＝，易知此等比数列
n 4
各项均为负数，则当n为奇数时，T 为负数，当n为偶数时，T 为正数，所以T 取得最大值时，
n n n
n为偶数，排除B；而T ＝(－24)2×＝24×8＝192，T ＝(－24)4× 6＝84×＝>192，T ＝(－
2 4 6
24)6×15＝86×9＝＝×<，所以T 最大．故选C.
4
11．设数列{a }为等差数列，数列{b }为等比数列．若a＋a＋a＝π，则cos(a＋a)＝______；
n n 1 5 9 2 8
若b >0，且bb＋bb＝4，则bb…b ＝________.
n 5 6 4 7 1 2 10解析：因为数列{a }为等差数列，a＋a＋a＝π，
n 1 5 9
所以3a＝π⇒a＝，
5 5
所以cos(a＋a)＝cos(2a)＝cos＝－.
2 8 5
又因为数列{b }为等比数列，b >0，且bb＋bb＝4，
n n 5 6 4 7
所以2bb＝4⇒bb＝2，所以bb…b ＝(bb)5＝25＝32.
5 6 5 6 1 2 10 5 6
答案：－ 32
12．已知等比数列{a }的公比为正数，且aa＝2a，a＝1，则a＝________.
n 3 9 2 1
解析：∵aa＝a，∴a＝2a，设等比数列{a }的公比为q，∴q2＝2，由于q>0，解得q＝，∴a＝
3 9 n 1
＝.
答案：
13．等比数列{a }中，已知各项都是正数，且a，a 2a 成等差数列，则＝________.
n 1 3, 2
解析：设{a }的公比为q.由题意得a＋2a＝a，则a(1＋2q)＝aq2，q2－2q－1＝0，所以q＝＝
n 1 2 3 1 1
1＋(舍负)，则＝＝－1.
答案：－1
14．在数列{a }中，a＋2a ＝a a ＋a ＋a ，且a＝2，a＝5.
n n＋1 n n＋2 n n＋2 1 2
(1)证明：数列{a ＋1}是等比数列；
n
(2)求数列{a }的前n项和S .
n n
解：(1)证明：∵a＋2a ＝a a ＋a ＋a ，
n＋1 n n＋2 n n＋2
∴(a ＋1)2＝(a ＋1)(a ＋1)，
n＋1 n n＋2
即＝.
∵a＝2，a＝5，∴a＋1＝3，a＋1＝6，∴＝2，
1 2 1 2
∴数列{a ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
n
(2)由(1)知，a ＋1＝3·2n－1，
n
∴a ＝3·2n－1－1，∴S ＝－n＝3·2n－n－3.
n n
15．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a }满足a＋a＝20，a＝8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记b 为{a }在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
解：(1)设{a }的公比为q.
n
由题设得aq＋aq3＝20，aq2＝8.
1 1 1
解得q＝2或q＝(舍去)．所以a＝2.
1
所以{a }的通项公式为a ＝2n.
n n
(2)由题设及(1)知b＝0，且当2n≤m<2n＋1时，b ＝n.
1 m
所以S ＝b ＋(b ＋b)＋(b ＋b ＋b ＋b)＋…＋(b ＋b ＋…＋b )＋(b ＋b ＋…＋b )＝0
100 1 2 3 4 5 6 7 32 33 63 64 65 100
＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.
16．(2021·青岛一模)设数列的前n项和为S ，a＝1，________.
n 1
给出下列三个条件：①：数列为等比数列，数列{S ＋a}也为等比数列；
n 1
②：点(S ，a )在直线y＝x＋1上；
n n＋1
③：2na＋2n－1a＋…＋2a ＝na .
1 2 n n＋1
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
(1)求数列的通项公式；
(2)设b ＝，求数列{b }的前n项和T .
n n n
解：(1)选条件①.
因为数列为等比数列，
所以(S＋a)2＝(S＋a)(S＋a)，
2 1 1 1 3 1
即(2a＋a)2＝2a(2a＋a＋a)，
1 2 1 1 2 3
设等比数列{a }的公比为q，因为a＝1，
n 1
所以(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍去)，
所以a ＝aqn－1＝2n－1(n∈N*)．
n 1
选条件②.
因为点(S ，a )在直线y＝x＋1上，
n n＋1
所以a ＝S ＋1(n∈N*)，所以a ＝S ＋1(n≥2)，
n＋1 n n n－1
两式相减得a －a ＝a ，＝2(n≥2)，
n＋1 n n
因为a＝1，a＝S＋1＝a＋1＝2，＝2也适合上式，
1 2 1 1
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a ＝aqn－1＝2n－1(n∈N*)．
n 1
选条件③.
当n≥2时，
因为2na＋2n－1a＋…＋2a ＝na (n∈N*)，(ⅰ)
1 2 n n＋1
所以2n－1a＋2n－2a＋…＋2a ＝(n－1)a ，
1 2 n－1 n
所以2na＋2n－1a＋…＋22a ＝2(n－1)a .(ⅱ)
1 2 n－1 n
(ⅰ)－(ⅱ)得2a ＝na －2(n－1)a ，即＝2(n≥2)，
n n＋1 n
当n＝1时，2a＝a，＝2也适合上式，
1 2
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a ＝aqn－1＝2n－1(n∈N*)．
n 1
(2)由(1)得a ＝2n－1(n∈N*)，
n
所以b ＝＝
n
＝，
所以T ＝＋＋＋…＋＋
n
＝＝－
＝－.
