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第三节 二次函数与幂函数
核心素养立意下的命题导向
1.与不等式、方程等问题综合考查幂函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．
2．与一元二次方程、一元二次不等式相结合考查二次函数的图象与性质，凸显逻辑推理、数
学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．幂函数的定义
形如 y ＝ x α (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝
1,2,3，，－1时的情形．
2．五种幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
在(－∞，0)上单 在R上 在(－∞，0)
在R上 在(0，＋∞)上单
单调性 调递减，在(0，＋ 单调递 和(0，＋∞)
单调递增 调递增
∞)上单调递增 增 上单调递减
图象
过定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
3.二次函数解析式的三种形式
一般式 f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是
顶点式 f(x)＝ a ( x － m ) 2 ＋ n ( a ≠ 0) ，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
f(x)＝ a ( x － x )( x － x )( a ≠ 0) ，其中x，x 是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称
1 2 1 2
零点式
轴是x＝
4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
a>0 a<0
图象定义域 R
值域
奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
在上单调递增，在 [ －，＋ ∞ ）
单调性 在上单调递减，在[ － ，＋ ∞ ） 上单调递增
上单调递减
当x＝－时， 当x＝－时，
最值
y ＝ y ＝
min max
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(幂函数的概念)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1 C. D．2
答案：C
2．(幂函数的图象)
如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小
关系为( )
A．c0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是( )
答案：C
2．(对二次函数的单调性理解不到位)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的
取值范围是________．
答案：
1
3．(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)＝x ，若f(a＋1)b>c，故选
5 5 5 5
C.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
幂函数图象与性质的应用
(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准
确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
[针对训练]
1．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则( )
A．函数f(x)在定义域内为增函数
B．函数f(x)为偶函数
C．当x>1时，f(x)>1
D．当01时，f(x)＝>1，故C正确；
由函数图象知f(x)＝为“上凸函数”，故D正确，故选A、C、D.2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2 D．m≠
解析：选A 因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得
m＝2.
3．若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C．(－1,2) D.
1
解析：选D 因为函数y＝x 的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，
2
所以不等式等价于
解得即≤m<2.故选D.
考点二 求二次函数的解析式
[典例] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次
函数的解析式．
[解] 法一：利用一般式
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：利用顶点式
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：利用零点式
由已知f(x)＋1＝0的两根为x＝2，x＝－1，
1 2
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1(a≠0)．
又函数有最大值y ＝8，即＝8.
max
解得a＝－4或a＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[方法技巧] 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：[针对训练]
1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式
f(x)＝________________.
解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
依题意得解得
因此所求解析式为f(x)＝x2＋x－.
法二：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵二次函数f(x)图象的顶点坐标是(－2，－1)，
∴f(x)＝a(x＋2)2－1.
∵图象经过点(1,0)，
∴f(1)＝a(1＋2)2－1＝9a－1＝0，∴a＝，
∴f(x)＝(x＋2)2－1＝x2＋x－.
答案：x2＋x－
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都
有f(2－x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象经过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
考点三 二次函数的图象与性质
考法(一) 二次函数的图象识别
[例1] (多选)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则( )
A．f(m＋1)＞0 B．f(m＋1)＜0
C．f(－2－m)＞0 D．f(－2－m)＜0[解析] 因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a＞0，
所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)＜0，得－1＜m＜0，
所以m＋1＞0＞－，
所以f(m＋1)＞f(0)＞0，
f(－2－m)＝f(m＋1)＞0，
故选A、C.
[答案] AC
[方法技巧] 识别二次函数图象应学会“三看”
考法(二) 二次函数的最值问题
[例2] (1)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1,2]上有最大值4，则a的值为________．
(2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
答案：或－3
(2)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小
值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝
1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2
－2t＋2.
综上可知，f(x) ＝
min[方法技巧]
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值情况
m<－0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) .
max min
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若xf(x)
1 2 1 2
C．f(x)1时，f(x) ＝f(1)＝a，所以a＝2.
max
综上可知，a＝－1或a＝2.
答案：－1或2
创新命题视角——学通学活巧迁移
二次函数零点分布的类型及解题方法
一、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点分布及条件
零点的分布
图象 满足条件
(m，n，p为常数)
x1，a>.
综上可得，正数a的取值范围是.
3．已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是
________．
解析：由题意可知，Δ＝4(a－2)2－4a＝4a2－20a＋16＝4(a－1)(a－4)．
当Δ<0，即10在R上恒成立，符合题意；当Δ＝0，即a＝1或a＝4
时，x2－2(a－2)x＋a>0的解为x≠a－2，显然当a＝1时，不符合题意，当a＝4时，符合题意；
当Δ>0，即a<1或a>4时，∵x2－2(a－2)x＋a>0对于x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)恒成立，
∴
解得34，∴41时，f(x)在区间上的最小值为1
解析：选BCD 函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因
为f(x)在区间上单调递减，所以f(x)在上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)
在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，
f(－1)>f(2)，所以f(x)在上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间上单调
递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当
01时，f(x)在区间上单调递减，在
上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(1)＝1，D正确，故选B、C、D.
4．设a，b满足0ab，D错
误；A中，指数函数y＝ax(0ab，A错误；B中，指数函数y＝
bx(0bb，B错误．故选C.
5．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向
上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口
向下，故可排除D；对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴
的右侧，故可排除B.故选C.
6．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( )
A．{0，－3} B．[－3,0]
C．(－∞，－3]∪[0，＋∞) D．{0,3}
解析：选A ∵函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝[－2(m＋3)]2－
4×3×(m＋3)＝0，解得m＝－3或m＝0，∴实数m的取值范围为{0，－3}．故选A.
7．已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x，x 是f(x)的两个零点，且|x－x|＝2.
1 2 1 2
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x>0，求g(x)＝的最大值．
解：(1)∵二次函数满足f(x)＝f(－4－x)，
∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2，
∵x，x 是f(x)的两个零点，且|x－x|＝2，
1 2 1 2
∴或
设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．
由f(0)＝3a＝3得a＝1，∴f(x)＝x2＋4x＋3.
(2)由(1)得g(x)＝＝＝(x>0)，
∵x>0，∴≤＝1－，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．
∴g(x)的最大值是1－.
二、综合练——练思维敏锐度
3m－m2
1．幂函数y＝x|m－1|与y＝x (m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值
为( )
A．0 B．1和2
C．2 D．0和3
解析：选C 由题意可得解得m＝2，故选C.
2．若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是(
)
A．f(x)＝x2－2x＋1 B．f(x)＝x2－1
C．f(x)＝2x D．f(x)＝2x＋1
解析：选A 由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝≠0，只有f(x)＝x2－2x＋1满足题意，故选A.
3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选A 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又
f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(－1,7)，则a，b的
值分别是( )
A．2,4 B．－2,4
C．2，－4 D．－2，－4
解析：选C ∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，∴－＝1.①
又图象过点P(－1,7)，
∴a－b＋1＝7，即a－b＝6，②
联立①②解得a＝2，b＝－4，故选C.
5．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋ax－在区间上的最大值是，则实数a的值为( )
A．3 B．－6
C．－2 D.
解析：选BD 函数f(x)＝－x2＋ax－＝－2＋(a2－a)的图象开口向下，对称轴方程为x＝，
①当0≤≤1，即0≤a≤2时，
f(x) ＝f＝(a2－a)，
max
则(a2－a)＝，解得a＝－2或a＝3，
与0≤a≤2矛盾，不符合题意，舍去；
②当<0，即a<0时，f(x)在上单调递减，f(x) ＝f(0)＝－，即－＝，解得a＝－6，符合题意，B
max
正确；
③当>1，即a>2时，f(x)在上单调递增，
f(x) ＝f(1)＝a－1，即a－1＝，
max
解得a＝，符合题意，D正确，故选B、D.
6.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m
与n的取值情况为( )
A．－10时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，
∴00在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2) ，x∈(1,4)．
max
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以f(x)4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，
∴a≤.又a>4，∴a不存在．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
g(a)＝f＝－－a＋3≥0，
∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，∴－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.
又a<－4，∴－7≤a<－4.
综上可知，a的取值范围为[－7,2]．
12．已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.
(1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，
所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)]．
又已知值域为[1，a]，
所以
解得a＝2.
(2)由x|f(x)－x2|≤1，得－＋≤a≤＋.(*)
令＝t，t∈[2,3]，
则(*)可化为－t2＋t≤a≤t2＋t.
记g(t)＝－t2＋t＝－2＋，
则g(t) ＝g＝，所以a≥；
max
记h(t)＝t2＋t＝2－，
则h(t) ＝h(2)＝7，所以a≤7，
min
综上所述，≤a≤7.
所以实数a的取值范围是.
三、自选练——练高考区分度
1．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意得f(x)＝－10＋2，x∈，令t＝sin x，则f(x)＝g(t)＝－10(t＋)2＋2，令g(t)＝
－，得t＝－1或t＝0，由g(t)的图象，可知当－≤t≤0时，f(x)的值域为，所以－≤m≤0.故选
B.
2．已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的
大小关系为( )
A．a1，
2
3
c＝f＝2 ＝>a.故a，b，c的大小关系是a
