第一节集合教案_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022届一轮复习讲练结合_第一章集合与常用逻辑用语、不等式_第一节集合

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第一节 集合 核心素养立意下的命题导向 1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养. 2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养. [理清主干知识] 1．集合的有关概念 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作 a ∈ A ；若b不属于集合A，记作 b ∉ A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N Z Q R ＋ 2．集合间的基本关系 表示 文字语言 记法 关系 集合A中任意一个元素都是集合 B 子集 A ⊆ B 或 B ⊇ A 中的元素 集合A是集合B的子集，并且B中至 集合间的 真子集 A  B 或 B  A 少有一个元素不属于A 基本关系 集合A中的每一个元素都是集合 B 相等 中的元素，集合B中的每一个元素也 A ⊆ B 且 B ⊆ A ⇔A＝B 都是集合A中的元素 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 3．有限集的子集个数 设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集，即card(A)＝n. (1)A的子集个数是2n； (2)A的真子集个数是 2 n － 1 ； (3)A的非空子集个数是2n－1； (4)A的非空真子集个数是2n－2. 4．集合的三种基本运算符号表示 图形表示 符号语言 集合的 A∪B A∪B＝ { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } 并集 集合的 A∩B A∩B＝ { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } 交集 集合的 若全集为U，则集合A的 ∁U A＝ { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } 补集 补集为 ∁U A 5.集合基本运算的性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A. (3)A∩ ∁U A＝∅，A∪ ∁U A＝U， ∁U (∁U A)＝A. (4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅. [澄清盲点误点] 一、关键点练明 1．(集合的表示)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A．9 B．8 C．5 D．4 答案：A 2．(并集与交集的运算)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B ＝( ) A．{2} B．{2,3} C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4} 答案：D 3．(全集与补集的运算)设全集为R，集合A＝{x|00，∴B正确． 对于C，∵＝，1不在集合中，∴C不正确． 对于D，∵＝，1是集合中的元素，∴D正确．故选A、B、D. 2．已知集合A＝{1，x2}．若x2∈{1,3,9，x}，则x＝________. 解析：由题意知，x2≠1，∴x≠±1.∵x2∈{1,3,9，x}，∴若x2＝3，则x＝±，经检验可知符合题意； 若x2＝9，则x＝±3，经检验，x＝3不满足集合元素的互异性，舍去；若x2＝x，则x＝0或x＝ 1，经检验，x＝1不满足集合元素的互异性，舍去．综上可知x＝或－或－3或0. 答案：或－或－3或0 3．设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为________． 解析：因为集合A，B中有唯一的公共元素9，所以9∈A.若2a－1＝9，即a＝5，此时A＝{－ 4,9,25}，B＝{9,0，－4}，则集合A，B中有两个公共元素－4,9，与已知矛盾，舍去．若a2＝9，则 a＝±3，当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素 的互异性矛盾，应舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a ＝－3. 答案：－3 考点二 集合间的基本关系 [典例] (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( ) A．7 B．8 C．15 D．16 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为 ________． [解析] (1)法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}， {1,3}，{2,3}，共7个． 法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)． (2)因为B⊆A，所以，①若B＝∅，则2m－1a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为( ) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，3] 解析：选C 因为A∩B≠∅，所以结合数轴可知实数a的取值范围是a<3，故选C. 一、创新命题视角——学通学活巧迁移 集合中的新定义问题 类型(一) 定义新运算 [例1] 定义集合A与B的运算“*”为：A*B＝{x|x∈A或x∈B，但x∉(A∩B)}．设X是非负 偶数集，Y＝{1,2,3,4,5}，则(X*Y)*Y＝( ) A．X B．Y C．X∩Y D．X∪Y [解析] 由题意可知，X∩Y＝{2,4}， X∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}， ∴X*Y＝{0,1,3,5,6,8,10，…}． ∴(X*Y)∩Y＝{1,3,5}， (X*Y)∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}． ∴(X*Y)*Y＝{0,2,4,6,8,10，…}＝X.故选A. [答案] A [名师微点] 正确分析新运算法则，把新运算法则所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟悉的数学情境． 注意结合集合的基础知识解答． 类型(二) 定义新概念 [例2] 已知集合A ＝{x|01}，A ＝{x|01}，则A∪B＝( ) A．(－1,1) B．(1,2) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：选C 将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示． 由图可得A∪B＝{x|x>－1}． 4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y ＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2. 5．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} 解析：选C 因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}． 6．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{4}，则A∪B＝( ) A．{2,3,4} B．{1,3,4} C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4} 解析：选A ∵A∩B＝{4}，∴2a＝4，则a＝2，b＝4.∴A∪B＝{2,3,4}． 7．已知全集U＝{x|－11，又因为A是U的子集，故需a≤9，所以a的取 值范围是{a|10得x>2，所以M＝(2，＋∞)．由x2－2x>0得x<0或x>2，所以N＝(－ ∞，0)∪(2，＋∞)， ∁U N＝[0,2]，所以M∩(∁U N)＝∅，M∩N＝M，M∪N＝N≠U，M≠ ∁U N.故 选A、B. 10．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2) D．(－∞，－2] 解析：选B 集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1a}，因为A⊆B，所以a≤ －1. 11.如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集 合是( ) A．[(∁I A)∩B]∩CB．[(∁I B)∪A]∩C C．(A∩B)∩(∁I C) D．[A∩(∁I B)]∩C 解析：选D 由图知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C.则阴影部分表示的集合是 [A∩(∁I B)]∩C. 12．(2021·湖北八校联考)已知集合A＝，B＝，C＝，则集合A，B，C的关系是( ) A．ACB B．CAB C．AB＝C D．ABC 解析：选A ∵集合C＝，∴当n＝2a(a∈N)时，x＝＋＝a＋，此时C＝A，∴AC.当n＝b－ 1(b∈N*)时，x＝＋＝－＋＝－(b∈N *)．而集合B＝，当m＝0时，－∈B，但－∉C，∴集合 CB.综上，ACB，故选A. 13．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝ ________. 解析：P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}， ∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}， ∴－1,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根， 由根与系数的关系得 ∴∴a＋b＝－5. 答案：－5 14．若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数 k的取值集合是 ________． 解析：由题意知，方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4k2－4＝0，解得k＝±1， ∴满足条件的实数k的取值集合是{1，－1}． 答案：{1，－1} 15．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y| y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________________. 解析：由题意知A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A*B＝[－3,0)∪(3，＋∞)． 答案：[－3,0)∪(3，＋∞) 16．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2