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周三
1.(2024·赣州适应性考试)在等差数列{a }中，a ，a 是方程x2-8x+m=0的两根，则{a }的前6项和为( )
n 2 5 n
A.48 B.24
C.12 D.8
答案 B
解析 因为a ，a 是方程x2-8x+m=0的两根，所以a +a =8，
2 5 2 5
又因为{a }是等差数列，根据等差数列的性质有a +a =a +a =8，
n 2 5 1 6
(a +a )×6
设{a }的前6项和为S ，则S = 1 6 =3×8=24.
n 6 6 2
2.(2024·开封模拟)已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，
若这两部分几何体都存在内切球(与各面均相切)，则上、下两部分几何体的体积之比是( )
A.1∶8 B.1∶9
C.1∶26 D.1∶27
答案 C
解析 如图，作出圆锥SO的轴截面SAB，
设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E，F，半径分别为r，R，
即OF=FG=R，EG=r，
根据题意可知△SAB为正三角形，易知SE=2r，圆锥SO的底面半径OB=√3R，
∴SO=2r+r+R+R=3r+2R，又SO=√3OB，
∴3r+2R=3R，∴R=3r，
∴上部分圆锥的底面半径为√3r，高为3r，
又圆锥SO的底面半径为OB=√3R=3√3r，高为SO=3r+2R=9r，
(1) 3 1
∴上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为 = ，
3 27
∴上、下两部分几何体的体积之比是1∶26.
(x)
3.(多选)(2024·浙江91联盟模拟)对于x∈[0，1]，f(x)满足f(x)+f(1-x)=1，f(x)=2f ，且对于0≤x ≤x ≤1，
3 1 2
恒有f(x )≤f(x ).则( )
1 2100
( i ) 101 (1) ( 1 )
A. Σ f = B.f =2f
100 2 6 24
i=1
( 1 ) 1 1 ( 1 ) 1
C.f = D. ≤f ≤
80 80 32 160 16
答案 ABD
(x)
解析 令x=0，代入f(x)+f(1-x)=1及f(x)=2f ，
3
得f(0)+f(1)=1，f(0)=2f(0)，
所以f(0)=0，f(1)=1，
100 100
( i ) ( i )
Σ f = Σ f
100 100
i=1 i=0
100
1 [ ( i ) ( i )] 101
= Σ f +f 1- = ，A选项正确，
2 100 100 2
i=0
1
令x= ，代入f(x)+f(1-x)=1，
2
(1) 1
得f = ，
2 2
(x)
令x=1，代入f(x)=2f ，
3
(1) 1 1
得f = f(1)= ，
3 2 2
(1) 1 (1) 1 1 (1) (1)
f = f = = f =f ，
6 2 2 4 2 3 9
( 1 ) 1 (1) 1 1 (1) ( 1 )
f = f = = f =f ，
18 2 6 8 2 9 27
( 1 ) 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 ) ( 1 )
f = f = = f =f ，
54 2 18 16 2 27 81
( 1 ) 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 ) ( 1 )
f = f = = f =f ，
162 2 54 32 2 81 243
对于0≤x ≤x ≤1，恒有f(x )≤f(x )，
1 2 1 2
1 1 1
因为 < < ，
27 24 18
1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1
所以 =f ≤f ≤f = ，
8 27 24 18 8
( 1 ) 1
则f = ，
24 8(1) ( 1 )
故f =2f ，B选项正确；
6 24
1 1 1
因为 < < ，
81 80 54
1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1
所以 =f ≤f ≤f = ，
16 81 80 54 16
( 1 ) 1
则f = ，C选项错误；
80 16
1 1 1
因为 < < ，
162 160 81
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
则有f ≤f ≤f ，
162 160 81
1 ( 1 ) 1
即 ≤f ≤ ，D选项正确.
32 160 16
4.(2024·承德模拟)已知圆x2+y2=16与直线y=-√3x交于A，B两点，则经过点A，B，C(8，0)的圆的标准方
程为 .
答案 (x-3)2+(y-√3)2=28
解析 设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
{ y=-√3x,
由
x2+ y2=16,
{ x =2, { x =-2,
1 2
解得
y =-2√3, y =2√3,
1 2
可设A(2，-2√3)，B(-2，2√3)，
设经过点A，B，C(8，0)的圆的一般方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
{4+12+2D-2√3E+F=0,
所以 4+12-2D+2√3E+F=0,
64+0+8D+0+F=0,
{
D=-6,
解得 E=-2√3,
F=-16,
即x2+y2-6x-2√3y-16=0，
可得(x-3)2+(y-√3)2=28.
5.(2024·承德模拟)如图，在四棱锥M-ABCD中，AB⊥AD，AB=AM=AD=2，MB=2√2，MD=2√3.(1)证明：AB⊥平面ADM；
2
(2)若⃗DC= ⃗AB，⃗BE=2⃗EM，求直线CE与平面BDM所成角的正弦值.
3
(1)证明 因为AB=AM=2，MB=2√2，
所以AM2+AB2=MB2，
所以AB⊥AM.
又AB⊥AD，且AM∩AD=A，AM 平面ADM，AD 平面ADM，
所以AB⊥平面ADM.
⊂ ⊂
(2)解 因为AM=AD=2，MD=2√3，
4+4-12 1
则cos∠MAD= =- ，且0°<∠MAD<180°，可知∠MAD=120°，
2×2×2 2
在平面ADM内过点A作x轴垂直于AM，又由(1)知AB⊥平面ADM，
分别以AM，AB所在直线为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
( 4)
则D(√3，-1，0)，C √3，-1， ，B(0，0，2)，M(0，2，0).
3
( 4 2)
因为BE=2EM，则E 0， ， ，
3 3
( 7 2)
可得⃗EC= √3，- ， ，
3 3
⃗BM=(0，2，-2)，⃗BD=(√3，-1，-2)，
设平面BDM的法向量为n=(x，y，z)，
{ ⃗BM·n=2y-2z=0,
则
⃗BD·n=√3x- y-2z=0,
取z=1，得n=(√3，1，1)，
设直线CE与平面BDM所成的角为θ，
| ⃗EC·n |
则sin θ=|cos〈⃗EC，n〉|=
|⃗EC||n|| 4 |
3 1 1
= = ，所以直线CE与平面BDM所成角的正弦值为 .
4√5 5 5
×√5
3
