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第三节 圆的方程
第1课时 系统知识牢基础——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
知识点一 圆的方程
1．圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心： ( a ， b ) 半径：r
圆心：
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
半径：r＝
2．点与圆的位置关系
点M(x，y)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
0 0
理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系
(x－a)2＋(y－b)2r2⇔点在圆上
0 0
三种情况 (x－a)2＋(y－b)2r2⇔点在圆外
0 0
(x－a)2＋(y－b)2r2⇔点在圆内
0 0
[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－
4F的符号，只有大于0时才表示圆．
3．谨记常用结论
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
(1)当F＝0时，圆过原点．
(2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
[重温经典]
1．(教材改编题)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
答案：D
2．(教材改编题)圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案：D3．(易错题)方程x2 ＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案：B
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
答案：A
5．(教材改编题)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为
______________．
解析：设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
由题意可得
解得所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝20.
答案：(x－1)2＋y2＝20
6．已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且与直线2x＋y－10＝0相切，则圆C的标准方程为
________________．
解析：由题意，设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为点B(4,2)在直线2x＋y－10＝0上，所以点B(4,2)是圆与直线2x＋y－10＝0的切点，
连接圆心C和切点的直线与切线2x＋y－10＝0垂直，
则k ＝，则BC的方程为y－2＝(x－4)，
BC
整理得x－2y＝0，
由线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0，
联立方程组解得
即圆心坐标为C(2,1)，
又由r＝＝＝，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
知识点二 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
相离 相切 相交
图形方程
Δ0 Δ＝0 Δ0
量 观点
化 几何
d>r dr d0)外一点M(x，y)引圆的两条切线，切线长为 .
0 0
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两
切点弦长b的积，即b＝.
[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
3．圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x，y)，B(x，y)，则有：|AB|＝ |x－x|＝ |
1 1 2 2 1 2
y－y|.
1 2
4．谨记常用结论
过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)交点的圆系方程为x2＋
y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
[重温经典]
1．(教材改编题)直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：选D 圆的方程化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离
为＝<2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D.
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤ ，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
故选C.
3．(教材改编题)圆C：x2＋y2－2x＝0被直线y＝x截得的线段长为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选C 圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y＝x的距离为d＝
＝，弦长为2·＝1，故选C.
4．(易错题)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
解析：选D 圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知
切线的斜率存在，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0， ∴＝2，解得k
＝.
∴切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
5．(教材改编题)设直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝
2，则a＝( )
A．－1或1 B．1或5
C．－1或3 D．3或5
解析：选B 由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为.所以圆心到
直线的距离为＝，解得a＝1或5.故选B.
6．已知直线l与圆x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为 (－
1,1)，则直线l的方程为__________．
解析：因为圆x2＋y2－4y＝0的圆心坐标为C(0,2)，又点P坐标为(－1,1)，所以直线CP的斜率
为k ＝＝1.
CP
又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，
所以AB⊥CP，故k ＝－1，即直线l的斜率为－1，
AB
因此，直线l的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.
答案：x＋y＝0
知识点三 圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系(两圆半径为r，r，d＝|OO|)
1 2 1 2
相离 外切 相交 内切 内含
图形| r － r | ＜ d ＜
1 2
量的关系 d＞r＋r d＝r＋r d＝|r－r| d ＜ | r － r|
1 2 1 2 1 2 1 2
r ＋ r
1 2
[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
2．谨记常用结论
圆C ：x2＋y2＋Dx＋E y＋F ＝0与C ：x2＋y2＋Dx＋E y＋F ＝0相交时：
1 1 1 1 2 2 2 2
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋Dx＋E y＋F ＋λ(x2＋y2＋Dx＋E y＋F )＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括
1 1 1 2 2 2
C )．
2
[重温经典]
1．(教材改编题)圆O：x2＋y2－2x＝0和圆O：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
1 2
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B 圆O 的圆心坐标为(1,0)，半径长r＝1，圆O 的圆心坐标为(0,2)，半径长r＝2，
1 1 2 2
故两圆的圆心距d＝，而r－r＝1，r＋r＝3，则有r－rr＋r，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．
1 2 1 2
5．(教材改编题)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝
________.
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝，
又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ ＝1⇒a＝1.
答案：1
6．(易错题)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.
解析：两圆的圆心距d＝，由两圆相切，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0.
答案：±2或0
