第五节第1课时系统知识牢基础——空间向量及其应用教案_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022届一轮复习讲练结合_第七章立体几何_第五节空间向量及其应用

第五节 空间向量及其应用 第1课时 系统知识牢基础——空间向量及其应用 知识点一 空间向量的概念及有关定理 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 (或平行向量) 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝ λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数 组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． [重温经典] 1．(教材改编题)若O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则( ) A．OA，OB，OC 共线 B．OA，OB 共线 C．OB，OC 共线 D．O，A，B，C四点共面 解析：选D ∵向量OA，OB，OC 不能构成空间的一个基底，∴向量OA，OB，OC共面，因此O，A， B，C四点共面，故选D. 2．已知正方体ABCDA B C D 中，点E为上底面A C 的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y 1 1 1 1 1 1 的值分别为( ) A．1,1 B．1， C.， ` D.，1 解析：选C AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，故x＝，y＝. 3．(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM 上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON＝OM，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则 下列等式成立的是( ) A．OM＝b－c B．AN＝b＋c－a C．AP＝b－c－a D．OP＝a＋b＋c 解析：选BD 对于A，利用向量的四边形法则，OM＝OB＋OC＝b＋c，A错； 对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得 AN＝ON－OA＝OM－OA＝－OA ＝OB＋OC－OA＝b＋c－a，B对； 对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN， 所以AN＝AP＝b＋c－a， 所以AP＝＝b＋c－a，C错； 对于D，OP＝OA＋AP＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D对，故选B、D. 4.如图所示，在长方体ABCDA B C D 中，O为AC的中点，用AB，AD，AA1 1 1 1 1 表示OC1，则OC1＝________________. 解析：∵OC＝AC＝(AB＋AD)，∴OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋ AA1. 答案：AB＋AD＋AA1 5.如图所示，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点， E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)． 解析：OE＝OA＋AE＝a＋AD ＝a＋(OD－OA)＝a＋OD ＝a＋×(OB＋OC)＝a＋b＋c. 答案：a＋b＋c 6．设a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，则x＝________. 解析：∵a∥b，∴＝＝，∴x＝. 答案： 7．(易错题)给出下列命题： ①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行； ②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； ③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa ＋yb＋zc； ④若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0. 其中为真命题的是________(填序号)． 解析：若a与b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a，b，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任 意一个向量p才一定能表示为p＝xa＋yb＋zc，故③不正确；据向量运算法则可知④正确． 答案：④ 知识点二 两个向量的数量积及其运算 1．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是[0，π]，若a，b＝，则称a与b互相垂直，记 作a⊥b. ②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cosa，b． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 2．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b). 1 2 3 1 2 3 向量表示 坐标表示 数量积 a·b ab ＋ ab ＋ ab 1 1 2 2 3 3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b 1 1 2 2 3 3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ab ＋ ab ＋ ab ＝ 0 1 1 2 2 3 3 模 |a| cosa，b＝ 夹角 a，b(a≠0，b≠0) [重温经典] 1．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选B 如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c， 则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC ＝AB·(AD－AC)＋AC·(AB－AD)＋AD·(AC－AB) ＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a) ＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a ＝0. 2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则|PC| 等于( ) A．6 B．6 C．12 D．144 解析：选C ∵PC＝PA＋AB＋BC， ∴PC 2＝PA2＋AB2＋BC2＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，∴|PC|＝12，故选C.3．(教材改编题)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________． 解析：cosa，b＝＝－. 答案：－ 4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________. 解析：∵a⊥b，∴－8＋6＋x＝0，解得x＝2， 故|b|＝＝2. 答案：2 5．已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________． 解析：∵a＋b＝(cos θ＋sin θ，2，cos θ＋sin θ)，a－b＝(cos θ－sin θ，0，sin θ－cos θ)， ∴(a＋b)·(a－b)＝(cos2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cos2θ)＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是. 答案： 6．(易错题)如图所示，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形 ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是 ________． 解析：∵BD＝BF＋FE＋ED， ∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，故|BD|＝. 答案： 知识点三 空间中的平行与垂直的向量表示 1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此 向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 l∥l n∥n⇔n＝λn 1 2 1 2 1 2 直线l，l 的方向向量分别为n，n 1 2 1 2 l⊥l n⊥n⇔n·n＝0 1 2 1 2 1 2 直线l的方向向量为n，平面α的法向 l∥α n⊥m⇔n·m＝0 量为m l⊥α n∥m⇔n＝λm α∥β n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 [重温经典] 1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )A．(－1,1,1) B．(1，－1,1) C. D. 解析：选C 设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则，化简得∴x＝y＝z，故选C. 2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平 面α平行，则z等于( ) A．3 B．6 C．－9 D．9 解析：选C ∵l⊥α，v与平面α平行， ∴u⊥ v ，即u·v ＝0， ∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0， ∴z＝－9. 3．平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于( ) A．2 B．－4 C．4 D．－2 解析：选C ∵α∥β，∴两平面的法向量平行， ∴－＝－＝，∴k＝4. 4．(教材改编题)已知平面α，β的法向量分别为n＝(2,3,5)，n＝(－3,1，－4)，则( ) 1 2 A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对 解析：选C ∵n≠λn，且n·n＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直． 1 2 1 2 5.如图所示，在正方体ABCDA B C D 中，O是底面正方形ABCD的中心， 1 1 1 1 M 是 DD 的中点，N 是 A B 的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是 1 1 1 ________． 解析：以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角 坐标系(图略)，设正方体的棱长为1， 则A(0,0,0)，M，O，N. ∵AM·ON＝·＝0， ∴ON与AM垂直． 答案：垂直 6．(易错题)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥BP交BP于 点F. (1)证明：PA∥平面EDB； (2)证明：PB⊥平面EFD.证明：如图所示，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空 间直角坐标系．设DC＝a. (1)连接AC交BD于点G，连接EG. 依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E. 因为底面ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为，所以PA＝(a,0，－a)，EG＝. 则PA＝2EG，故PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. (2)依题意得B(a，a,0)，所以PB＝(a，a，－a)． 又DE＝，故PB·DE＝0＋－＝0，所以PB⊥DE.由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥ 平面EFD. 知识点四 利用空间向量求空间角 1．异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝，其中a，b分别是直线a，b的方向向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的 法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cosa，n|＝. 3．二面角 (1)若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的 大小就是向量AB与CD的夹角，如图a. (2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n，平面β的法向量为n，n，n＝θ，则二 1 2 1 2 面角αlβ为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图b，c. [重温经典] 1．(易错题)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1，1)，则两平面所成的二面角为( ) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 解析：选C cosm，n＝＝＝，即m，n＝45°，∴两平面所成的二面角为45°或135°. 2．(教材改编题)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量， 若cosm， n＝－，则l与α所成的角为( ) A．30° B．60°C．120° D．150° 解析：选A 由于cosm，n＝－，所以m，n＝120°，所以直线l与α所成的角为30°. 3．在正方体ABCDA B C D 中，BB 与平面ACD 所成角的正弦值为( ) 1 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 解析：选B 设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在 1 直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则 B(1,1,0)，B (1，1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0，0,1)． 1 1 所以BB1＝(0,0,1)，AC＝(－1,1,0)，AD1＝(－1,0,1)． 令平面ACD 的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC＝－x＋y＝0，n·AD1＝－x＋ 1 z＝0，令x＝1，可得n＝(1,1,1)， 所以sin θ＝|cosn，BB1|＝＝. 4．在长方体ABCDA B C D 中，AB＝3，BC＝2，AA ＝1，则异面直线AB 与BC 所成角的余 1 1 1 1 1 1 1 弦值为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系． 易得A(2,0,0)，B(2,3,0)，B (2,3,1)，C (0,3,1)， 1 1 则AB1＝(0,3,1)，BC1＝(－2,0,1)． 设异面直线AB 与BC 所成的角为θ， 1 1 则cos θ＝|cosAB1，BC1|＝＝. 答案： 5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角为________． 解析：如图，建立空间直角坐标系，设 AB＝PA＝1，则A(0,0,0)， D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接 AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD， 所以CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以AD＝(0,1,0)， AE＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且AD，AE＝45°. 故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°. 答案：45°