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必刷大题 18 统 计
1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这
200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．
一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．
(1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；
(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数(每组数据以所在区间的中点
值为代表)．
解 (1)由样本的频率分布直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是
(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3 000×0.28＝840(名)．
(2)由样本的频率分布直方图可知，估计总体成绩的众数为＝75，
平均数为0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75
＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
2．(2024·海南模拟)实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交
叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防．某医学研究机构对 120个接种
与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的 2×2
列联表：
感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种牛痘疫苗 20 30
已接种牛痘疫苗 10 60
(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概
率；
(2)是否有99%的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
解 (1)由题意可知，估计未接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P＝＝，
1
已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为
P＝＝.
2
(2)列联表如表所示：
感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 总计
未接种牛痘疫苗 20 30 50
已接种牛痘疫苗 10 60 70
总计 30 90 120
χ2＝≈10.286，
所以有99%的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关．
3．(2024·沧州模拟)“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意
识日益增强，质检部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，
本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污
染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.
(1)求这30个企业造成污染点的80%分位数；
(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，
求这30个企业造成污染点的总体方差．
解 (1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列，且30×80%＝24，
所以这30个企业造成污染的80%分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即前10名
中第六名与第七名数据的平均数，即＝30.
(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x，x，…，x ，其平均数记为，方差记为
1 2 20
s；
把剩下10个数据记为y，y，…，y ，其平均数记为，方差记为s；
1 2 10
把总样本数据的平均数记为，方差记为s2.
由题意可知，＝＝17，
＝×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝×330＝33，
则＝×(510－330)＝9，
由题知s＝44.7，s＝92.4，
s2＝×{20[s＋(－)2]＋10[s＋(－)2]}
代入数据可得s2＝×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6.
4．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改
电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省某年1～7月份煤改气、煤改电的用户数
量．
图1
图2
(1)在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图
和相关系数说明y与t之间具有线性相关性；
(2)建立y关于t的回归直线方程(系数精确到0.01)，预测该年11月份该省煤改气、煤改电的
用户数量．
参考公式：对于一组数据(u，v)，(u，v)，…，(u，v)，其回归直线方程v＝βu＋α的斜率
1 1 2 2 n n
和截距的最小二乘估计公式分别为β＝＝，α＝－β.
相关系数r＝.
参考数据：＝9.24，y＝39.75，
i i i
≈0.53，≈2.646.
解 (1)作出散点图如图所示．
由条形图数据和参考数据得，
＝4，(t－)2＝28，≈0.53，
i
(t－)(y－)＝y－＝39.75－4×9.24＝2.79，
i i i i i
所以r≈≈0.99.y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝＝1.32，
又由(1)得b＝＝≈0.10，
a＝－b≈1.32－0.10×4＝0.92，
所以y关于t的回归直线方程为y＝0.92＋0.10t.
将t＝11代入回归直线方程得y＝0.92＋0.10×11＝2.02.
所以预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．
5．(2023·福州模拟)国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全
校学生中抽取2 000人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平
均每天运动的时间范围是[0,3]，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，
少于2小时的学生为“非运动达人”．整理分析数据得到的列联表如表所示(单位：人)：
运动时间
性别 总计
“运动达人” “非运动达人”
男生 1 100 300 1 400
女生 400 200 600
总计 1 500 500 2 000
根据列联表中的数据，算得χ2≈31.746，则有99.9%的把握认为运动时间与性别有关．
(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动
时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因；
(2)采用按样本性别分层抽样的方法抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据
为男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求
这20名同学运动时间的均值与方差．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解 (1)方法一 改变数据之后的列联表为
运动时间
性别 总计
“运动达人” “非运动达人”
男生 110 30 140
女生 40 20 60
总计 150 50 200则调整后的χ2＝＝≈3.175.
所以没有99.9%的把握认为运动时间与性别有关．
与之前结论不一样，
原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．
方法二 调整后的χ2＝
＝·＝≈3.175，
所以没有99.9%的把握认为运动时间与性别有关．
与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致
推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．
(2)男生抽取×20＝14(人)，女生抽取×20＝6(人)，
由已知男生运动时间的平均数为＝2.5，样本方差为s＝1；女生运动时间的平均数为＝1.5，
样本方差为s＝0.5.
记样本均值为，则＝＝2.2，
记样本方差为s2，则s2＝＝1.06，
所以这20名同学运动时间的均值为2.2，方差为1.06.
6．在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．已知某
地区2015年年底到2022年年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：
年份(年) 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8
保有量y/千辆 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70
(1)根据统计表中的数据画出散点图(如图)，请判断y＝bx＋a与y＝ecx＋d哪一个更适合作为y
关于x的回归模型(给出判断即可，不必说明理由)，并根据你的判断结果建立y关于x的回
归方程；
(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下
降的百分比相同．若2022年年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2027年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源
汽车保有量．
参考公式：对于一组数据(u ，v)，(u ，v)，…，(u ，v)，其回归直线方程v＝βu＋α的斜率
1 1 2 2 n n
和截距的最小二乘估计公式分别为β＝＝，α＝－β.
参考数据：＝12.1，＝2.1，＝204，y＝613.7，t＝92.4，其中t＝ln y，lg 2≈0.30，lg
i i ii i i
3≈0.48，lg e≈0.43.
解 (1)根据散点图显示的该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y＝
ecx＋d，因为t＝ln y，则t＝cx＋d，
因为＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＝4.5，
＝204，t＝92.4，＝2.1，
ii
所以c＝＝＝＝0.4，
d＝－c＝2.1－0.4×4.5＝0.3，
所以t＝0.4x＋0.3，
即y＝e0.4x＋0.3.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得，500(1－r)5＝500(1－10%)，解
得1－r＝ ，
设从2022年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，
则有y＝500(1－r)x＝ ，
设从2022年底起经过x年后新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量，
则有e0.4(x＋8)＋0.3> ，
所以(0.4x＋3.5)lg e>3－lg 2＋0.2x(2lg 3－1)，
解得x>≈6.64，
故从2022年年底起经过7年后，即2029年年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保
有量．
