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周六
1.(2024·齐齐哈尔模拟)已知集合A={x|ax=2，a∈N}，若A N，则所有a的取值构成的集合为( )
A.{1，2} B.{1}
⊆
C.{0，1，2} D.N
答案 C
解析 ∵A={x|ax=2}，A N，
故当A=∅时，易求a=0；⊆
2
当A≠∅时，由x= ∈N得，a=1或2.
a
综上，a的取值构成的集合为{0，1，2}.
2.(2024·白山模拟)阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学
中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆锥曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的
4
两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，顶点为O，斜率为 的直
3
线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，若△PMN为阿基米德三角形，则|OP|等于( )
A.√11 B.2√3
C.√13 D.√14
答案 C
4
解析 依题意，F(2，0)，直线l：y= (x-2)，
3
{ 4
y= (x-2),
联立 3
y2=8x,
得y2-6y-16=0，解得y=8或y=-2，
(1 )
不妨设M(8，8)，N ，-2 ，
2
设直线PM的方程为y-8=k(x-8)，与C联立并消去y得，[k(x-8)+8]2=8x，k2x2+(16k-16k2-8)x+64k2-
128k+64=0，
Δ=(16k-16k2-8)2-4k2(64k2-128k+64)=0，
1
解得k= ，
2
1
故直线PM的斜率k= ，
21
故直线PM：y= x+4，
2
同理可得直线PN的斜率k'=-2，故直线PN：y=-2x-1，
{ 1
y= x+4, {x=-2,
联立 2 解得
y=3,
y=-2x-1,
即P(-2，3)，则|OP|=√13.
3.(多选)(2024·酒泉模拟)已知函数f(x)为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，若当x<0时，xf'(x)-f(x)<0，且
f(1)=0，则( )
A.2f(e)>ef(2)
B.当m<2时，f(m)>mf(1)
C.3f(-π)+πf(3)<0
D.不等式f(x)>0的解集为(-1，0)∪(1，+∞)
答案 ACD
f(x)
解析 构造函数g(x)= ，其中x≠0，
x
因为函数f(x)为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，则f(-x)=-f(x)，
f(-x) f(x)
所以g(-x)= = =g(x)，故函数g(x)为偶函数，
-x x
xf '(x)-f(x)
当x<0时，g'(x)= <0，
x2
所以函数g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
f(1)
因为f(1)=0，则g(1)= =0，则g(-1)=g(1)=0.
1
因为e>2，所以g(e)>g(2)，
f(e) f(2)
即 > ，2f(e)>ef(2)，故A正确；
e 2
不妨取m=1，则f(1)=0，mf(1)=0，B错误；
因为偶函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，
f(-π) f(3)
则g(-π)=g(π)>g(3)，即 > ，
-π 3
整理可得3f(-π)+πf(3)<0，C正确；
f(x)
当x<0时，由f(x)>0可得g(x)= <0=g(-1)，解得-10时，由f(x)>0可得g(x)= >0=g(1)，解得x>1.
x
综上所述，不等式f(x)>0的解集为(-1，0)∪(1，+∞)，D正确.2√2π
4.(2024·安阳模拟)已知圆锥的底面半径为1，体积为 ，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为
3
.
2π
答案
3
解析 设圆锥(如图所示)的高为h.
1 2√2π
因为 ·π·12·h= ，
3 3
所以h=2√2，母线SA=√12+(2√2) 2=3.
将圆锥沿SA展开所得扇形的弧长为底面周长2π，根据弧长公式α·SA=2π，
2π
所以圆心角α= .
3
5.(2024·开封模拟)已知A(-1，0)，B(1，0)，对于平面内一动点P(x，y)(x≠±1)，PD⊥x轴于点D，且|AD|，|
PD|，|BD|成等比数列.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若⃗AM·⃗AN=8，求直线l的方程.
解 (1)由题意可得D(x，0)，
则|AD|=|x+1|，|PD|=|y|，|BD|=|x-1|，
由于|AD|，|PD|，|BD|成等比数列，
∴|PD|2=|AD||BD|，
即|y|2=|x+1||x-1| y2=|x2-1|，
故点P的轨迹C⇒的方程为y2=|x2-1| (x≠±1).
(2)由(1)知点P的轨迹C的方程为：
当x>1或x<-1时，x2-y2=1，
当-11或x<-1)交于点M，与x2+y2=1(-11或x<-1),
则(1-k2)x2-2k2x-k2-1=0，1-k2≠0，Δ>0，
-k2-1
则x x = ，
A M 1-k2
k2+1
∵x =-1，∴x = ，
A M 1-k2
(k2+1 ) 2k
故y =k +1 = ，
M 1-k2 1-k2
(k2+1 2k )
∴M ， ，
1-k2 1-k2
{ y=k(x+1),
联立
x2+ y2=1(-10，
k2-1
则x x = ，
A N 1+k2
-k2+1
∵x =-1，∴x = ，
A N 1+k2
(-k2+1 ) 2k
故y =k +1 = ，
N 1+k2 1+k2
(-k2+1 2k )
∴N ， ，
1+k2 1+k2
(k2+1 )(-k2+1 ) 2k 2k
⃗AM·⃗AN= +1 +1 + =8，
1-k2 1+k2 1-k2 1+k2
1 √2
解得k2= ，则k=± ，
2 2
√2
故直线的方程为y=± (x+1).
2
