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周五
1.(2024·嘉兴模拟)若正数x，y满足x2-2xy+2=0，则x+y的最小值是( )
√6
A.√6 B.
2
C.2√2 D.2
答案 A
x 1
解析 由x2-2xy+2=0可得y= + ，
2 x
x 1 3x 1 √3x 1
∴x+y=x+ + = + ≥2 · =√6，
2 x 2 x 2 x
3x 1 √6
当且仅当 = ，即x= 时，等号成立.
2 x 3
∴x+y的最小值为√6.
2.(2024·梅州模拟)某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和做
进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是( )
3 4
A. B.
7 7
5 6
C. D.
7 7
答案 D
解析
根据题意，从8人中选出4人，有C4
=70(种)选法，
8
分2种情况讨论：
①选出的4人中有2名男生和2名女生，有C2 ·C2
=30(种)选法，
3 5
②选出的4人中有1名男生和3名女生，有C1 ·C3
=30(种)选法，
3 5
60 6
则两队中均有男生的概率P= = .
70 7
(1 )( π)
3.(多选)(2024·惠州模拟)已知函数f(x)=2sin x+φ |φ|< ，直线x=-π为f(x)图象的一条对称轴，则下列
3 2
说法正确的是( )
π
A.φ=
6
[ π]
B.f(x)在区间 -π，- 上单调递增
2
C.f(x)在区间[-π，π]上的最大值为2
D.若f(x+θ)为偶函数，则θ=2π+3kπ(k∈Z)答案 BD
解析 因为函数f(x)=
(1 )( π)
2sin x+φ |φ|< ，
3 2
直线x=-π为f(x)图象的一条对称轴，
( π )
所以f(-π)=2sin - +φ =±2，
3
π π
所以- +φ= +kπ，k∈Z，
3 2
5π
则φ= +kπ，k∈Z，
6
π π
又|φ|< ，所以φ=- ，故A项不正确；
2 6
(1 π)
因为f(x)=2sin x- ，
3 6
[ π] π 1 π π
当x∈ -π，- 时，- ≤ x- ≤- ，
2 2 3 6 3
[ π]
所以f(x)在区间 -π，- 上单调递增，故B项正确；
2
π 1 π π
当x∈[-π，π]时，- ≤ x- ≤ ，
2 3 6 6
π
f(x)在区间[-π，π]上单调递增，则最大值为2sin =1，故C项不正确；
6
[1 π] (1 1 π)
若f(x+θ)为偶函数，则f(x+θ)=2sin (x+θ)- =2sin x+ θ- ，
3 6 3 3 6
1 π π
所以 θ- = +kπ(k∈Z)，
3 6 2
解得θ=2π+3kπ(k∈Z)，故D项正确.
x2 y2
4.(2024·安顺模拟)设F ，F 分别为椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点，B为椭圆C的上顶点，直线
1 2 a2 b2
BF 与椭圆C的另一个交点为A.若⃗AF ·⃗BF =0，则椭圆C的离心率为 .
1 2 2
√5
答案
5
解析 由题意得F (c，0)，B(0，b)，F (-c，0)，
2 1则⃗BF =(c，-b)，
2
b b
直线BF 的斜率为 ，即y= x+b，
1 c c
{x2 y2
+ =1,
a2 b2
联立方程组
b
y= x+b,
c
可得(b2c2+a2b2)x2+2a2b2cx=0，
2a2b2c 2a2c
而x +0=- =- ，
A b2c2+a2b2 c2+a2
2a2c
故x =- ，
A c2+a2
b3
代入直线方程中得y =- ，
A c2+a2
(
2a2c b3
)
故A - ，- ，
c2+a2 c2+a2
(
2a2c b3
)
可得⃗AF = c+ ， ，
2 c2+a2 c2+a2
由题意得⃗AF ·⃗BF =0，
2 2
(
2a2c
)
b3
可得c· c+ +(-b)· =0，
c2+a2 c2+a2
3a2c2+c4-b4
化简得 =0，
c2+a2
即3a2c2+c4-b4=0，化简得5a2c2-a4=0，
√5
同除以a4得5e2-1=0，且e>0，解得e= .
5
5.(2024·温州模拟)数列{a }，{b }满足：{b }是等比数列，b =2，a =5，且a b +a b +…
n n n 1 2 1 1 2 2
+a b =2(a -3)b +8(n∈N*).
n n n n
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
(2)求集合A={x|(x-a)(x-b)=0，i≤2n，i∈N*}中所有元素的和；
i i(3)对数列{c }，若存在互不相等的正整数k ，k ，…，k(j≥2)，使得c +c +…+c 也是数列{c }中的项，则
n 1 2 j k k k n
1 2 j
称数列{c }是“和稳定数列”.试分别判断数列{a }，{b }是否是“和稳定数列”.若是，求出所有j的值；若
n n n
不是，说明理由.
解 (1)∵a b =2(a -3)b +8，b =2，∴a =2，
1 1 1 1 1 1
又a b +a b =2(a -3)b +8，
1 1 2 2 2 2
解得b =4.
2
∵数列{b }是等比数列，
n
b
2
∴数列{b }的公比q= =2，∴b =2n；
n b n
1
又当n≥2时，a b +a b +…+a b =2(a -3)b +8，
1 1 2 2 n-1 n-1 n-1 n-1
作差得a b =2(a -3)b -2(a -3)b ，
n n n n n-1 n-1
将b =2n代入，化简a =2(a -3)-(a -3)，
n n n n-1
得a -a =3(n≥2)，
n n-1
∴数列{a }是公差d=3的等差数列，∴a =a +(n-1)d=3n-1.
n n 1
(2)记集合A的全体元素的和为S，
2n(6n-1+2)
集合M={a ，a ，…，a }的所有元素的和为A = =6n2+n，
1 2 2n 2n 2
2(1-22n
)
集合N={b ，b ，…，b }的所有元素的和为B = =22n+1-2，
1 2 2n 2n 1-2
集合M∩N的所有元素的和为T，则有S=A +B -T.
2n 2n
对于数列{b }，
n
当n=2k-1(k∈N*)时，b =22k-1=(3-1)2k-1=3p-1(p∈N*)是数列{a }中的项；
2k-1 n
当n=2k(k∈N*)时，b =2b =2(3p-1)=3q-2(q∈N*)不是数列{a }中的项，
2k 2k-1 n
∴T=b +b +…+b ，
1 3 2k-1
{b ≤a , log (6n-1)-1 log (6n-1)+1
其中 2k-1 2n ⇒ 2 a 2 2
2k+1 2n
[log (6n-1)+1]
即k= 2 (其中[x]表示不超过实数x的最大整数)，
2
2(1-4k ) 2
∴T= = (4k-1)
1-4 3
2 ( [log 2 (6n-1)+1] )
= 4 2 -1 ，
3
2 [log(6n-1)+1] 4
∴S=6n2+n+22n+1- · 2 - .
3 4 2 3
(3)①因为a +a +…+a =3(k +k +…+k)-j，
k k k 1 2 j
1 2 j当j=3m(m∈N*)时，
a +a +…+a 是3的正整数倍，
k k k
1 2 j
故一定不是数列{a }中的项；
n
当j=3m-1(m∈N*)时，
a +a +…+a =1(mod 3)(表示用3来除余数为1)，不是数列{a }中的项；
k k k n
1 2 j
当j=3m+1(m∈N*)时，
a +a +…+a =2(mod 3)，是数列{a }中的项，
k k k n
1 2 j
综上，数列{a }是“和稳定数列”，j=3m+1(m∈N*)；
n
②数列{b }不是“和稳定数列”，理由如下：
n
不妨设1≤k b ，且
1 2 j k k k k
1 2 j j
b k +b k +…+b k ≤b 1 +b 2 +…+b k =21+22+…+2k j=2k j +1-2<2k j +1=b k +1 ，
1 2 j j j
故b +b +…+b 不是数列{b }中的项.
k k k n
1 2 j
数列{b }不是“和稳定数列”.
n
