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周五
1.(2024·怀化模拟)已知函数f(x)=ex-lg|x|，则f(x)的图象大致为( )
答案 A
解析 函数f(x)=ex-lg|x|的定义域为
(-∞，0)∪(0，+∞)，
当x<0时，f(x)=ex-lg(-x)，
因为函数y=ex在(-∞，0)上单调递增，
函数y=lg(-x)在(-∞，0)上单调递减，
因此函数f(x)=ex-lg(-x)在(-∞，0)上单调递增，BD错误；
当x>0时，f(x)=ex-lg x，当x→+∞时，
f(x)→+∞，C选项不满足，A选项符合要求.
( 5π) √2
2.(2024·温州适应性考试)已知sin β+ =- ，则sin(α-2β)cos α-cos(2β-α)sin α等于( )
4 10
24 24
A.- B.
25 25
3 3
C.- D.
5 5
答案 B
( 5π) √2
解析 因为sin β+ =- ，
4 10
1
故由两角和的正弦公式得sin β+cos β= ，
5
1
故两边平方得1+2sin βcos β=1+sin 2β= ，
25
24
即sin 2β=- ，
25故sin(α-2β)cos α-cos(2β-α)sin α
=sin(α-2β)cos α-cos(α-2β)sin α
24
=sin(α-2β-α)=-sin 2β= .
25
3.(多选)(2024·湖州模拟)已知直三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥BC且AB=BC=2，直线A C与底面ABC所成角
1 1 1 1
√3
的正弦值为 ，则( )
3
A.线段A C上存在点D，使得A B⊥AD
1 1
B.线段A C上存在点D，使得平面DBB ⊥平面DCC
1 1 1
4
C.直三棱柱ABC-A B C 的体积为
1 1 1 3
D.点B 到平面A BC的距离为√2
1 1
答案 ABD
解析 在直三棱柱ABC-A B C 中，AA ⊥底面ABC，
1 1 1 1
√3
则∠A CA即为直线A C与底面ABC所成的角，即sin∠A CA= ，
1 1 1 3
√6
则cos∠A CA=√1-sin2∠A CA= ，
1 1 3
sin∠A CA √2
1
所以tan∠A CA= = ，
1 cos∠A CA 2
1
又AB⊥BC且AB=BC=2，
所以AC=√22+22=2√2，
又AA ⊥底面ABC，AC 底面ABC，
1
所以AA 1 ⊥AC， ⊂
A A √2
所以tan∠A CA= 1 = ，
1 AC 2
解得A A=2，
1
1
所以直三棱柱ABC-A B C 的体积V= ×2×2×2=4，故C错误；
1 1 1 2
又BB ⊥底面ABC，AB⊥BC，如图建立空间直角坐标系，
1
则B(0，0，0)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，A (2，0，2)，B (0，0，2)，C (0，2，2)，
1 1 1所以⃗BA =(2，0，2)，⃗A C=(-2，2，-2)，
1 1
⃗A A =(0，0，2)，因为点D在线段A C上，
1 1
设⃗A D=λ⃗A C=(-2λ，2λ，-2λ)，λ∈[0，1]，
1 1
则⃗AD=⃗A A +⃗A D=(0，0，2)+(-2λ，2λ，-2λ)=(-2λ，2λ，-2λ+2)，
1 1
若A B⊥AD，则⃗BA ·⃗AD=0，
1 1
1
即2(-2λ)+2(-2λ+2)=0，解得λ= ，
2
此时D为线段A C的中点，
1
故在线段A C上存在点D，使得A B⊥AD，故A正确；
1 1
当D为线段A C的中点时，D(1，1，1)，
1
则⃗BD=(1，1，1)，⃗BB =(0，0，2)，
1
设平面DBB 的法向量为m=(x，y，z)，
1
{m·⃗BD=x+ y+z=0,
则
m·⃗BB =2z=0,
1
取m=(1，-1，0)，
又⃗CD=(1，-1，1)，⃗CC =(0，0，2)，
1
设平面DCC 的法向量为n=(a，b，c)，
1
{n·⃗CD=a-b+c=0,
则
n·⃗CC =2c=0,
1
取n=(1，1，0)，
因为m·n=1×1+(-1)×1+0×0=0，
所以平面DBB ⊥平面DCC ，
1 1
即当D为线段A C的中点时，
1
满足平面DBB ⊥平面DCC ，故B正确；
1 1
又⃗BC=(0，2，0)，⃗BA =(2，0，2)，⃗BB =(0，0，2)，
1 1
设平面A BC的法向量为u=(x ，y ，z )，
1 1 1 1
{ u·⃗BC=2y =0,
1
则
u·⃗BA =2x +2z =0,
1 1 1
取u=(1，0，-1)，
|⃗BB ·u| 2
则点B 到平面A BC的距离d= 1 = =√2，故D正确.
1 1 |u| √2
y 4x
4.(2024·赣州适应性考试)已知y>x>0，则 - 的最小值为 .
y-x 2x+ y2
答案
3
解析 由题y>x>0，
y 4x y 4x+2y-2y
所以 - = -
y-x 2x+ y y-x 2x+ y
y 2y
= + -2
y-x 2x+ y
( 1 2 )
=y + -2
y-x 2x+ y
( 2 2 )
=y + -2
2y-2x 2x+ y
1 ( 2 2 )
= [(2y-2x)+(2x+y)] + -2
3 2y-2x 2x+ y
2( 2x+ y 2y-2x)
= 2+ + -2
3 2y-2x 2x+ y
2( √ 2x+ y 2y-2x)
≥ 2+2 · -2
3 2y-2x 2x+ y
8 2
= -2= ，
3 3
2x+ y 2y-2x
当且仅当 = ，
2y-2x 2x+ y
即2x+y=2y-2x，即y=4x时，等号成立.
5.(2024·永州模拟)绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲、乙两块不同的土地上栽种某品
种树苗各500株.甲地土质含有M元素，乙地土质不含M元素，其他土质情况均相同，一段时间后，为了
了解该品种树苗的成活情况与M元素含量是否有关联，分别在甲、乙两块土地上随机抽取树苗各50株作
为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株.
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表(单位：株)，并判断依据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认
为该品种树苗成活与含有M元素有关联？
类别
树苗成活情况
合计
成活
不成活
含M元素不含M元素
合计
(2)若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为X，求X的分布列
及方差.
n(ad-bc) 2
参考公式：χ2= ，n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
α 0.10 0.05 0.010 0.005
x 2.706 3.841 6.635 7.879
α
解 (1)依题意可得2×2列联表如下：
类别
树苗成活情况
合计
成活
不成活
含M元素
45
5
50
不含M元素
40
10
50
合计
85
15100
零假设为H ：该品种树苗成活与含有M元素无关联.
0
根据列联表中的数据，经计算得到
100×(45×10-40×5) 2 100
χ2= = ≈1.961<2.706=x ，
50×50×85×15 51 0.10
根据小概率值α=0.10的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，
0
因此可以认为H 成立，即认为该品种树苗成活与含有M元素无关联.
0
(2)由题意知，不成活的树苗共有15株，甲地不成活的树苗有5株，X的可能取值为0，1，2，3，
C0C3
24
5 10
故P(X=0)= = ，
C3 91
15
C1C2
45
5 10
P(X=1)= = ，
C3 91
15
C2C1
20
5 10
P(X=2)= = ，
C3 91
15
C3C0
2
5 10
P(X=3)= = ，
C3 91
15
故X的分布列为
X 0 1 2 3
24 45 20 2
P
91 91 91 91
24 45 20 2
数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× =1，
91 91 91 91
24 45 20 2 4
方差D(X)= ×(0-1)2+ ×(1-1)2+ ×(2-1)2+ ×(3-1)2= .
91 91 91 91 7
