第三节 不等式的性质及一元二次不等式
核心素养立意下的命题导向
1.与命题的真假判断相结合，考查不等式的性质，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2．结合二次函数的图象，考查一元二次不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．结合“三个二次”间的关系，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养．
4．与实际问题相结合，考查应用不等式性质、一元二次不等式解决问题的能力，凸显数学建
模的核心素养．
[理清主干知识]
1．两个实数比较大小的依据
(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.
2．不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b⇔ b < a ；a<b⇔ b > a 可逆
传递性 a>b，b>c⇒ a > c ；a<b，b<c⇒ a < c 同向
可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆
a>b，c>0⇒ ac > bc ；
可乘性 c的符号
a>b，c<0⇒ ac < bc
同向可加性 a>b，c>d⇒ a ＋ c > b ＋ d 同向
同向同正 同向，
a>b>0，c>d>0⇒ ac > bd
可乘性 同正
可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒ a n > b n 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正
3.三个“二次”间的关系
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
有两相异实根 有两相等实根 没有
ax2＋bx＋c＝0
x，x(x<x) x＝x＝－ 实数根
1 2 1 2 1 2
(a>0)的根ax2＋bx＋c>0
{ x | x > x 或 x < x}
2 1
(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0
{ x | x < x < x }
1 2
(a>0)的解集
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(不等式的判断)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是( )
A.> B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：选A 取a＝－2，b＝－1，则>不成立．
2．(实数大小比较)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( )
A．A≥B B．A>B
C．A≤B D．A<B
解析：选B 因为A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1>0，所以A>B.故选B.
3．(解一元二次不等式)函数f(x)＝log (－x2－3x＋4)的定义域为________．
2
解析：由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，故f(x)的定义域为(－4,1)．
答案：(－4,1)
4．(一元二次不等式恒成立)若集合A＝{x|x2－ax＋1>0}＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知不等式x2－ax＋1>0恒成立，
故Δ＝a2－4<0，解得－2<a<2.
答案：(－2,2)
5．(不等式性质)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，
∴－4<－|β|≤0.
∴－3<α－|β|<3.
答案：(－3,3)
二、易错点练清
1．(乘法运算忽视符号)已知实数a∈(－3,1)，b∈，则的取值范围是( )
A．(－12,8) B．(－24,8)
C．(－24,4) D．(－12,4)
解析：选B 当－3<a≤0时，∈(－24,0]；当0<a<1时，∈(0,8)．综上可知∈(－24,8)．
2．(没有等价变形)不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集为________．
解析：原不等式等价于(x＋5)(x－3)<0，解得－5<x<3，故不等式的解集为(－5,3)．
答案：(－5,3)
3．(忽视二次项的符号)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为________．解析：由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.
答案：
4．(忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数
m的取值范围是________．
解析：原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.当m＝2时，不等式为4>0，该不等式恒
成立；当m≠2时，必须满足解得－2<m<2.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．
答案：(－2,2]
考点一 不等式的性质及应用
[典例] (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系
是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
(2)若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是
( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
[解析] (1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝2＋>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；
因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误．
综上所述，可排除A、B、D.
[答案] (1)A (2)C
[方法技巧]
1．比较两个数(式)大小的2种方法
2．谨记2个注意点
(1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊
值验证的方法．
(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致
范围扩大．[针对训练]
1．(多选)已知实数a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ab>ac B．c(b－a)>0
C．ac(a－c)<0 D．cb2<ab2
解析：选ABC 因为c<b<a且ac<0，所以c<0，a>0，
所以ab>ac，故A一定成立；
又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立；
又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立；
当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2<ab2，故D不一定成立，故选A、B、C.
2．(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log a＋log b≥－2 D.＋≤
2 2
2
解析：选ABD ∵a2＋b2≥ ＝，∴A正确；易知0<a<1,0<b<1，∴－1<a－b<1，∴2a－b>2－1＝，
∴B正确；
对于选项C，令a＝，b＝，则log ＋log ＝－2＋log <－2，∴C错误；
2 2 2
∵(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，∴＋≤，∴D正确．
故选A、B、D.
考点二 一元二次不等式的解法
[例1] (2021·南京调研)不等式2x＋3－x2>0的解集是( )
A．{x|－1<x<3} B．{x|x>3或x<－1}
C．{x|－3<x<1} D．{x|x>1或x<－3}
[解析] 原不等式变形为x2－2x－3<0，
即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.故选A.
[答案] A
[例2] (2021·湖南六校联考)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.
[解] ∵12x2－ax>a2，
∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x＝－，x＝.
1 2
①当a>0时，－<，解集为{xx<－或x>}；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③当a<0时，－>，解集为.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为{xx<－或x>}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为.
[方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等
式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而
确定解集形式．
[针对训练]
1．(多选)下列四个不等式中，解集为∅的是( )
A．－x2＋x＋1≤0
B．2x2－3x＋4＜0
C．x2＋3x＋10≤0
D．－x2＋4x－＞0(a＞0)
解析：选BCD 对于A，－x2＋x＋1≤0，对应的函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为
∅；
对于B，2x2－3x＋4＜0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为∅；
对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为∅；
对于D，－x2＋4x－＞0(a＞0)，对应的函数开口向下，Δ＝16－4≤16－4× 2 ＝0，其解集为
∅.故选B、C、D.
2．已知实数a满足不等式－3<a<3，求关于x的不等式(x－a)(x＋1)>0的解集．
解：方程(x－a)(x＋1)＝0的两根为－1，a.
①当a<－1，即－3<a<－1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>－1}；
②当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
③当a>－1，即－1<a<3时，原不等式的解集为{x|x<－1或x>a}．
综上所述，当－3<a<－1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>－1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当－1<a<3时，原不等式的解集为{x|x<－1或x>a}．
考点三 一元二次不等式的综合应用
考法(一) “三个二次”之间的关系及应用
[例1] 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋
c>2ax的解集为( )
A．{x|－2<x<1} B．{x|x<－2或x>1}
C．{x|0<x<3} D．{x|x<0或x>3}
[解析] 由题意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，
整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0，①
又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，
则a<0，且－1,2分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得
即②
将①两边同除以a得x2＋x＋<0，
将②代入①得x2－3x<0，解得0<x<3，故选C.
[答案] C
[方法技巧]
“三个二次”之间的关系
若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x，x，则x，x 是不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋
1 2 1 2
c<0)解集的端点，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
考法(二) 一元二次不等式的恒(能)成立问题
题点1 一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题
[例2] 若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
[解析] 当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则
解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－
3,0]．
[答案] (－3,0]
[方法技巧] 一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0
题点2 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
[例3] 设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，则m的取
值范围是________________．
[解析] f(x)<－m＋5即mx2－mx＋m－6<0，
故m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x) ＝g(3)＝7m－6<0.
max
所以m<，则0<m<.
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x) ＝g(1)＝m－6<0.
max
所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪.
法二：因为x2－x＋1＝2＋>0，
且m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
又m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.
[答案] (－∞，0)∪
[方法技巧]
在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再
由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即：已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) ≥a，即
min
m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x) ≤a，即n≤a.
max
题点3 不等式能成立或有解问题
[例4] 设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则( )
A．a≤2 B．a≥2
C．a≥ D．a≤
[解析] ∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，∴a≤x＋在x∈[1,2]上有解
⇔a≤ ，x∈[1,2]，
max
∵函数y＝x＋在[1,2]上单调递增，
∴f(x) ＝，∴a≤.
max
[答案] D
[方法技巧]
解决不等式能成立问题的策略一般也是转化为函数最值，即：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x) ；
min
a≤f(x)能成立⇒a≤f(x) .
max
[针对训练]
1．已知关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是(
)
A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[－1,3] D．[－3,1]
解析：选D 关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则Δ＝(k－1)2＋
4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1，故选D.
2．(2021·山东泰安一中月考)设m为实数，若函数f(x)＝x2－mx＋2在区间(－∞，2)上是减函
数，对任意的x，x∈，总有|f(x)－f(x)|≤4，则m的取值范围为( )
1 2 1 2
A．[4,6] B．(4,6)C．(4,6] D．[4,6)
解析：选A 函数f(x)＝x2－mx＋2的对称轴为x＝，由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得
≥2，∴m≥4.
∴∈且＋1－≤－1，
∴当x，x∈时，
1 2
f(x) ＝f(1)＝3－m，f(x) ＝f＝－＋2.
max min
由∀x，x∈，总有|f(x)－f(x)|≤4，
1 2 1 2
∴ ≤4，∴f(x) －f(x) ≤4，
max max min
∴(3－m)－≤4，
即m2－4m－12≤0，解得－2≤m≤6.
综上，4≤m≤6，故选A.
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
转化与化归思想在不等式中的应用
[典例] (1)已知0≤x≤2时，不等式－1≤tx2－2x≤1恒成立，则t的取值范围是________．
(2)设f(x)＝2x2＋bx＋c，已知不等式f(x)<0的解集是(1,5)，若对任意x∈[1,3]，不等式f(x)≤2
＋t有解，则实数t的取值范围是________．
(3)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为
(m，m＋6)，则实数c的值为________．
[解析] (1)当x＝0时，－1<0<1，不等式恒成立．
当0<x≤2时，－1≤tx2－2x≤1可化为≤t≤.
因为y＝＝－2＋1在(0,2]上的最大值为1，所以t≥1；
因为y＝＝2－1在(0,2]上的最小值为，所以t≤.
综上，t的取值范围是.
(2)∵2x2＋bx＋c<0的解集是(1,5)，
∴1和5是2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系可知－＝6，＝5，∴b＝ －12，c
＝10.
∴f(x)＝2x2－12x＋10.
不等式f(x)≤2＋t在[1,3]上有解，等价于2x2－12x＋8≤t在[1,3]上有解，只需t≥(2x2－12x
＋8) 即可．
min
设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1,3]，
∵g(x)在[1,3]上单调递减．
∴g(x) ＝g(3)＝－10，∴t≥－10.
min
(3)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－＝0，即b＝.所以f(x)＝2.
又f(x)<c，所以2<c，
即－－<x<－＋.
所以解得2＝6，所以c＝9.
[答案] (1) (2)[－10，＋∞) (3)9
[名师微点]
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使
之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将
难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．不
等式恒成立通过分离参数，转化为函数最值问题．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格
的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此
项税收一年不少于9 000万元，则t的取值范围是( )
A．[1,3] B．[3,5]
C．[5,7] D．[7,9]
解析：选B 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地万亩，则税收收入为×24 000×t%，
由题意得×24 000×t%≥9 000，整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5，∴t的取值范围是
[3,5]，故选B.
2．给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－，能够使以上三个不等式同时成立的一个条件
是________．(答案不唯一，写出一个即可)
解析：使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0.当a>b>0时，①②显然成立；对于③，()2－
(－)2＝2－2b＝2(－)>0，故()2>(－)2.即>－，所以③成立．
答案：a>b>0(答案不唯一)
一、基础练——练手感熟练度
1．(2021·大连模拟)已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p≤q B．p≥q
C．p<q D．p>q
解析：选D 因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，所以p>q，故选D.
2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
解析：选A ∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<β<1，α－β<0，∴－2<α－β<0.
3．不等式2x2－x－3>0的解集是( )A. B．(－∞，－1)∪
C. D.∪(1，＋∞)
解析：选B 2x2－x－3>0可化为(x＋1)(2x－3)>0，
解得x>或x<－1，所以不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪.故选B.
4．若实数m，n满足m>n>0，则( )
A．－<－ B.＋>
C.m>n D．m2<mn
解析：选B 取m＝2，n＝1，代入各选择项验证A、C、D不成立，只有B项成立(事实上＋
1>)．
5．若∀x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：由题意可知Δ＝m2－24≤0，解得－2≤m≤2.
答案：[－2，2]
二、综合练——练思维敏锐度
1．(多选)设a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2>ab B．a2<b2
C.< D．a3<b3
解析：选CD 对于A，当a＝2，b＝3时，a<b，
但22<2×3，故A中不等式不一定成立；
对于B，当a＝－2，b＝1时，a<b，但(－2)2>12，
故B中不等式不一定成立；
对于C，∵a<b，∴－＝<0，
故C中不等式恒成立；
对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
＝(a－b)，
∵a<b，∴a－b<0，又2＋b2>0，
∴a3<b3，故D中不等式恒成立．故选C、D.
2．已知a为实数，“a>1”是“a2<a3”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 当a>1时，a2－a3＝a2(1－a)<0，所以a2<a3；当a2<a3时，a2(a－1)>0，所以a>1.综
上，“a>1”是“a2<a3”的充要条件．故选C.
3．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集
是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选C 关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，
∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，
解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．
4．设函数f(x)＝若不等式xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，则a的值为( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：选B 因为xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，所以3为方程xf(x－1)＝a的根，所以a＝
3f(3－1)＝3×(2－1)＝3，故选B.
5．若存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x≥a成立，则实数a的取值范围是( )
0 0
A．(－∞，1] B．(－∞，－8]
C．[1，＋∞) D．[－8，＋∞)
解析：选A 设f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，因为存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x≥a
0 0
成立，所以a≤f(x) ，所以a≤1，故选A.
max
6．若a>1，则关于x的不等式≥1的解集是( )
A.
B.
C．(－∞，1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪
解析：选D 由≥1得－1≥0，即≥0，∴[(a－1)x－1](x＋1)≥0且x≠－1，
解得x<－1或x≥，
则不等式的解集为(－∞，－1)∪，故选D.
7．(多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
解析：选BCD 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象开口向下，所以a<0，故A错误；
易知2和－是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝2×＝－1<0，－＝2＋＝>0，又
a<0，所以b>0，c>0，故B、C正确；
因为＝－1，所以a＋c＝0，又b>0，所以a＋b＋c>0，故D正确，故选B、C、D.
8．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是(
)
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－3,5] D．[－2,4]
解析：选D 关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式的解
集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a,1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥
－2.又当 a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意．所以a的取值范围是[－2,4]，故选D.9．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________________．
解析：原不等式等价于(x－a)<0，
由0<a<1，得a<，∴a<x<.
答案：
10．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
11．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
12．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是__________．
解析：令f(x)＝x2＋ax－2.∵f(0)＝－2，于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，
解得a＞－，故a的取值范围为.
答案：
13．已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________．
解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋
3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x＜4，解得0≤x＜4；当x
＜0时，由－x2－3x＜4，解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
14．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，即a2－6a－3<0，解得3－2<a<3＋
2.
∴不等式的解集为{a|3－2<a<3＋2}．
(2)∵f(x)>b的解集为(－1,3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
∴解得
故a的值为3±，b的值为－3.
15．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成 (1
成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．解：(1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
又0≤x≤2，所以x的取值范围是.
16．已知函数f(x)＝x2－x＋1.
(1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意得Δ＝－4≤0，解得－4≤a≤4，
∴实数a的取值范围为[－4,4]．
(2)由题意得∃x∈[1,2]，使≤x－成立．
令g(x)＝x－，x∈[1,2]，则g(x)在区间[1,2]上单调递增，∴g(x) ＝g(2)＝，
max
∴≤，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(－∞，3]．
