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第一周
[周一]
1．(2022·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a－c)sin C＝
asin A－bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝5，c＝2，D为边BC的中点，求cos 2∠ADC的值．
解 (1)在△ABC中，由(a－c)sin C＝asin A－bsin B及正弦定理得(a－c)c＝a2－b2，
即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cos B＝＝＝，
而0<B<π，所以B＝.
(2)因为a＝5，所以DB＝，
由(1)知sin B＝，cos B＝，
在△ABD中，由余弦定理得，
AD2＝22＋2－2×2××＝，
所以AD＝.
由正弦定理得＝，
故sin∠BDA＝＝，
故cos 2∠ADC＝cos(2π－2∠BDA)
＝cos 2∠BDA＝1－2sin2∠BDA＝－.
[周二]
2．某高中高一新生共有1 500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，
推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长．学校准备调查高
一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层随机抽样的方法，收集了 300名学
生每周平均运动时间的样本数据(单位：小时)，并根据这300个样本数据，得到学生每周平
均运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，
(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数与方差；
(2)在调查的300名学生中按每周运动时间采用分层随机抽样的方法抽取20人参加校园“我
运动我快乐”活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中
“每周平均运动时间超过8小时”的人数为X，求X的分布列及均值．
解 (1)依题意，样本数据中女生人数为×300＝140.
因为样本中每周平均运动时间在8小时以下的学生人数所占比例为0.05＋0.20＋0.30＋0.25
＝0.80，则85%分位数为8＋＝.
平均数为1×0.05＋3×0.20＋5×0.30＋7×0.25＋9×0.15＋11×0.05＝5.8，
所以样本数据的方差为(1－5.8)2×0.05＋(3－5.8)2×0.20＋(5－5.8)2×0.30＋(7－5.8)2×0.25＋
(9－5.8)2×0.15＋(11－5.8)2×0.05＝6.16，
所以样本数据中女生人数为140，样本数据的85%分位数为，方差为6.16.
(2)用分层随机抽样的方法，从中选取20人，则其中“每周平均运动时间超过8小时”的有
4人，“每周平均运动时间不超过8小时”的有16人．
由题意知，X的可能取值为0,1,2，
且P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
[周三]
3．(2022·梅州模拟)已知S 是数列{a}的前n项和，a＝1，________.
n n 1
①∀n∈N*，a
n
＋a
n＋1
＝4n；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一
个补充在横线处，并求解：(1)求a；
n
(2)设b＝，求数列{b}的前n项和T.
n n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)选条件①：∀n∈N*，a＋a ＝4n，
n n＋1
则a ＋a ＝4(n＋1)，
n＋1 n＋2
两式作差得a －a＝4(n＋1)－4n＝4，
n＋2 n
即数列{a }，{a }(k∈N*)均为公差为4的等差数列，
2k－1 2k
于是a ＝a＋4(k－1)＝4k－3＝2(2k－1)－1，
2k－1 1
又a＋a＝4，所以a＝3，
1 2 2
于是a ＝a＋4(k－1)＝4k－1＝2·(2k)－1，
2k 2
所以a＝2n－1.
n
选条件②：因为数列为等差数列，且的前3项和为6，
则＋＋＝3×＝6，
所以＝2，
又S＝a＝1，所以＝1，
1 1
所以的公差为d′＝－＝2－1＝1，
所以＝1＋(n－1)＝n，则S＝n2，
n
当n≥2时，a＝S－S ＝n2－(n－1)2＝2n－1.
n n n－1
又a＝1满足a＝2n－1，
1 n
所以对任意的n∈N*，a＝2n－1.
n
(2)因为b＝＝
n
＝，
所以T＝b＋b＋…＋b＝
n 1 2 n
＝
＝.
[周四]
4．(2022·衡水模拟)如图，矩形ABCD和梯形ABEF所在的平面垂直，BE∥AF，∠BEF＝
90°，∠BAF＝30°，BF＝2，AF＝4.(1)求证：BF⊥AC；
(2)若直线AC与平面ABEF所成的角等于30°，求平面DCF与平面ECF的夹角的余弦值．
(1)证明 在△ABF中，由正弦定理可得
＝，
所以sin∠ABF＝＝＝1，
因此∠ABF＝90°，即BF⊥AB.
又因为平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BF⊂平面ABEF，所以BF⊥平面ABCD，
因为AC⊂平面ABCD，所以BF⊥AC.
(2)解 由于四边形ABCD是矩形，
所以CB⊥AB，
又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，CB⊂平面ABCD，
所以CB⊥平面ABEF，故直线AC与平面ABEF所成的角为∠BAC，
所以∠CAB＝30°.
因为AB＝＝2，
所以CB＝AB·tan 30°＝2.
因为BE∥AF，则∠EBF＝∠AFB＝60°，
又∠BEF＝∠ABF＝90°，
所以BE＝BF·cos 60°＝1，
所以EF＝＝，
以B为原点，BA，BF，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(2，0,2)，C(0,0,2)，F(0,2,0)，
E，
所以DC＝(－2，0,0)，DF＝(－2，2，－2)，
CE＝，CF＝(0,2，－2)，设平面DCF的法向量为m＝(x，y，z)，
则
即
取y＝1，得x＝0，z＝1，
所以m＝(0,1,1)．
设平面CFE的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
取b＝1，得c＝1，a＝－，
所以n＝(－，1,1)．
所以cos〈m，n〉＝＝＝，
故平面DCF与平面ECF的夹角的余弦值为.
[周五]
5．已知f(x)＝4ex－3x2－cx－4(x∈R，c∈R)．
(1)当c＝3时，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
(2)设f(x)≤xex＋x3－6x2在[0，＋∞)上恒成立，求实数c的取值范围．
解 (1)当c＝3时，f′(x)＝4ex－6x－3，
∵f′(0)＝4－3＝1，f(0)＝0，
∴切线方程为y＝x.
(2)∵f(x)≤xex＋x3－6x2，
∴cx≥－xex＋4ex－x3＋3x2－4.
①当x＝0时，显然成立；
②当x>0时，c≥，
令h(x)＝，
则h′(x)＝
＝
＝.
令φ(x)＝(x－2)ex＋2x2＋x＋2，
则φ′(x)＝(x－1)ex＋4x＋1，
令p(x)＝(x－1)ex＋4x＋1，
则p′(x)＝xex＋4>0，
∴p(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵φ′(0)＝0，∴φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵φ(0)＝0，∴φ(x)>0，
则令h′(x)>0，得0<x<2；
令h′(x)<0，得x>2，
∴h(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，∴h(x) ＝h(2)＝e2，
max
∴c∈[e2，＋∞)．
[周六]
6.(2022·长沙模拟)如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点D在椭圆上，
1 2
DF⊥FF，＝2，△DFF 的面积为.
1 1 2 1 2
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相
互垂直并且分别过不同的焦点，求圆的半径．
解 (1)设F(－c，0)，F(c，0)，
1 2
其中c2＝a2－b2，
由＝2，
可得|DF|＝＝c，
1
从而 ＝|DF||FF|＝c2＝，
1 1 2
故c＝1，
从而|DF|＝，
1
由DF⊥FF，
1 1 2
得|DF|2＝|DF|2＋|FF|2＝，
2 1 1 2
因此|DF|＝，
2
所以2a＝|DF|＋|DF|＝2，
1 2
故a＝，b2＝a2－c2＝1，
因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，设P(x，y)，P(x，y)是两个交点，
1 1 1 2 2 2
y>0，y>0，FP，FP 是圆C的切线，
1 2 1 1 2 2
且FP⊥FP，
1 1 2 2
由圆和椭圆的对称性，
易知x＝－x，y＝y，|PP|＝2|x|，
2 1 1 2 1 2 1
由(1)知F(－1,0)，F(1,0)，
1 2
所以F1P1＝(x＋1，y)，
1 1
F2P2＝(－x－1，y)，
1 1
再由FP⊥FP，得－(x＋1)2＋y＝0，
1 1 2 2 1
由椭圆方程得1－＝(x＋1)2，
1
即3x＋4x＝0，
1
解得x＝－或x＝0，
1 1
当x＝0时，P，P 重合，此时题设要求的圆不存在，
1 1 2
当x＝－时，过P，P 分别与FP，FP 垂直的直线的交点即为圆心C，
1 1 2 1 1 2 2
由FP，FP 是圆C的切线，且FP⊥FP，知CP ⊥CP ，又|CP |＝|CP |，
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
故圆C的半径|CP |＝|PP|＝|x|＝.
1 1 2 1
