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第2课时 精研题型明考向——平面向量的数量积及应用
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·全国卷Ⅲ·考查数量积的运算、模)
已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选D 由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cosa，a＋b
＝＝＝，故选D.
2．(2020·全国卷Ⅱ·考查向量垂直)
已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
解析：选D 法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝.
对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；
对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；
对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；
对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.
法二：不妨设a＝，b＝(1,0)，则a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a
－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D.
法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示：
由图易知，只有选项D满足题意，故选D.
3．(2019·全国卷Ⅱ·考查数量积的坐标运算)
已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C ∵BC＝AC－AB＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|BC|＝1，∴＝1，解得t＝3，∴BC＝(1,0)，
∴AB·BC＝2×1＋3×0＝2.
4．(2019·全国卷Ⅰ·考查两向量的夹角)
已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，即a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.
5．(2020·新高考全国卷Ⅰ·考查数量积的范围)
已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
解析：选A 法一：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面
直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)．
设P(x，y)，则AP＝(x，y)，
AB＝(2,0)，且－1b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5×c×，
解得c＝1(舍去负值)，
故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×＝.
[方法技巧]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，则运用向量共线或垂直或等式成立
等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路
是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[针对训练]
已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos
A)，且m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求边c的长．
解：(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B
＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C,2sin Ccos C＝sin C，sin C≠0，
所以cos C＝.又0sin A，∴B>A，故A为锐角，
∴cos A＝，
∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，
16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，
∴AB·BC＝accos(π－B)＝－accos B＝－ac≥－5.
故AB·BC的最小值为－5.
二、自选练——练高考区分度
1.△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，AE＝λAB，AF＝μAC，M为线
段EF的中点，若|AM|＝1，则λ＋μ的最大值为( )
A. B．
C．2 D．
解析：选C AM＝(AE＋AF)
＝AB＋AC，
∴|AM|2＝2＝λ2＋μ2＋×4cos 120°＝λ2＋μ2－λμ＝1，
∴1＝λ2＋μ2－λμ＝(λ＋μ)2－3λμ≥(λ＋μ)2－(λ＋μ)2＝(λ＋μ)2，
∴λ＋μ≤2，当且仅当λ＝μ＝1时等号成立．故选C.
2．(2021·河北部分重点中学联考)已知向量a，b，c满足：a＝(4,0)，b＝(4,4)，(a－c)·(b－c)＝0，
则b·c的最大值是( )
A．24 B．24－8
C．24＋8 D．8
解析：选C 设OA＝a＝(4,0)，OB＝b＝(4,4)，OC＝c＝(x，y)，则a－c＝(4－x，－y)，b－c＝(4－
x,4－y)，又知(a－c)·(b－c)＝0，∴(4－x)2－y(4－y)＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝4，∴点C的轨迹
方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4.
而b·c＝4x＋4y，令z＝4x＋4y，由平面几何知识可得当直线4x＋4y－z＝0与圆(x－4)2＋(y－
2)2＝4相切时，z取得最大值或最小值，即z ＝24＋8，故选C.
max
3．已知平面向量PA，PB满足|PA|＝|PB|＝1，PA·PB＝－.若|BC|＝1，则|AC|的最大值为( )A.－1 B．－1
C.＋1 D．＋1
解析：选D 因为|PA|＝|PB|＝1，PA·PB＝－，所以cos∠APB＝－，即
∠APB＝，由余弦定理可得AB＝＝.如图，建立
平面直角坐标系，则A，B，由题设点C(x，y)在以B为圆心，半径为1的
圆上运动，结合图形可知，点C(x，y)运动到点D时，有|AC| ＝|AD|＝|
max
AB|＋1＝＋1.故选D.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)BA·BC＝cCB·CA.
(1)求角B的大小；
(2)若|BA－BC|＝，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|BA－BC|＝，所以|CA|＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋)．
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
第四节 复数
核心素养立意下的命题导向
1.通过方程的解，认识复数．
2．结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的
认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：
2．复数的有关概念复数相等 a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔ a ＝ c 且 b ＝－ d (a，b，c，d∈R)
向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝
复数的模
(r≥0，a，b∈R)
3.复数的几何意义
复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
的概念
实轴、 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以
虚轴 外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的
复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z ( a ， b ) 平面向量OZ
几何表示
4.复数的运算法则
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
1 2
(1)z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ；
1 2
(2)z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ( a － c ) ＋ ( b － d )i ；
1 2
(3)z·z＝(a＋bi)(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
1 2
(4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
5．复数运算的几个重要结论
(1)|z＋z|2＋|z－z|2＝2(|z|2＋|z|2)．
1 2 1 2 1 2
(2)·z＝|z|2＝||2.
(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.
(4)(1±i)2＝±2i.
(5)＝i；＝－i.
(6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(复数的概念)复数z＝的虚部为( )
A. B．i
C．－ D．－i
解析：选A z＝＝＝＝＋i.故选A.
2．(复数的模)复数z＝(1＋i)2，则|z|＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 由题得z＝2i，所以|z|＝2.故选C.3．(复数的几何意义)复数z＝在复平面上的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A z＝＝＝2＋i，在复平面上的对应点为，位于第一象限．故选A.
4．(复数的运算)若复数z满足z·i＝1＋i(i是虚数单位)，则z的共轭复数是________．
解析：由z·i＝1＋i，得z＝＝＝1－i，
∴z＝1＋i.
答案：1＋i
二、易错点练清
1．(概念理解错误)i为虚数单位，复数的虚部是( )
A．－1 B．1
C．i D．－i
解析：选B 由题意得，＝＝＝i，所以复数的虚部是1.故选B.
2．(混淆绝对值与复数模的含义)若z＝3＋4i，则|z|＝( )
A. B．5
C．7 D．25
解析：选B 因为z＝3＋4i，
所以|z|＝＝＝5.
考点一 复数的概念
1．(2020·浙江高考)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C 因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2，故选C.
2．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：选C 因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，
所以|z|＝＝，故选C.
3．(多选)已知i为虚数，且复数z满足z(1＋2i)＝1＋i3，则下列关于复数z的命题中正确的为(
)
A．复数z的虚部为－
B．|z|＝
C．复数z对应的点在第三象限
D．z<1＋2i
解析：选AC z＝＝＝，则复数z的虚部为－，故A正确；
|z|＝ ＝，故B错误；
复数z对应的点为，为第三象限内的点，故C正确；
虚数不能比较大小，故D错误．故选A、C.
4．(多选)(2021年1月新高考八省联考卷)设z，z，z 为复数，z≠0.下列命题中正确的是(
1 2 3 1
)
A．若|z|＝|z|，则z＝±z
2 3 2 3
B．若zz＝zz，则z＝z
1 2 1 3 2 3
C．若 ＝z，则|zz|＝|zz|
2 3 1 2 1 3
D．若zz＝|z|2，则z＝z
1 2 1 1 2
解析：选BC 由复数的形式知选项A显然不正确；
当zz＝zz 时，有zz－zz＝z(z－z)＝0，又z≠0，所以有z＝z，故选项B正确；
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3
当 ＝z 时，则z＝，
2 3 2 3
|zz|2－|zz|2＝(zz)( )－(zz)( )＝zz －zz ＝0，故选项C正确；
1 2 1 3 1 2 12 1 3 13 1 212 1 313
当zz＝|z|2时，则zz＝|z|2＝z ⇒zz－z ＝z(z－)＝0，又z≠0，所以 ＝z，故选项D不正
1 2 1 1 2 1 11 1 2 11 1 2 1 1 1 2
确．
5．已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为________．
解析：易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.
答案：3
[方法技巧]
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数
的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反
数，即得原复数的共轭复数．复数z＝a＋bi与z＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
1 2
(3)复数是实数的条件：
①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；
②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0.
(4)复数是纯虚数的条件： ①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R); ②z是纯虚数⇔z＋
＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0.
考点二 复数代数形式的运算
[典题例析]
(1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)＝( )
A．－5i B．5i
C．－5 D．5
(2)(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )A．0 B．1
C. D．2
(3)(2020·新高考全国卷Ⅰ)＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[解析] (1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故选B.
(2)法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2－2i|＝2.故选D.
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D.
(3)＝＝＝－i.
[答案] (1)B (2)D (3)D
[方法技巧] 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与
加减法 实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i的看作
乘法 一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i
除法 的幂写成最简形式
[针对训练]
1．复数＋的共轭复数的虚部为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵＋＝＋＝＋＝－i＋＝＋i，
∴复数＋的共轭复数为－i，虚部为－.故选B.
2．计算：
(1)＝________；
(2)＋＝________.
解析：(1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＋＝－＝＝－1.
答案：(1)＋i (2)－1
考点三 复数的几何意义
[典例] (1)(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝( )
A．1＋2i B．－2＋iC．1－2i D．－2－i
(2)在复平面内，复数(i为虚数单位)对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析] (1)由题意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.
(2)＝＝＋i.
∵该复数对应的点位于第一象限，
∴∴解得m>1，
∴实数m的取值范围是(1，＋∞)，故选D.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
复数几何意义问题的解题策略
(1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ―→相互联系，即 z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，
b)⇔OZ―→.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一
起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[针对训练]
1．复数z＝在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵z＝＝＝＝－，∴在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.
2．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是( )
A．3 B．2
C．1＋2 D．4
解析：选D |z|＝1表示单位圆上的点， 那么|z＋2＋i|表示在单位圆上的点到(－2，－1)的距
离，求最大值转化为点(－2，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－2，－1)到原点的距
离为3，所以最大值为4.
3．设复数z满足|z－i|＝|z＋i|(i为虚数单位)，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论
一定正确的是( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x＝0 D．y＝0
解析：选D ∵满足|z－i|＝|z＋i|的点为复平面内到点(0，－1)和(0,1)的距离相等的点的集合，
∴Z(x，y)的轨迹为x轴，其方程为y＝0.故选D.
1．已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为( )A．－2i B．2i
C．2 D．－2
解析：选C z＝＝＝＝2＋2i，虚部即为i的系数，为2，故选C.
2．设复数z＝，f(x)＝x2 020＋x2 019＋…＋x＋1，则f(z)＝( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
解析：选C ∵z＝＝＝＝－i，
∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2 020＋(－i)2 019＋…＋(－i)＋1.
∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，
∴f(z)＝505×0＋1＝1.故选C.
3．若z＝＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
解析：选C 因为z＝＋(m－2)i为纯虚数，所以解得m＝－3，故选C.
4．复数z＝在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题得复数z＝＝＝＝1－i，所以复数z对应的点位于复平面第四象限，故选D.
5．“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 当a＝－2时，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，则z为纯虚数，
可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充分条件；
当z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i为纯虚数时，有解得a＝－2，
可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的必要条件．
综上所述，“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充要条件．
6．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
解析：选A ∵z＝a＋i，∴＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，
∴a2＝1，∴a＝±1，故选A.
7．已知m∈R，复数z＝1＋3i，z＝m＋2i，且z· 为实数，则m＝( )
1 2 1 2
A．－ B．C．3 D．－3
解析：选B 因为z· ＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i为实数，所以3m－2＝0，解得m
1 2
＝.故选B.
8．已知复数z，z 在复平面内的对应点关于实轴对称，z＝3－i(i为虚数单位)，则＝( )
1 2 1
A.－i B．－＋i
C．－－i D．＋i
解析：选A 由题意，复数z，z 在复平面内的对应点关于实轴对称，z＝3－i，则z＝3＋i，则
1 2 1 2
根据复数的运算，得＝＝－i.
9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且满足(a＋i)2＝bi5，则|z|＝( )
A．5 B．
C．3 D．
解析：选B 由已知得(a＋i)2＝bi，
所以a2－1＋(2a－b)i＝0，所以a2－1＝0且2a－b＝0，
解得a＝1，b＝2或a＝－1，b＝－2，
所以|z|＝＝.
10．设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵|z－i|≤2，
∴复数z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上及其内部
(如图)．
∴|z|的最大值为3.
11．已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是－2＋i,1－i,2＋2i，
则点D对应的复数为( )
A．4－i B．－3－2i
C．5 D．－1＋4i
解析：选D 由题得A(－2,1)，B(1，－1)，C(2,2)，
设D(x，y)，
则AB＝(3，－2)，DC＝(2－x,2－y)，
因为AB＝DC，所以
解得x＝－1，y＝4.
所以点D的坐标为(－1,4)，
所以点D对应的复数为－1＋4i.
12．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则( )
A．|z|＝
B.＝－C．复数z的实部为－1
D．复数z对应复平面上的点在第二象限
解析：选BD 因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝＝＝－＋i，所以|z|＝ ＝，故A错误；＝－
－i，故B正确；复数z的实部为－，故C错误；复数z对应复平面上的点在第二象限，故D正
确．
13．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝，则复数z在复平面内的点到原点的距离为(
)
A. B．
C. D．
解析：选B 由z－2i＝，
得z＝2i＋＝2i＋＝＋i，
∴复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为 ＝.
14．(多选)已知集合M＝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A．(1－i)(1＋i) B．
C. D．(1－i)2
解析：选BC 根据题意，M＝，
∴M＝.
选项A中，(1－i)(1＋i)＝2,2∉M；
选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；
选项D中，(1－i)2＝－2i∉M，故选B、C.
15．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z，z 满足|z|＝|z|＝2，z＋z＝＋i，则|z－z|＝_______.
1 2 1 2 1 2 1 2
解析：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝－a＋(1－b)i，则即
1 2
所以|z－z|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，
1 2
所以|z－z|＝2.
1 2
法二：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.
因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，
所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，
即|z－z|＝2.
1 2
法三：设复数z，z 在复平面内分别对应向量OA，OB，则z＋z 对应向量
1 2 1 2
OA＋OB.
由题知|OA|＝|OB|＝|OA＋OB|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四
边形OACB，
则z－z 对应向量BA.
1 2
由OA＝AC＝OC＝2，
可得BA＝2OAsin 60°＝2.故|z－z|＝|BA|＝2.
1 2
答案：2
16．已知复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在x轴上方，则m的取值范围是________．
解析：复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)在复平面上对应的点的坐标为(m－1,3－m)，如果该点
落在x轴上方，则有3－m>0，解得m<3.
答案：(－∞，3)
17．已知i为虚数单位，z＝对应的点在第二象限，则θ是第________象限的角．
解析：∵z＝＝
＝cos 2θ＋isin 2θ对应的点在第二象限，
∴cos 2θ＜0，sin 2θ＞0，
∴2kπ＋＜2θ＜2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜θ＜2nπ＋，θ为第一象限角；
当k＝2n－1(n∈Z)时，2nπ－＜θ＜2nπ－，θ为第三象限角．
综上可得，θ是第一、三象限的角．
答案：一、三
18．满足条件|z－i|＝|1＋i|的复数 z 在复平面上对应的点(x，y)的轨迹方程为
________________．
解析：设z＝x＋yi，x，y∈R.
∵|z－i|＝|1＋i|＝2，∴|x＋(y－1)i|＝2，
∴＝2，∴x2＋(y－1)2＝4.
答案：x2＋(y－1)2＝4
