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第三节 直线、平面平行的判定与性质
核心素养立意下的命题导向
1.结合立体几何的定义、公理，会推导直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质定
理，凸显逻辑推理的核心素养．
2．常与求几何体的体积计算相结合，会应用直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理、
性质定理证明空间的线、面平行关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
平面外一条直线与此平面
a⊄α，b⊂α，
判定定理 内的一条直线平行，则该
a∥b ⇒a∥α
直线平行于此平面
一条直线和一个平面平
行，则过这条直线的任一 a∥α，a⊂β，
性质定理
平面与此平面的交线与该 α∩β＝b⇒a∥b
直线平行
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
一个平面内的两条相交直线 a⊂α，b⊂α，
判定定理 与另一个平面平行，则这两 a∩b＝P，a∥β，
个平面平行 b∥β⇒α∥β
两个平面平行，则其中一个
α∥β，a⊂α⇒
平面内的直线平行于另一个
a∥β
平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第
α∥β，α∩γ＝a，
三个平面相交，那么它们的
β∩γ＝b⇒a∥b
交线平行3.谨记两个结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(直线与平面平行的定义)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交
解析：选D 因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线
都不相交，故选D.
2．(面面平行的判定定理)设α，β是两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，“m∥β”是
“α∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β α∥β；当
α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必
要不充分条件．
3．(平行关系的判定)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中
正确的是( )
A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥α
C．m⊥α，m⊥β，则α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
解析：选C A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据
线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D不正确．
4．(面面平行的性质定理)设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个
条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.
如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是
________(填序号)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公
共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
答案：①或③
二、易错点练清
1．(忽视面面平行的条件)下列条件中，能判断两个平面平行的是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析：选D 由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个
平面平行，那么这两个平面平行．故可知D符合．
2．(对空间平行关系相互转化的条件理解不到位)设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，
若m⊂α，则“l∥α”是“l∥m”的________条件．
解析：由m⊂α，l∥α不能推出l∥m；由m⊂α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必
要条件．
答案：既不充分也不必要
3．(忽视线面平行的条件)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a与α的位置关系是
______________．
(2)已知直线 a，b和平面 α，β，若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是
______________．
(3)若α∥β，直线a∥α，则a与β的位置关系是___________________________________．
解析：(1)由直线与平面平行的判定定理知，a可能平行于α，也可能在α内．
(2)当a，b相交时，α∥β；当a，b平行时，α，β平行或相交．
(3)当a在β外时，a∥β；当a在β内时，a∥α也成立．
答案：(1)a∥α或a⊂α (2)平行或相交 (3)a∥β或a⊂β
考点一 直线与平面平行的判定与性质
考法(一) 线面平行的判定
[例1]如图所示，在空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且
EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.
[证明] 法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.
在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，
又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，
所以PG∥平面ABCD.
在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，
所以GQ∥AD，
又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以GQ∥平面ABCD.
因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，
所以平面PQG∥平面ABCD.
又PQ⊂平面PQG，
所以PQ∥平面ABCD.
法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH.因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，
又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，
所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.
在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.
又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，
所以PQ∥平面ABCD.
考法(二) 线面平行的性质定理的应用
[例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一
点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM
于GH.
求证：AP∥GH.
[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴AP∥MO.
又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
且AP⊂平面PAHG，
∴AP∥GH.
[方法技巧]
线面平行问题的解题关键
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思
路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找
比例式证明两直线平行．
(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来
确定交线．
[针对训练] 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB
＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
证明：(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.
由于CB＝CD，所以CO⊥BD.
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO⊂平面EOC，EC⊂ 平面EOC，
所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.
(2)如图，取AB的中点N，连接DN，MN.
因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
因为△ABD为正三角形，
所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，
因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，
故平面DMN∥平面BEC，
又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.考点二 平面与平面平行的判定与性质
[典例] 如图，在三棱柱ABCA B C 中，E，F，G，H分别是AB，AC，
1 1 1
A B ，A C 的中点，求证：
1 1 1 1
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA ∥平面BCHG.
1
[证明] (1)∵在△A B C 中，G，H分别是A B ，A C 的中点，
1 1 1 1 1 1 1
∴GH∥B C .
1 1
又∵B C ∥BC，∴GH∥BC，
1 1
∴GH与BC确定一个平面α，
∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
易证A G綊EB，∴四边形A EBG是平行四边形，
1 1
∴A E∥GB.
1
∵A E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.
1
∴A E∥平面BCHG.
1
∵A E∩EF＝E，且A E⊂平面EFA ，EF⊂平面EFA ，
1 1 1 1
∴平面EFA ∥平面BCHG.
1
[方法技巧]
1．判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．
2．面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
[提醒] 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相
交直线．
[针对训练]
1.如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形 EFGH为截面，则四边
形EFGH的形状为________．
解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面
EFGH∩平面 DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形
EFGH是平行四边形．
答案：平行四边形
2.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
(2)若AD＝6，求三棱锥PBMN的体积．
解：(1)证明：如图，连接BD.
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为正三角形．
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD.
∵AD⊥CD，CD⊂平面ABCD，BM⊂平面ABCD，
∴BM∥CD.
又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD.
∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD.
又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD.
又BM⊂平面BMN，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
(2)在(1)中已证BM⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，BM⊂平面ABCD，
∴BM⊥平面PAD.
又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3.
∵M，N分别为AD，PA的中点，PA＝PD＝AD＝3，
∴S ＝S ＝××(3)2＝.
△PMN △PAD
∴V ＝V ＝S ·BM
PBMN BPMN △PMN
＝××3＝.
考点三 平行关系的综合
[典例] 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点
D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.
(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的
角为60°，求EF的长．
[解] (1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，
平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝HD，
且HD＝AC，
∵平面α∥平面β，
平面α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥HD，
∴四边形ACDH是平行四边形．
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，
连接EG，FG，BH.
∵AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.
综合①②可知，EF∥平面β.
(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝ ＝，
即EF＝或EF＝.
[方法技巧]
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常
用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角
形来解决．
[针对训练] 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形
ABCD是矩形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．
(1)求证：PE∥平面BFG；
(2)若PD＝AD＝1，AB＝2，求点C到平面BFG的距离．
解：(1)证明：如图，连接DE.
∵在矩形ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE∥BF.
∵G是PA的中点，∴FG∥PD.
∵PD⊄平面BFG，DE⊄平面BFG，FG⊂平面BFG，
BF⊂平面BFG，
∴PD∥平面BFG，DE∥平面BFG.
又PD∩DE＝D，∴平面PDE∥平面BFG.
∵PE⊂平面PDE，∴PE∥平面BFG.
(2)法一：∵PD⊥平面ABCD，FG∥PD，∴FG⊥平面ABCD.
过点C在平面ABCD内，作CM⊥BF，垂足为M，则FG⊥CM.
∵FG∩BF＝F，∴CM⊥平面BFG，
∴线段CM的长是点C到平面BFG的距离．
在矩形ABCD中，∵F是AD的中点，AD＝1，AB＝2，△BCM∽△FBA，
∴＝.
∵FB＝＝，BC＝AD＝1，
∴CM＝，即点C到平面BFG的距离为.
法二：设点C到平面BFG的距离为d.
在矩形ABCD中，AF＝AD＝，AB＝2，
∴BF＝＝.
∵PD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，∴PD⊥BF.
∵FG∥PD，∴FG⊥BF，又FG＝PD＝，
∴△BFG的面积为BF·FG＝.
∵△BCF的面积为BC·AB＝1，V ＝V ，
CBFG GBCF
∴×d＝×1×，解得d＝，
即点C到平面BFG的距离为.
创新考查方式——领悟高考新动向
1.如图，已知底面边长为且高为1的正三棱柱ABCA B C ，过顶点A作平
1 1 1
面α与侧面BCC B 交于EF，且EF∥BC，若∠FAB＝x，四边形BCEF
1 1
的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选C 由题意得，在Rt△ABF中，BF＝ABtan x，所以y＝f(x)＝BC·BF＝BC·ABtan x＝3tan x.由正切函数的图象及性质，可得C正确．
2．(多选)如图，正方体ABCDA B C D 的棱长为1，E，F是线段B D 上
1 1 1 1 1 1
的两个动点，且EF＝，以下结论正确的为( )
A．AC⊥BF
B．三棱锥ABEF的体积为定值
C．EF∥平面ABCD
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
解析：选 ABC 对于 A，∵ABCDA B C D 为正方体，易得 AC⊥平面 BDD B ，
1 1 1 1 1 1
∵BF⊂平面BDD B ，∴AC⊥BF，故A正确；对于B，
1 1
∵E，F，B在平面BDD B 上，∴A到平面BEF的距离为定值，∵EF＝，又B到直线EF的距
1 1
离为1，∴△BEF的面积为定值，∴三棱锥ABEF的体积为定值，故B正确；
对于C，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，
EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于D，设上底面中心为O，当F与B 重合
1
时，E与O重合，易知两异面直线所成的角是∠A AO；当E与D 重合时，F与O重合，连接
1 1
BC ，易知两异面直线所成的角是∠OBC ，可知，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成
1 1
的角不为定值，故D错误．
3.如图所示，在正四棱柱ABCDA B C D 中，E，F，G，H分别是棱CC ，
1 1 1 1 1
C D，DD，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运
1 1 1
动，则M只需满足条件______________时，就有MN∥平面B BDD .(注：请
1 1
填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
解析：如图，连接HN，FH，FN，则FH∥DD，HN∥BD，
1
∵FH∩HN＝H，DD∩BD＝D，
1
∴平面FNH∥平面B BDD ，若M∈FH，则MN⊂平面 FNH，∴MN∥
1 1
平面B BDD .
1 1
答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)
4．(2021·福建漳州适应性测试)已知正方体ABCDA B C D 的棱长为3，点N是棱A B 的中
1 1 1 1 1 1
点，点T是棱CC 上靠近点C的三等分点，动点Q在正方形DDAA (包含边界)内运动，且
1 1 1
QB∥平面DNT，则动点Q所形成的轨迹的长为________．
1
解析：由于QB∥平面DNT，所以点Q在过B且与平面DNT平行的
1 1
平面上，如图，取DC的中点E ，取线段AA 上一点G，使A G＝1，易
1 1 1
证平面BGE ∥平面DNT.延长BE ，AD，交于点E，连接EG，交DD
1 1 1 1
于点I，显然，平面BGE∩正方形DDAA ＝GI，所以点Q的轨迹是线
1 1
段GI，易求得GI＝.
答案：
5．在三棱锥PABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使
截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过E，F分别
作EN∥PB，FM∥PB，分别交AB，BC于点N，M，连接MN，则四边形
EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM
＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
答案：8
1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为( )
A．若α⊥β，l⊥α，则l∥β B．若a⊥l，b⊥l，则a∥b
C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
解析：选ABC 对于A，由α⊥β，l⊥α，可知l⊂β或l∥β，故A错误；对于B，当a⊥l，b⊥l时，
直线a与b可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错误；对于C，当α⊥β，l⊂α时，l可能
与平面β平行，也可能斜交，故C错误；对于D，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故
D正确．
2．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是(
)
A．若l上两点到α的距离相等，则l∥α
B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
解析：选BC 对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α
平行，所以A错误；对于B，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，
又m⊂β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以
m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以
D错误，故选B、C.
3．(2021·潍坊期中)m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由已知条件m∥α，结合线面平行的性质定理可得，过直线m作一平面β交α于
直线l，则m∥l，从而存在l⊂α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，从而有n∥α.反之，不一定成立，
m，n可能相交、平行或异面．所以m∥n是n∥α的充分不必要条件，故选A.
4．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有
( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
解析：选C 如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.
∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.
又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2条棱与平面EFGH平行．因此选C.
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A．②③ B．③④
C．①④ D．①②
解析：选A 对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的；易知②③正确；对
于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的．故选A.
6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，
则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
解析：选D m∥α，m∥β，则有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；
由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A∉l，α∩β＝l，
所以AB∥β，所以C成立；C点可以在平面β内，AC与直线l异面垂直，如图
所示，此时AC⊥β不成立，所以D不一定成立．
7.如图所示，三棱柱ABCA B C 的侧面BCC B 是菱形，设D是A C 上的
1 1 1 1 1 1 1
点且A B∥平面B CD，则A D∶DC 的值为________．
1 1 1 1
解析：如图，设BC ∩B C＝O，连接OD.
1 1
∵A B∥平面B CD且平面A BC ∩平面B CD＝OD，∴A B∥OD，
1 1 1 1 1 1
∵四边形BCC B 是菱形，
1 1
∴O为BC 的中点，
1
∴D为A C 的中点，则A D∶DC ＝1.
1 1 1 1
答案：1
8．(2021·苏州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填序号)．
解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或
α与β相交，故④错误．
答案：②
9．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得
出AB∥平面MNP的图形的序号是________．
解析：①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图)．
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
在②③中不能判定AB∥平面MNP.
答案：①④
10.(2021·武汉模拟)如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四
边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点．
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．
解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的交点为O(图略)，则O是AC的
中点．
又E是PA的中点，连接EO，
则EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO，
又EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD.
(2)设三棱锥EABD的体积为V ，高为h，四棱锥PABCD的体积为V，
1
则三棱锥EABD的体积V ＝×S ×h，
1 △ABD
因为E是PA的中点，所以四棱锥PABCD的高为2h，所以四棱锥PABCD的体积V＝×S
四边
×2h＝4×S ×h＝4V ，所以(V－V )∶V ＝3∶1，
形ABCD △ABD 1 1 1
所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.
11.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，
AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，
则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，
MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
12．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F分别在BC，AD上，
EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.
若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且AP＝λPD，使得CP∥平面ABEF？若
存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时λ＝.
理由如下：
当λ＝时，AP＝PD，可知＝，
如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接EM，PC，
则有＝＝，
又BE＝1，可得FD＝5，
故MP＝3，
又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP綊EC，
故四边形MPCE为平行四边形，所以CP∥ME，
又ME⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，
故有CP∥平面ABEF.
