文档内容
周二
1.(2024·德州模拟)已知复数z满足(1-i)z=3+i，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
3+i (3+i)(1+i)
解析 由题意知z= = =1+2i，
1-i (1-i)(1+i)
所以z=1-2i，所以z在复平面内对应的点位于第四象限.
2.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列A={a ，a ，a ，…}重新编辑，编辑新
1 2 3
{a a a } a
序列为A*= 2， 3， 4，… ，它的第n项为 n+1，若序列(A*)*的所有项都是3，且a =1，a =27，则a
a a a a 5 6 1
1 2 3 n
等于( )
1 1
A. B.
9 27
1 1
C. D.
81 243
答案 A
a
n+1
解析 令b = ，
n a
n
即A*={b ，b ，b ，…}，
1 2 3
{b b b }
则(A*
)
*
=
2， 3， 4，…
，
b b b
1 2 3
b b b b
由已知得 2 = 3 = 4 =…= n+1 =3，
b b b b
1 2 3 n
所以数列{b }为公比为3的等比数列，
n
a
2
设b =m，则 =b =m，
1 a 1
1
a a
3 =b =3m，…， n+1 =b =3n-1·m，
a 2 a n
2 n
a a a a
当n≥2时，累乘可得 2 · 3 · 4 ·…· n =m·3m·32m·…·3n-2m=mn-131+2+3+…+(n-2)，
a a a a
1 2 3 n-1
a
n
(n-2)(n-1)
即 a =mn-1 3 2 ，
11
当n=5时， =m436，
a
1
27
当n=6时， =m5310，
a
1
1 1
解得m= ，a = .
3 1 9
3.(多选)(2024·晋城模拟)已知函数f(x)=x2ex+ln x，则( )
e
A.“x>1”是“f(x)>e-x+ln ”的充要条件
x
e
B.“x>1”是“f(x)>e-x+ln ”的充分不必要条件
x
C.当f(x)=(e2-1)x+2时，x+ln x=2
D.当f(x)=(e2-1)x+2时，x+ln x=e
答案 AC
解析 因为当x>0时，x2ex=ex+2ln x，
e
所以f(x)>e-x+ln 等价于ex+2ln x+x+2ln x>e+1，构造函数g(t)=et+t，
x
则g(x+2ln x)>g(1)，因为g(t)是增函数，所以x+2ln x>1.
因为函数h(x)=x+2ln x为增函数，且h(1)=1，所以x+2ln x>1 x>1，
e
⇔
所以“x>1”是“f(x)>e-x+ln ”的充要条件.
x
当f(x)=(e2-1)x+2时，x+ln x=2，理由如下：
方法一 f(x)=(e2-1)x+2可变为ex+2ln x+x+2ln x=e2x+2+ln x=e2+ln x+2+ln x，
则g(x+2ln x)=g(2+ln x).因为g(t)是增函数，所以x+2ln x=2+ln x，即x+ln x=2.
方法二 设x+ln x=m，则ln x=m-x，em-x=x，
em
即ex= ，
x
代入x2ex+ln x=(e2-1)x+2，
得xem+m-x=(e2-1)x+2，即(em-e2)x=2-m.
假设m≠2，则等式左右异号，矛盾.所以m=2，即x+ln x=2.
4.(2024·梅州模拟)某中学1 500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N(150，
σ2)，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130~150次之间的人数约为
.
答案 450
300
解析 由题意可知P(X>170)= =0.2，
1 500
又因为X~N(150，σ2)，所以P(130≤X≤150)=P(150≤X≤170)=0.5-P(X>170)=0.5-0.2=0.3，
所以跳绳成绩X在130~150次之间的人数约为1 500×0.3=450.
x2 y2 x2 y2
5.(2024·浙江91 联盟模拟)如图，由部分椭圆 + =1(a>b>0，y≤0)和部分双曲线 - =1(y≥0)组成的曲
a2 b2 a2 b2
√7
线C称为“盆开线”.曲线C与x轴有A(2，0)，B(-2，0)两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为 .
4
(1)设过点(1，0)的直线l与C相切于点M，求点M的坐标及直线l的方程；
(2)过点A的直线m与C相交于P，A，Q三点，求证：∠PBA=∠QBA.
√a2+b2 √a2-b2 √7
(1)解 由题设可得 × = ，a=2，解得b=√3，
a a 4
x2 y2
故椭圆方程为 + =1(y≤0)，
4 3
x2 y2
双曲线方程为 - =1(y≥0).
4 3
x2 y2
由图可知，切点M在双曲线 - =1(y≥0)上.
4 3
3x
0
设M(x ，y )，则切线l的斜率为 ，
0 0 4 y
0
x x y y
则切线l的方程为 0 - 0 =1，
4 3
因为直线l过点(1，0)，所以x =4，
0
x2 y2
将x =4代入 - =1(y≥0)，得y =3，
0 4 3 0
所以M(4，3)，直线l的方程为x-y-1=0.
(2)证明 由题意可得直线m的斜率存在且不为零，故设直线m的方程为y=k(x-2)，
{x2 y2
- =1(y≥0),
联立 4 3
y=k(x-2),
整理得(3-4k2)x2+16k2x-16k2-12=0，
{Δ=256k4-4(3-4k2 )(-16k2-12)>0,
3-4k2≠0,
√3 √3
即k≠ 且k≠- ，
2 28k2+6
解得x=2或x= ，
4k2-3
(8k2+6 12k )
即Q ， .
4k2-3 4k2-3
{x2 y2
+ =1(y≤0),
联立 4 3
y=k(x-2),
整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0，
8k2-6
解得x=2或x= ，
4k2+3
(8k2-6 12k )
即P ，- .
4k2+3 4k2+3
12k 12k
-
4k2+3 4k2-3
所以k +k = + =0，
BP BQ 8k2-6 8k2+6
+2 +2
4k2+3 4k2-3
所以k =-k ，所以∠PBA=∠QBA.
BP BQ
