文档内容
周五
1.(2024·怀化模拟)已知函数f(x)=ex-lg|x|，则f(x)的图象大致为( )
( 5π) √2
2.(2024·温州适应性考试)已知sin β+ =- ，则sin(α-2β)cos α-cos(2β-α)sin α等于( )
4 10
24 24
A.- B.
25 25
3 3
C.- D.
5 5
3.(多选)(2024·湖州模拟)已知直三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥BC且AB=BC=2，直线A C与底面ABC所成角
1 1 1 1
√3
的正弦值为 ，则( )
3
A.线段A C上存在点D，使得A B⊥AD
1 1
B.线段A C上存在点D，使得平面DBB ⊥平面DCC
1 1 1
4
C.直三棱柱ABC-A B C 的体积为
1 1 1 3
D.点B 到平面A BC的距离为√2
1 1
y 4x
4.(2024·赣州适应性考试)已知y>x>0，则 - 的最小值为 .
y-x 2x+ y
5.(2024·永州模拟)绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲、乙两块不同的土地上栽种某品
种树苗各500株.甲地土质含有M元素，乙地土质不含M元素，其他土质情况均相同，一段时间后，为了
了解该品种树苗的成活情况与M元素含量是否有关联，分别在甲、乙两块土地上随机抽取树苗各50株作
为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株.
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表(单位：株)，并判断依据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认
为该品种树苗成活与含有M元素有关联？
类别
树苗成活情况合计
成活
不成活
含M元素
不含M元素
合计
(2)若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为X，求X的分布列
及方差.
n(ad-bc) 2
参考公式：χ2= ，n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
α 0.10 0.05 0.010 0.005
x 2.706 3.841 6.635 7.879
α答案精析
1.A 2.B 3.ABD
2
4.
3
解析 由题y>x>0，
y 4x
所以 -
y-x 2x+ y
y 4x+2y-2y
= -
y-x 2x+ y
y 2y
= + -2
y-x 2x+ y
( 1 2 )
=y + -2
y-x 2x+ y
( 2 2 )
=y + -2
2y-2x 2x+ y
1 ( 2 2 )
= [(2y-2x)+(2x+y)]· + -2
3 2y-2x 2x+ y
2( 2x+ y 2y-2x)
= 2+ + -2
3 2y-2x 2x+ y
2( √ 2x+ y 2y-2x)
≥ 2+2 · -2
3 2y-2x 2x+ y
8 2
= -2= ，
3 3
2x+ y 2y-2x
当且仅当 = ，
2y-2x 2x+ y
即2x+y=2y-2x，即y=4x时，等号成立.
5.解 (1)依题意可得2×2列联表如下：
树苗成活情况
类别 合计
成活 不成活
含M元素 45 5 50
不含M元素 40 10 50
合计 85 15 100
零假设为H ：该品种树苗成活与含有M元素无关联.
0
根据列联表中的数据，经计算得到100×(45×10-40×5) 2 100
χ2= =
50×50×85×15 51
≈1.961<2.706=x ，
0.10
根据小概率值α=0.10的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，
0
因此可以认为H 成立，即认为该品种树苗成活与含有M元素无关联.
0
(2)由题意知，不成活的树苗共有15株，甲地不成活的树苗有5株，X的可能取值为0，1，2，3，
C0C3
24
5 10
故P(X=0)= = ，
C3 91
15
C1C2
45
5 10
P(X=1)= = ，
C3 91
15
C2C1
20
5 10
P(X=2)= = ，
C3 91
15
C3C0
2
5 10
P(X=3)= = ，
C3 91
15
故X的分布列为
X 0 1 2 3
24 45 20 2
P
91 91 91 91
24 45 20 2
数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× =1，
91 91 91 91
24 45 20 2 4
方差D(X)= ×(0-1)2+ ×(1-1)2+ ×(2-1)2+ ×(3-1)2= .
91 91 91 91 7
