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周六
( 2)
1.(2024·聊城模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=log 4 x-1，则f -23 等于( )
2 1
A.- B.-
3 3
1 2
C. D.
3 3
2.(2024·河南TOP二十名校联考)已知点P在平面α内，从点P出发的三条两两垂直的线段PQ，PR，PS位
1 4 9
于α的同侧，若Q，R，S到α的距离分别为1，2，3，则 + + 的值为( )
PQ2 PR2 PS2
A.1 B.√2
C.√3 D.2
1
3.(多选)(2024·海口调研)已知S 为正项数列{a }的前n项和，a =1，S +S = (n≥2，n∈N*)，则( )
n n 1 n n-1 a
n
A.S =√n B.a 2S D.S - ≥ln n
n n+2 n+1 n S
n
4.(2024·曲靖质检)抽样统计得到某班8名女生的身高(单位：cm)分别为160，155，157，155.5，154，
158，155，162，则这8名女生身高的第75百分位数是 .
5.(2024·宜昌模拟)设函数f(x)=4ln x-ax2+(4-2a)x，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)存在极值，对任意的0 ；
x -x x +x
2 1 2 1
x +x
②判断并证明 1 2与x 的大小.
2 0答案精析
1.A 2.A 3.ABD
4.159
解析 将数据由小到大排列为154，155，155，155.5，157，158，160，162，由8×75%=6，得第75百分
158+160
位数是 =159.
2
4 1
5.(1)解 f'(x)= -2ax+4-2a=- (2ax-4)(x+1)，x>0，
x x
若a≤0，则f'(x)>0，
f(x)在(0，+∞)上单调递增，
2
若a>0，由f'(x)=0得x= ，
a
( 2)
当x∈ 0， 时，f'(x)>0；
a
(2 )
当x∈ ，+∞ 时，f'(x)<0，
a
( 2) (2 )
∴f(x)在 0， 上单调递增，在 ，+∞ 上单调递减.
a a
(2)①证明 ∵01)，
x
1
ln x -ln x 2
2 1
要证明 >
x -x x +x
2 1 2 1
2(t-1)
即证明ln t> (t>1)，
t+1
2(t-1)
设g(t)=ln t- (t>1)，
t+1
1 2(t+1)-2(t-1)
则g'(t)= -
t (t+1) 2
(t-1) 2
= >0，
t(t+1) 2
∴g(t)在(1，+∞)上单调递增，
g(t)>g(1)=0，
2(t-1) ln x -ln x 2
∴ln t> ，即 2 1 > 得证.
t+1 x -x x +x
2 1 2 1②解 ∵f(x)存在极值，
由(1)知a>0，
f(x )-f(x )=4(ln x -ln x )- a(x2-x2)+(4-2a)(x -x )
2 1 2 1 2 1 2 1
=4(ln x -ln x )-a(x +x )(x -x )+(4-2a)(x -x )，
2 1 2 1 2 1 2 1
f(x )-f(x )
2 1
由题设得f'(x )=
0 x -x
2 1
4(ln x -ln x )
2 1
= -a(x +x )+4-2a，
x -x 2 1
2 1
(x +x ) 8
f' 1 2 = -a(x +x )+4-2a，
2 x +x 2 1
1 2
(x +x )
f'(x )-f' 1 2
0
2
4(ln x -ln x ) 8
2 1
= -
x -x x +x
2 1 1 2
( ln x -ln x 2 )
=4
2 1-
>0，
x -x x +x
2 1 1 2
(x +x )
∴f'(x )>f' 1 2 ，
0 2
4
∵f'(x)= -2ax+4-a在(0，+∞)上单调递减，
x
x +x
∴ 1 2 >x .
2 0
