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周六
1.(2024·承德模拟)某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为70，85，90，75，95，则这5人
成绩的上四分位数是( )
A.90 B.75
C.95 D.70
( π) π
2.(2024·滨州模拟)已知函数f(x)=sin ωx+ (ω>0)在[0，2π]上有且仅有4个零点，直线x= 为函数y=f(x)
6 6
(π)
图象的一条对称轴，则f 等于( )
3
√3 1
A.- B.-
2 2
1 √3
C. D.
2 2
x2 y2
3.(多选)已知点A，B，C都在双曲线Γ： - =1(a>0，b>0)上，点A(x ，y )在第一象限，点C(x ，y )在第
a2 b2 1 1 2 2
四象限，A，B关于原点对称，AB⊥AC，过A作垂直于x轴的直线分别交Γ，BC于点D，E.若2⃗AD=3⃗DE
，则下列结论正确的是( )
7
A.点E的纵坐标为- y
3 1
y - y x
2 1 1
B. =-
x -x y
2 1 1
y + y 4 y
2 1 1
C. =-
x +x 3x
2 1 1
√15
D.双曲线Γ的离心率为
3
4.(2024·鞍山模拟)f(x)=x2e-x的极大值为 .
5.(2024·烟台模拟)如图，在三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC，AB=√3AC=3，AD=2DB，O为BC的中点，
1 1 1
A O⊥平面ABC.
1
(1)求证：AA ⊥OD；
1
(2)若AA =2√3，求平面AA B B与平面AA O夹角的余弦值.
1 1 1 1答案精析
1.A 2.C
3.ABD [对于A，因为A，B关于原点对称，
所以B(-x ，-y )，D(x ，-y )，
1 1 1 1
设E(x ，y )，
0 0
⃗AD=(0，-2y )，
1
⃗DE=(x -x ，y +y )，
0 1 0 1
因为2⃗AD=3⃗DE，
所以-4y =3(y +y )，x =x ，
1 0 1 0 1
7
解得y =- y ，
0 3 1
( 7 )
x =x ，E x ，- y ，
0 1 1 3 1
故A正确；
对于B，因为AB⊥AC，
所以k ·k =-1，
AB AC
2y y - y
1 2 1
所以 · =-1，
2x x -x
1 2 1
y - y x
2 1 1
所以 =- ，故B正确；
x -x y
2 1 1
对于C，因为B，E，C三点共线，
所以k =k ，
BC BE
又B(-x ，-y )，C(x ，y )，
1 1 2 2
( 7 )
E x ，- y ，
1 3 1
7 4
y + y - y + y - y
则 2 1 = 3 1 1 = 3 1
x +x
2 1 x +x 2x
1 1 1
2y
1
=- ，故C错误；
3x
1
b2
对于D，因为A(x ，y )，C(x ，y )在双曲线上，所以y2 = (x2 -a2)，
1 1 2 2 1 a2 1
b2
y2= (x2 -a2)，
2 a2 2y + y y - y
2 1 2 1
k ·k = ·
CB CA x +x x -x
2 1 2 1
y2- y2
2 1
=
x2-x2
2 1
b2 b2
(x2-a2 )- (x2-a2 ) b2
=a2 2 a2 1 = ，
a2
x2-x2
2 1
因为AB⊥AC，所以k ·k =-1，
AB CA
1
即k =- ，
CA k
AB
( 1 ) b2
-
所以k · = ，
CB k a2
AB
2y
1
由选项C知，k =k =- ，
CB BE 3x
1
y
1
又k = ，
AB x
1
1
2y (- ) 2 b2
所以- 1 · y = = ，
3x 1 3 a2
1 x
1
√ b2 √ 2 √15
则e= 1+ = 1+ = ，故D正确.]
a2 3 3
4
4.
e2
5.(1)证明 在三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC，AB=√3AC=3，
1 1 1
则∠ACB=60°，BC=2√3，
1
OA= BC=√3，
2
由AB=3，AD=2DB，得DB=1，
在△DBO中，∠DBO=30°，DB=1，OB=√3，
由余弦定理OD2=12+(√3)2-2×1×√3×cos 30°=1，
得OD=1，OA2+OD2=4=AD2，
于是AO⊥OD，由A O⊥平面ABC，OD 平面ABC，得A O⊥OD，
1 1
而AO∩A 1 O=O，AO， ⊂
A O 平面AOA ，
1 1
因此⊂OD⊥平面AOA
1
，
又AA 平面AOA ，
1 1
⊂所以AA ⊥OD.
1
(2)解 由(1)知，OA，OD，OA 两两垂直，以O为原点，直线OA，OD，OA 分别为x，y，z轴，建立如图
1 1
所示的空间直角坐标系，
由AA =2√3，AO=√3，得A O=3，
1 1
则A(√3，0，0)，A (0，0，3)，
1
( √3 3 )
B - ， ，0 ，
2 2
(√3 3 )
于是⃗BA = ，- ，3 ，
1 2 2
(3√3 3 )
⃗BA= ，- ，0 ，
2 2
设m=(x，y，z)为平面AA B B的法向量，
1 1
{⃗BA ·m=0,
1
则
⃗BA·m=0,
{√3
x-
3
y+3z=0,
2 2
即
3√3 3
x- y=0,
2 2
取x=√3，得m=(√3，3，1)，
显然n=(0，1，0)为平面AA O的一个法向量，
1
m·n 3 3√13 3√13
因此cos〈m，n〉= = = ，所以平面AA B B与平面AA O夹角的余弦值为 .
|m||n| √13 13 1 1 1 13
