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周二
1.(2024·温州适应性考试)在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则sin(A+C)等于( )
1 √2
A. B.
2 2
√3
C. D.1
2
2.(2024·承德模拟)将5本不同的书(2本文学书、2本科学书和1本体育书)分给甲、乙、丙三人，每人至少
分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为( )
A.78 B.92
C.100 D.122
√3
3.(多选)(2024·承德模拟)如图，点A，B，C是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y= 相邻的三个交点，
2
π ( π )
且|BC|-|AB|= ，f - =0，则( )
3 12
A.ω=4
(9π) 1
B.f =
8 2
(π π)
C.函数f(x)在 ， 上单调递减
3 2
π
D.若将函数f(x)的图象沿x轴平移θ个单位长度，得到一个偶函数的图象，则|θ|的最小值为
24
4.(2024·济南模拟)在正四棱柱ABCD-A B C D 中，AB=4，AA =6，M，N分别是AB，AD的中点，则平面
1 1 1 1 1
MNC 截该四棱柱所得截面的周长为 .
1
1
5.(2024·鞍山模拟)已知函数f(x)= ax2-(a+2)x+2ln x，a∈R.
2
(1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线与y轴垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性.答案精析
1.C 2.C 3.ACD
4.14√2
解析 延长NM，CB相交于点H，连接C H交BB 于点G，连接MG，
1 1
因为在正四棱柱ABCD-A B C D 中，AB=4，AA =6，M，N分别是AB，AD的中点，
1 1 1 1 1
所以MN=√AM2+AN2=2√2，BH=AN，CC =6，
1
GB BH 1
因为△HBG∽△HCC ，所以 = = ，
1 CC CH 3
1
故BG=2，GH=√BG2+BH2=2√2，
在DD 上取点Q，使DQ=BG，连接NQ，C Q，GQ，
1 1
则NQ=√DN2+DQ2=2√2，
同理可知GQ=NH，所以四边形GQNH为平行四边形，
故G，H，N，Q四点共面，
则平面MNC 截该四棱柱所得的截面为五边形NMGC Q，
1 1
MG=√MB2+BG2=2√2，C G=√C B2+B G2=√42+42=4√2，
1 1 1 1
同理C Q=4√2，
1
故截面周长为MN+MG+C G+C Q+NQ=2√2+2√2+4√2+4√2+2√2=14√2.
1 1
5.解 (1)依题意x>0，
1
f(x)= ax2-(a+2)x+2ln x，
2
2
则f'(x)=ax-(a+2)+
x
ax2-(a+2)x+2 (x-1)(ax-2)
= = ，
x x
因为曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线与y轴垂直，
所以f'(2)=a-1=0，解得a=1.
(x-1)(ax-2)
(2)由(1)知f'(x)= (x>0)，
x当a≤0时，由f'(x)>0得0<x<1，由f'(x)<0得x>1，
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间(1，+∞)；
当a>0时，分以下三种情况：
若a=2，则f'(x)≥0在定义域内恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；
2
若0<a<2，令f'(x)>0得0<x<1或x> ，
a
2
令f'(x)<0得1<x< ，
a
(2 ) ( 2)
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)， ，+∞ ，单调递减区间为 1， ；
a a
2 2
若a>2，令f'(x)>0得0<x< 或x>1，令f'(x)<0得 <x<1，
a a
( 2) (2 )
所以f(x)的单调递增区间为 0， ，(1，+∞)，单调递减区间为 ，1 .
a a
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减；
当a=2时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
(2 ) ( 2)
当0<a<2时，f(x)在(0，1)， ，+∞ 上单调递增，在 1， 上单调递减；
a a
( 2) (2 )
当a>2时，f(x)在 0， ，(1，+∞)上单调递增，在 ，1 上单调递减.
a a
