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周六
1.(2024·承德模拟)某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为70，85，90，75，95，则这5人
成绩的上四分位数是( )
A.90 B.75
C.95 D.70
答案 A
解析 将5人的比赛成绩由小到大排列依次为70，75，85，90，95，i=5×75%=3.75，5人成绩的上四分位
数为第4个数90.
( π) π
2.(2024·滨州模拟)已知函数f(x)=sin ωx+ (ω>0)在[0，2π]上有且仅有4个零点，直线x= 为函数y=f(x)
6 6
(π)
图象的一条对称轴，则f 等于( )
3
√3 1
A.- B.-
2 2
1 √3
C. D.
2 2
答案 C
解析 因为ω>0，且x∈[0，2π]，
π [π π]
则ωx+ ∈ ，2πω+ ，
6 6 6
π
由题意可得4π≤2πω+ <5π，
6
23 29
解得 ≤ω< ，
12 12
π π π π
又因为直线x= 为函数y=f(x)图象的一条对称轴，则 ω+ =kπ+ ，k∈Z，
6 6 6 2
解得ω=6k+2，k∈Z，
( π)
可知k=0，ω=2，即f(x)=sin 2x+ ，
6
(π) (2π π)
所以f =sin +
3 3 6
( π) π 1
=sin π- =sin = .
6 6 2x2 y2
3.(多选)已知点A，B，C都在双曲线Γ： - =1(a>0，b>0)上，点A(x ，y )在第一象限，点C(x ，y )在第
a2 b2 1 1 2 2
四象限，A，B关于原点对称，AB⊥AC，过A作垂直于x轴的直线分别交Γ，BC于点D，E.若2⃗AD=3⃗DE
，则下列结论正确的是( )
7
A.点E的纵坐标为- y
3 1
y - y x
2 1 1
B. =-
x -x y
2 1 1
y + y 4 y
2 1 1
C. =-
x +x 3x
2 1 1
√15
D.双曲线Γ的离心率为
3
答案 ABD
解析 对于A，因为A，B关于原点对称，
所以B(-x ，-y )，D(x ，-y )，
1 1 1 1
设E(x ，y )，
0 0
⃗AD=(0，-2y )，
1
⃗DE=(x -x ，y +y )，
0 1 0 1
因为2⃗AD=3⃗DE，
所以-4y =3(y +y )，x =x ，
1 0 1 0 1
7 ( 7 )
解得y =- y ，x =x ，E x ，- y ，
0 3 1 0 1 1 3 1
故A正确；
对于B，因为AB⊥AC，所以k ·k =-1，
AB AC
2y y - y
1 2 1
所以 · =-1，
2x x -x
1 2 1
y - y x
2 1 1
所以 =- ，故B正确；
x -x y
2 1 1
对于C，因为B，E，C三点共线，所以k =k ，
BC BE
( 7 )
又B(-x ，-y )，C(x ，y )，E x ，- y ，
1 1 2 2 1 3 1
7 4
y + y - y + y - y 2y
则 2 1 = 3 1 1 = 3 1 =- 1 ，
x +x 3x
2 1 x +x 2x 1
1 1 1
故C错误；
对于D，因为A(x ，y )，C(x ，y )在双曲线上，
1 1 2 2b2 b2
所以y2 = (x2 -a2)，y2 = (x2 -a2)，
1 a2 1 2 a2 2
y + y y - y y2- y2
2 1 2 1 2 1
k ·k = · =
CB CA x +x x -x x2-x2
2 1 2 1 2 1
b2 b2
(x2-a2 )- (x2-a2 ) b2
=a2 2 a2 1 = ，
a2
x2-x2
2 1
因为AB⊥AC，所以k ·k =-1，
AB CA
1
即k =- ，
CA k
AB
( 1 ) b2
-
所以k · = ，
CB k a2
AB
2y
1
由选项C知，k =k =- ，
CB BE 3x
1
y
1
又k = ，
AB x
1
1
2y (- ) 2 b2
所以- 1 · y = = ，
3x 1 3 a2
1 x
1
√ b2 √ 2 √15
则e= 1+ = 1+ = ，故D正确.
a2 3 3
4.(2024·鞍山模拟)f(x)=x2e-x的极大值为 .
4
答案
e2
解析 f'(x)=2xe-x+x2(-e-x)=(2x-x2)e-x=-x(x-2)e-x，
当x∈(-∞，0)∪(2，+∞)时，f'(x)<0，当x∈(0，2)时，f'(x)>0，
故f(x)在(-∞，0)，(2，+∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增，
4
故f(x)有极大值f(2)=22e-2= .
e2
5.(2024·烟台模拟)如图，在三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC，AB=√3AC=3，AD=2DB，O为BC的中点，
1 1 1
A O⊥平面ABC.
1
(1)求证：AA ⊥OD；
1(2)若AA =2√3，求平面AA B B与平面AA O夹角的余弦值.
1 1 1 1
(1)证明 在三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC，AB=√3AC=3，
1 1 1
1
则∠ACB=60°，BC=2√3，OA= BC=√3，
2
由AB=3，AD=2DB，得DB=1，
在△DBO中，∠DBO=30°，DB=1，OB=√3，
由余弦定理OD2=12+(√3)2-2×1×√3×cos 30°=1，
得OD=1，OA2+OD2=4=AD2，
于是AO⊥OD，由A O⊥平面ABC，OD 平面ABC，得A O⊥OD，
1 1
而AO∩A
1
O=O，AO，A
1
O 平面AOA
1
，⊂
因此OD⊥平面AOA
1
，又⊂AA
1
平面AOA
1
，
所以AA 1 ⊥OD. ⊂
(2)解 由(1)知，OA，OD，OA 两两垂直，以O为原点，直线OA，OD，OA 分别为x，y，z轴，建立如图
1 1
所示的空间直角坐标系，
由AA =2√3，AO=√3，得A O=3，
1 1
( √3 3 )
则A(√3，0，0)，A (0，0，3)，B - ， ，0 ，
1 2 2
(√3 3 )
于是⃗BA = ，- ，3 ，
1 2 2
(3√3 3 )
⃗BA= ，- ，0 ，
2 2
设m=(x，y，z)为平面AA B B的法向量，
1 1
{⃗BA ·m=0,
1
则
⃗BA·m=0,
{ √3 x- 3 y+3z=0,
2 2
即 取x=√3，得m=(√3，3，1)，
3√3 3
x- y=0,
2 2
显然n=(0，1，0)为平面AA O的一个法向量，
1
m·n 3 3√13
因此cos〈m，n〉= = = ，
|m||n| √13 133√13
所以平面AA B B与平面AA O夹角的余弦值为 .
1 1 1 13
