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第三节不等式的性质及一元二次不等式教案_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022届一轮复习讲练结合_第一章集合与常用逻辑用语、不等式

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第三节不等式的性质及一元二次不等式教案_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022届一轮复习讲练结合_第一章集合与常用逻辑用语、不等式
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13 页
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文档内容

第三节 不等式的性质及一元二次不等式 核心素养立意下的命题导向 1.与命题的真假判断相结合，考查不等式的性质，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养． 2．结合二次函数的图象，考查一元二次不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 3．结合“三个二次”间的关系，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养． 4．与实际问题相结合，考查应用不等式性质、一元二次不等式解决问题的能力，凸显数学建 模的核心素养． [理清主干知识] 1．两个实数比较大小的依据 (1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)ab⇔ b < a ；a a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒ a > c ；ab⇔a＋c>b＋c 可逆 a>b，c>0⇒ ac > bc ； 可乘性 c的符号 a>b，c<0⇒ ac < bc 同向可加性 a>b，c>d⇒ a ＋ c > b ＋ d 同向 同向同正 同向， a>b>0，c>d>0⇒ ac > bd 可乘性 同正 可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒ a n > b n 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 3.三个“二次”间的关系 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有 ax2＋bx＋c＝0 x，x(x0)的根ax2＋bx＋c>0 { x | x > x 或 x < x} 2 1 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 { x | x < x < x } 1 2 (a>0)的解集 [澄清盲点误点] 一、关键点练明 1．(不等式的判断)若a B.> C．|a|>|b| D．a2>b2 解析：选A 取a＝－2，b＝－1，则>不成立． 2．(实数大小比较)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( ) A．A≥B B．A>B C．A≤B D．A0，所以A>B.故选B. 3．(解一元二次不等式)函数f(x)＝log (－x2－3x＋4)的定义域为________． 2 解析：由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40}＝R，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知不等式x2－ax＋1>0恒成立， 故Δ＝a2－4<0，解得－20.当m＝2时，不等式为4>0，该不等式恒 成立；当m≠2时，必须满足解得－2a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b (2)若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是 ( ) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ [解析] (1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＝2＋>0， ∴b>a，∴c≥b>a. (2)因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2. 显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误； 因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误． 综上所述，可排除A、B、D. [答案] (1)A (2)C [方法技巧] 1．比较两个数(式)大小的2种方法 2．谨记2个注意点 (1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊 值验证的方法． (2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致 范围扩大．[针对训练] 1．(多选)已知实数a，b，c满足cac B．c(b－a)>0 C．ac(a－c)<0 D．cb20， 所以ab>ac，故A一定成立； 又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立； 又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立； 当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb20，b>0，且a＋b＝1，则( ) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log a＋log b≥－2 D.＋≤ 2 2 2 解析：选ABD ∵a2＋b2≥ ＝，∴A正确；易知02－1＝， ∴B正确； 对于选项C，令a＝，b＝，则log ＋log ＝－2＋log <－2，∴C错误； 2 2 2 ∵(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，∴＋≤，∴D正确． 故选A、B、D. 考点二 一元二次不等式的解法 [例1] (2021·南京调研)不等式2x＋3－x2>0的解集是( ) A．{x|－13或x<－1} C．{x|－31或x<－3} [解析] 原不等式变形为x2－2x－3<0， 即(x－3)(x＋1)<0，解得－1a2. [解] ∵12x2－ax>a2， ∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x＝－，x＝. 1 2 ①当a>0时，－<，解集为{xx<－或x>}； ②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}； ③当a<0时，－>，解集为. 综上所述：当a>0时，不等式的解集为{xx<－或x>}； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为. [方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等 式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而 确定解集形式． [针对训练] 1．(多选)下列四个不等式中，解集为∅的是( ) A．－x2＋x＋1≤0 B．2x2－3x＋4＜0 C．x2＋3x＋10≤0 D．－x2＋4x－＞0(a＞0) 解析：选BCD 对于A，－x2＋x＋1≤0，对应的函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为 ∅； 对于B，2x2－3x＋4＜0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为∅； 对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为∅； 对于D，－x2＋4x－＞0(a＞0)，对应的函数开口向下，Δ＝16－4≤16－4× 2 ＝0，其解集为 ∅.故选B、C、D. 2．已知实数a满足不等式－30的解集． 解：方程(x－a)(x＋1)＝0的两根为－1，a. ①当a<－1，即－3－1}； ②当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}； ③当a>－1，即－1a}． 综上所述，当－3－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}； 当－1a}． 考点三 一元二次不等式的综合应用 考法(一) “三个二次”之间的关系及应用 [例1] 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－12ax的解集为( ) A．{x|－21} C．{x|03} [解析] 由题意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax， 整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0，① 又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－10(或ax2＋bx＋ 1 2 1 2 c<0)解集的端点，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． 考法(二) 一元二次不等式的恒(能)成立问题 题点1 一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题 [例2] 若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________． [解析] 当k＝0时，显然成立； 当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则 解得－30 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 题点2 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 [例3] 设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，则m的取 值范围是________________． [解析] f(x)<－m＋5即mx2－mx＋m－6<0， 故m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x) ＝g(3)＝7m－6<0. max 所以m<，则00， 且m(x2－x＋1)－6<0，所以m<. 因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可． 又m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪. [答案] (－∞，0)∪ [方法技巧] 在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再 由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即：已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) ≥a，即 min m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x) ≤a，即n≤a. max 题点3 不等式能成立或有解问题 [例4] 设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则( ) A．a≤2 B．a≥2 C．a≥ D．a≤ [解析] ∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，∴a≤x＋在x∈[1,2]上有解 ⇔a≤ ，x∈[1,2]， max ∵函数y＝x＋在[1,2]上单调递增， ∴f(x) ＝，∴a≤. max [答案] D [方法技巧] 解决不等式能成立问题的策略一般也是转化为函数最值，即：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x) ； min a≤f(x)能成立⇒a≤f(x) . max [针对训练] 1．已知关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是( ) A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B．(－∞，1]∪[3，＋∞) C．[－1,3] D．[－3,1] 解析：选D 关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则Δ＝(k－1)2＋ 4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1，故选D. 2．(2021·山东泰安一中月考)设m为实数，若函数f(x)＝x2－mx＋2在区间(－∞，2)上是减函 数，对任意的x，x∈，总有|f(x)－f(x)|≤4，则m的取值范围为( ) 1 2 1 2 A．[4,6] B．(4,6)C．(4,6] D．[4,6) 解析：选A 函数f(x)＝x2－mx＋2的对称轴为x＝，由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得 ≥2，∴m≥4. ∴∈且＋1－≤－1， ∴当x，x∈时， 1 2 f(x) ＝f(1)＝3－m，f(x) ＝f＝－＋2. max min 由∀x，x∈，总有|f(x)－f(x)|≤4， 1 2 1 2 ∴ ≤4，∴f(x) －f(x) ≤4， max max min ∴(3－m)－≤4， 即m2－4m－12≤0，解得－2≤m≤6. 综上，4≤m≤6，故选A. 一、创新思维角度——融会贯通学妙法 转化与化归思想在不等式中的应用 [典例] (1)已知0≤x≤2时，不等式－1≤tx2－2x≤1恒成立，则t的取值范围是________． (2)设f(x)＝2x2＋bx＋c，已知不等式f(x)<0的解集是(1,5)，若对任意x∈[1,3]，不等式f(x)≤2 ＋t有解，则实数t的取值范围是________． (3)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)b2；②2a>2b－1；③>－，能够使以上三个不等式同时成立的一个条件 是________．(答案不唯一，写出一个即可) 解析：使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0.当a>b>0时，①②显然成立；对于③，()2－ (－)2＝2－2b＝2(－)>0，故()2>(－)2.即>－，所以③成立． 答案：a>b>0(答案不唯一) 一、基础练——练手感熟练度 1．(2021·大连模拟)已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( ) A．p≤q B．p≥q C．pq 解析：选D 因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，所以p>q，故选D. 2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 解析：选A ∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<β<1，α－β<0，∴－2<α－β<0. 3．不等式2x2－x－3>0的解集是( )A. B．(－∞，－1)∪ C. D.∪(1，＋∞) 解析：选B 2x2－x－3>0可化为(x＋1)(2x－3)>0， 解得x>或x<－1，所以不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪.故选B. 4．若实数m，n满足m>n>0，则( ) A．－<－ B.＋> C.m>n D．m2)． 5．若∀x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析：由题意可知Δ＝m2－24≤0，解得－2≤m≤2. 答案：[－2，2] 二、综合练——练思维敏锐度 1．(多选)设a，b为非零实数，且aab B．a212， 故B中不等式不一定成立； 对于C，∵a0， ∴a31”是“a21时，a2－a3＝a2(1－a)<0，所以a20，所以a>1.综 上，“a>1”是“a20的解集 是( ) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：选C 关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax0可化为(x＋1)(x－3)<0， 解得－11，则关于x的不等式≥1的解集是( ) A. B. C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪ 解析：选D 由≥1得－1≥0，即≥0，∴[(a－1)x－1](x＋1)≥0且x≠－1， 解得x<－1或x≥， 则不等式的解集为(－∞，－1)∪，故选D. 7．(多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( ) A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．a＋b＋c>0 解析：选BCD 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象开口向下，所以a<0，故A错误； 易知2和－是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝2×＝－1<0，－＝2＋＝>0，又 a<0，所以b>0，c>0，故B、C正确； 因为＝－1，所以a＋c＝0，又b>0，所以a＋b＋c>0，故D正确，故选B、C、D. 8．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( ) A．(－3,5) B．(－2,4) C．[－3,5] D．[－2,4] 解析：选D 关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式的解 集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a,1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥ －2.又当 a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意．所以a的取值范围是[－2,4]，故选D.9．若00的解集是________________． 解析：原不等式等价于(x－a)<0， 由00在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是__________． 解析：令f(x)＝x2＋ax－2.∵f(0)＝－2，于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0， 解得a＞－，故a的取值范围为. 答案： 13．已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________． 解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋ 3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x＜4，解得0≤x＜4；当x ＜0时，由－x2－3x＜4，解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)． 答案：(－∞，4) 14．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)>0； (2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值． 解：(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，即a2－6a－3<0，解得3－2b的解集为(－1,3)， ∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3， ∴解得 故a的值为3±，b的值为－3. 15．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成 (1 成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．解：(1)由题意得，y＝100·100. 因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2. 所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)， 定义域为{x|0≤x≤2}． (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260， 化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤. 又0≤x≤2，所以x的取值范围是. 16．已知函数f(x)＝x2－x＋1. (1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意得Δ＝－4≤0，解得－4≤a≤4， ∴实数a的取值范围为[－4,4]． (2)由题意得∃x∈[1,2]，使≤x－成立． 令g(x)＝x－，x∈[1,2]，则g(x)在区间[1,2]上单调递增，∴g(x) ＝g(2)＝， max ∴≤，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(－∞，3]．
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